人教版高中数学必修二第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积和体积（教师版）【优能辅导含答案】

空间几何体的表面积和体积


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能够熟练运用柱、锥、台、球的表面积和体积公式计算一些组合体的表面积和体积；
用联系、类比的方法解决一些有关空间几体的实际问题．


一、展开图定义
一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的平面展开图．
二、特殊几何体的定义
1.直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．
2.正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
3.正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．
正棱锥的性质：
（1）正棱锥的侧棱相等；
（2）侧面是全等的等腰三角形；
（3）侧棱、高、底面构成直角三角形．
4.正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分角正棱台．
正棱台的性质：
（1）正棱棱台的侧棱长相等
（2）侧面是全等的等腰三角形；
（3）高，侧棱，上、下底面的边心距构成直角梯形．
三、侧面积与表面积公式
1. 正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积公式
(1)设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则直棱柱侧面积计算公式：S直棱柱侧＝ch，即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积．
(2)设正n棱锥的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h′，则正n棱锥的侧面积的计算公式：
S正棱锥侧＝ =.即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半．
(3)设正n棱台下底面边长为a、周长为c，上底面边长为a′、周长为c′，斜高为h′，则正n棱台的侧面积公式：S正棱台侧＝=.
(4)棱柱、棱锥、棱台的表面积(或全面积)等于底面积与侧面积的和，即S表＝S底＋S侧.
2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积公式
(1)S圆柱侧＝(r为底面半径，l为母线长)．
(2)S圆锥侧＝ (r为底面圆半径，l为母线长)．
(3)S圆台侧＝ (R、r分别为上、下底面半径，l为母线长)．
(4)圆柱、圆锥、圆台的表面积等于它的侧面积与底面积的和，即S表＝S底＋S侧.
(5) 若圆锥底面的半径为，侧面母线长为，侧面展开图扇形的圆心角为则，
3.由球的半径R计算球表面积的公式：S球＝.即球面面积等于它的大圆面积的4倍．
四、体积
1.长方体的体积：
长方体的长、宽和高分别为a、b、c，长方体的体积V长方体＝abc
2．棱柱和圆柱的体积：
(1)柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝Sh.
(2)底面半径是r，高是h的圆柱体的体积计算公式是V圆柱＝.
3．棱锥和圆锥的体积：
(1)如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为S，高是h，那么它的体积V锥体＝Sh.
(2)如果圆锥的底面半径是r，高是h，则它的体积是V圆锥＝.
4．棱台和圆台的体积：
(1)如果台体的上、下底面面积分别为S′、S，高是h，则它的体积是V台体＝.
(2)如果圆台的上、下底面半径分别是r′、r，高是h，则它的体积是V圆台＝.
5．球的体积：
如果球的半径为R，那么球的体积V球＝.
6．祖暅原理：幂势既同，则积不容异．
这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．
7. 球面距离：在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。我们把这个弧长叫做两点的球面距离．

类型一 表面积
例1： 已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6，其侧面积等于两底面面积之和，则该正四棱台的高是(　　)
A．2　　　　　　　　　B.
C．3 D.
解析：如图，设O1、O分别是正四棱台上、下底面的中心，则OO1是正棱台ABCD－A1B1C1D1的高，E1、E分别是A1D1、AD的中点，连接OE、O1E1，作E1H∥OO1，则E1H＝O1O，由题意得，×4＝9＋36，∴EE1＝.
在Rt△EHE1中，E1H2＝EE－EH2＝－＝4，
∴E1H＝2，∴O1O＝2.
答案：A
练习1：某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是(　　)

A．32 B．16＋16
C．48 D．16＋32
答案：B
练习2：若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是(　　)
A．3π B．3π
C．6π D．9π
答案：A
练习3：球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是(　　)
A. B.
C. D．π
答案：C
例2： 用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱的轴截面面积为(　　)
A．8 B.
C. D.
解析：设围成圆柱的底面半径为r，则2πr＝4，∴2r＝，∴圆柱的轴截面面积为S＝×2＝.或2πr＝2，∴2r＝，
∴圆柱的轴截面面积为S＝×4＝.
答案：B
练习1： 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是(　　)
A．90cm2
B．129cm2
C．132cm2
D．138cm2
答案：D
练习2：已知圆锥的表面积为12πcm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为(　　)
A.cm B．2cm
C．2cm D．4cm
答案：B
练习3：某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是(　　)
A．90cm2
B．129cm2
C．132cm2
D．138cm2
答案：D
练习4：长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是________．
答案：50π
类型二 体积
例3：正三棱锥底面三角形的边长为，侧棱长为2，则其体积为(　　)
A.　　　　　　　　　 　 B.
C. D.
解析：如图，作PO⊥底面ABC，
∵正三角形ABC的边长为，
∴AO＝×＝1，
∴PO＝＝＝，
∴VP－ABC＝××()2×＝.
答案：C
练习1：已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为6，侧棱长为5，求四棱锥P－ABCD的体积和侧面积．
答案：连接AC、BD，AC与BD的交点为O，取BC的中点E，连接OE、PE、PO，则PO为正四棱锥P－ABCD的高，PE为斜高．
由已知得OE＝3，OA＝3，
∴PO＝＝＝，
PE＝＝＝4.
∴四棱锥P－ABCD的体积V＝××6×6×
＝6.
四棱锥P－ABCD的侧面积S＝×6×4×4＝48.
练习2：某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是(　　)
A．3
B．2
C.
D．1
答案：D.由三视图可知，该几何体的体积V＝Sh＝××＝1.由三视图找出垂直关系是关键．
例4：将长为a，宽为b(a>b)的长方形以a为轴旋转一周，所得柱体的体积为V1，以b为轴旋转一周，所得柱体的体积为V2，则有(　　)
A．V1>V2　　　　　　 B．V1C．V1＝V2 D．V1与V2的大小关系不确定
解析：以a为旋转轴时，所得几何体的体积V1＝ab2π，以b为旋转轴时，所得几何体的体积V2＝a2bπ.
∴V1－V2＝abπ(b－a)，∵a>b，
∴V1－V2<0，∴V1答案：B
练习1：如图，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为(　　)
A．6
B．9
C．12
D．18
答案：由三视图知，该几何体为平行六面体，
由图知高h＝＝.
底面积：S＝3×3＝9，
所以其体积V＝9.

练习2：一个圆柱的高缩小为原来的，底面半径扩大为原来的n倍，则所得的圆柱的体积为原来的________．
答案：n倍．
例5：在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．
解析：由、PB、PC为棱构造正方体，进而求出球的直径，从而得到球的体积．
答案:∵PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，
∴以PA、PB、PC为相邻的三条棱可以构造正方体．
∵P、A、B、C四点是球面上的四个点，
∴球是正方体的外接球，正方体的对角线是球的直径，
∴2R＝a，∴R＝a，
∴V＝πR3＝π3＝πa3.
练习1：体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于________．
答案：设正方体棱长为a，球半径为r.
∵a3＝8，∴a＝2，又∵4πr2＝6a2，∴r＝.
∴V球＝π3＝.
练习2：平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)
A.π B．4π
C．4π D．6π
答案：B　本题考查球的截面性质，考查利用公式求球的体积．
设球O的半径为R，则R＝＝，
故V球＝πR3＝4π.

1．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了(　　)
A．6a2　　　 B．12a2
C．18a2　　　 D．24a2
答案：B
2．正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为(　　)
A. B.
C. D.
答案：B
3．正四棱柱的体对角线长为6，侧面对角线长为3，则它的侧面积是________．
答案：36
4．若一棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为示)是边长为3、3、2的三角形，则该圆锥的侧面积为________．

答案：　3π
5．已知某几何体的俯视图是如图所示矩形．主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．

(1)判断该几何体形状；
(2)求该几何体的侧面积S.
答案：(1) 这个几何体是四棱锥．

(2)作出该几何体的直观图，如图，E、F为AB、BC的中点，则AB＝8，PO＝4，BC＝6.
在Rt△POF中，PF＝＝4，
∴S△PBC＝×6×4＝12，在Rt△POE中，PE＝＝5，∴S△PAB＝×8×5＝20，
所以侧面积为2(12＋20)＝24＋40.
6. 若长方体的三个面的面积分别为，则长方体的体积为 ；其对角线长为 。
答案：，
7. 若圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则这个圆锥的体积是 。
答案：
8.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为，体积为，则棱台的高为 。

答案：


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基础巩固
1. 如果圆锥底面半径为，轴截面为等腰直角三角形，那么圆锥的全面积为（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：B
2、一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：C
3、轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：B
4.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为(　　)

A．2 B．3
C．4 D．6
答案：A
5. 已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是(　　)
A．9π B．9
C．3π D．3
答案：C
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A．12 B．18
C．24 D．30
答案：C
7．将半径为R的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积为____________．
答案：πR3
8．已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．
答案：如图所示，

VA1－EBFD1＝VA1－EBF＋VA1－EFD1＝VF－A1EB＋VF－A1ED1
＝·a·＋·a·＝.


能力提升
9. 正过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离是球半径R的一半，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，则球的表面积是(　　)
A．100π B．300π
C. D.π
答案：设球的半径为R，正方体的棱长为a，则＝a3，∴a＝R，S正方体＝6a2＝6×R2＝R2，
S球＝4πR2＝R2＝R2，
∴S球10. 一圆锥的底面半径为4，用平行于底面的截面截去底面半径为1的小圆锥后得到的圆台是原来圆锥的体积的(　　)
A. B.
C. D.
答案：轴截面如图，由题意＝＝，

V圆锥PO1＝·PO1，V圆锥PO＝π·PO，
∴V圆台O1O＝V圆锥PO－V圆锥PO1
＝π·PO－·PO1＝π·PO－··PO＝π·PO，
∴＝＝.
(或由：截得小圆锥底半径为1，原来底半径为4，∴相似比为1：4，故小圆锥与原来大圆锥体积比为1：64，∴截得圆台与原来大圆锥的体积比为63：64)．
11.如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的全面积为(　　)

A. B．2π
C．π D．4π
答案：由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为，高为1的圆柱．
S圆柱侧＝2πRh＝2π××1＝π.
S圆柱底＝2πR2＝，
∴圆柱的全面积为π＋＝.
12. 如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．

答案：已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′－BCC′B′.
设它的底面ADD′A′的面积为S，高为h，
则棱锥C－A′DD′的底面积为S，高是h，
故棱锥C－A′DD′的体积为VC－A′DD′＝×Sh＝Sh.
余下的体积是Sh－Sh＝Sh.
所以棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1：5.
13.如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M、N、K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．

答案：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，由已知得，
解得r＝，l＝4，
h＝＝，
∴S＝πrl＋πr2＝10π，V＝πr2h＝π.



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