人教版高中数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系（教师版）【优能辅导含答案】
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系（教师版）【优能辅导含答案】 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-08-09 12:24:01 | ||
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文档简介
空间点、直线、平面之间的位置关系
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；
掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；
会判断异面直线、掌握异面直线的求法；
会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系．
一、平面
1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．
平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量．
2.平面的表示方法：
(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角
画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图．
(2)两个相交平面：
画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）
3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言
空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示
点、线、面的基本位置关系如下表所示：
图形语言 符号语言 文字语言（读法）
点在直线上
点不在直线上
点在平面内
点不在平面内
直线、交于点
直线在平面内
直线与平面无公共点
直线与平面交于点
平面、相交于直线
二、平面的基本性质
1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
推理模式：． 如图示：
或者：∵，∴
公理1的作用：①判定直线是否在平面内；
②判定点是否在平面内；
③检验面是否是平面．
2. 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线
推理模式： 如图示：
或者：∵，∴
公理2的作用：
(1)判断两个平面是否相交及交线位置；
(2)判断点是否在线上
今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)．
(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．
(2)有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
3. 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
推理模式：与重合
或者：∵不共线，∴存在唯一的平面，使得.
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．
(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
三、空间两直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
相交直线 在同一平面内 有且只有一个公共点
平行直线 在同一平面内 没有公共点
异面直线 不同在任何一个平面内 没有公共点
四、平行直线
1. 公理4 平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行
推理模式：．
(1)它是判断空间两条直线平行的依据； (2)它说明平行关系具有传递性
2.等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等．
由球的半径R计算球表面积的公式：S球＝.即球面面积等于它的大圆面积的4倍．
五、异面直线
1. 定义：
不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
(1)异面直线既不平行，也不相交，永远不存在一个平面能同时包含这两直线；
(2)不能把异面直线误认为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线
(3)异面直线一般是对两条直线而言的，没有三条异面直线的说法．
2．异面直线的画法
画异面直线时，为了充分显示不共面的特点，常常需要以辅助平面为衬托，以加强直观性．
3．异面直线判定定理
过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线
推理模式：直线与直线是异面直线
六、异面直线所成的角
1. 定义：
已知，是两条异面直线，经过空间任意一点作直线，我们把直线和所成的锐角（或直角）叫做异面直线，所成的角．
(1)异面直线所成的角与点的位置无关．
(2)如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直，记作．
(3)异面直线所成角的范围是．
2. 求异面直线所成角的步骤
（1）恰当选点，由平移构造出一个交角；
（2）证平行关系成立；
（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；
（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角．
七、直线、平面的位置关系
1．空间直线与平面的位置关系有以下三种：
(1)直线在平面内：如果一条直线a与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作a?α.
(2)直线与平面相交：直线a与平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，记作a∩α＝A，公共点A叫做直线a与平面α的交点．
(3)直线与平面平行：如果一条直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a∥α.
2.两个平面的位置关系有且只有一下两种：
(1)两个平面平行---没有交点
(2)两个平面相交---有一条公共直线
3.顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．
类型一 平面及其性质
例1：对下图的几何图形，下列表示错误的是( )
A．l∈α
B．P?l
C．l?α
D．P∈α
解析：由图形可知，l?α，P?l，P∈α，故选A.
答案：A
练习1：判断下列说法是否正确，并说明理由．
（1）平面的形状是平行四边形（ ） （2）任何一个平面图形都可以表示平面（ ）
（3）平面ABCD的面积为10㎡（ ） （4）空间图形中，后引的辅助线是虚线（ ）
答案： （1）（3）（4）错，（2）正确．
练习2：1、下列说法正确的个数（ ）
①铺的很平的一张纸是一个平面；②可以一个长20cm、宽30cm的平面；③通常300页的书要比10页的书厚一些，那么300个平面重合在一起时一定比10个平面重合在一起厚．
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
答案：A
练习3：若点在直线上，在直线平面内，则之间的关系可记作（ B ）
A、 B、 C、 D、
答案：B
例2：如右图，已知分别为空间四边形各边上的点，且，求证：共线．
解析：由公理2可判断D点在交线上．
答案：证明：∵ ∴
∵平面 ∴平面
同理平面
∵平面平面 ∴
∴共线
练习1：已知与三条平行线都相交，求证：与共面．
答案： 证明：如右图所示
∵ ∴直线与直线确定一个平面，设为
∵ ∴
∴ ∴
∵ ∴直线与直线确定一个平面，设为 同理可证
∵ ∴平面与平面重合
∴与共面
练习2：两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是（ ）
A、2个 B、有无数个且在一条直线上 C、一个或无数个 D、1个
答案：B
练习3：下列命题：①公理1可用集合符号叙述为：若且，则必有；②四边形的两条对角线必交于一点；③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四边作为平面边界线；④梯形是平面图形．其中正确的命题个数为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
答案：D
类型二 直线及其位置关系
例3：若a、b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．异面或相交
解析：如图，借助正方体可知c与b相交或异面．
答案：D
练习1：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BD和CD的中点，长方体的各棱中与EF平行的有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案：如图所示
∵E、F分别为BD、CD的中点，
∴EF∥BC，又∵BC∥B1C1，
∴EF∥B1C1，同理，EF∥A1D1，EF∥AD.
故选D．
练习2：空间四边形ABCD中，给出下列说法：
①直线AB与CD异面；
②对角线AC与BD相交；
③四条边不能都相等；
④四条边的中点组成一个平行四边形．
其中正确说法的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：本题主要考查空间四边形，关键要理解空间四边形的概念．由定义知①正确；②错误，否则A、B、C、D四点共面；③不正确，可将一个菱形沿一条对角线折起一个角度，就成为四边相等的空间四边形；④正确，由平行四边形的判定定理可证．故选B．
练习3：a、b、c是空间中三条直线，下面给出几种说法：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交；
③若a、b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．
上述说法中正确的是________(仅填序号)．
答案：由基本性质4知①正确．
若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行，也可能相交或异面，②错误．
若平面α∩β＝l，a?α，b?β，a∥l，b∥l，则a∥b，③错误．
例4：已知正方体,、分别为、的中点，求证:
解析：平行四边形是平面图形，若能证得四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形就是平行四边形．
答案：证明：如右图，取中点，连结、．
∵为的中点 ∴
∴四边形为平行四边形 ∴
又∵ ∴
∴ 四边形为平行四边形 ∴ ∴
练习1：已知棱长为正方体,、分别为、的中点，
求证:四边形是梯形
答案：证明：如右图 ∵、分别为、的中点
∴
由正方体的性质知 ∴
∴四边形 是梯形．
练习2：已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若＝＝，
＝＝，则四边形EFGH形状为________．
答案：如右图
在△ABD中，∵＝＝，
∴EH∥BD且EH＝BD.
在△BCD中，∵＝＝，
∴FG∥BD且FG＝BD，∴EH∥FG且EH>FG，
∴四边形EFGH为梯形．
例5：已知、分别是正方体的棱、的中点．
求证：
解析：由等角定理，证明角的边之间的关系，进而得到角的关系．
答案: 证明：如右图，连结
∵、分别是、的中点 ∴
∴四边形为平行四边形 ∴
又∵ ∴
∴四边形是平行四边形 ∴
同理可证：
又与方向相同 ∴
练习1：如右图，不共面，且,
求证：△≌△
答案：证明：∵ ∴四边形是平行四边形
∴ 同理可证：
又∵和方向相同 ∴
∴△和△中有 ∴△≌△
练习2：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．
求证：∠NMP＝∠BA1D.
答案：如图，连接CB1、CD1，
易得 四边形A1B1CD是平行四边形，
∴A1D∥B1C.
∵M、N分别是CC1、B1C1的中点，
∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1.
∵M、P分别是CC1、C1D1的中点，∴MP∥CD1，
∴MP∥A1B，
∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，
∴∠NMP＝∠BA1D.
例6：如右图，已知不共面的直线相交于点，、是直线上
两点，、分别是直线、上一点．求证：和是异面直线．
解析：证明其中一点不属于两外三点确定的平面即可．
答案：证明：∵ ∴由、确定一个面，设为
∵ ∴
∴且
又∵不共面， ∴
∴和是异面直线
练习1：1、两条异面直线是指（ ）
A、空间没有公共点的两条直线 B、分别位于两个平面内的直线
C、平面内的一条直线与平面外的一条直线 D、既不平行也不相交的两条直线
答案：D
练习2：下列说法正确的有 ．
①两直线无公共点，则两直线平行；②两直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任一直线均构成异面直线；④和两条一面直线都相交的直线的两直线必是异面直线．
答案：②
练习3：已知且，求证：，为异面直线．
答案：证明：如右图
∵ ∴而
∴
在直线上任取不同于的一点 ∵ ∴
∴与是异面直线，即，为异面直线
例7：正四面体的棱长为，、分别为棱、的中点，求异面直线和所成角的余弦值．
解析：找出其中一条直线的平行线，构造三角形求解．
答案：如右图， 连结，在面内过点作交于，则
(或其补角)为异面直线与所成的角，且是的中点．
又∵为的中点 ∴
∵△和△均为等边三角形，且边长为，、分别是它们的中线
∴，则
在△中， ∴
在△中，
即异面直线与所成的角的余弦值为
练习1：已知、为异面直线，，，，则直线（ ）
A、与、都相交 B、与、至少一条相交
C、与、都不相交 D、至多与、中的一条相交
答案：B
练习2：在棱长为1的中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：D
练习3：如右图，等腰直角三角形中，,若，且为的中点．求异面直线与所成角的余弦值．
答案：取的中点，连结，在△中，、分别为、
的中点．
∴ ∴或其补角即为所求异面直线与所成的角
在△中， ∴
在△中， ∴
在△中， ∴
在等腰△中， ∴异面直线与所成角的余弦值
1．在空间内，可以确定一个平面的条件是（ ）
A、两两相交的三条直线 B、三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交
C、三个点 D、三条直线，它们两两相交，但不交于同一点 E、两条直线
答案：D
2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )
A．异面 B．相交
C．平行 D．异面或相交
答案：D
3．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是（ ）
A、相交 B、异面 C、平行 D、相交或异面
答案：D
4．从空间一点分别向的两边作垂线，垂足分别为，则与的关系为（ ）
A、互补 B、相等 C、互补或相等 D、以上都不对
答案： D
5．在正四面体中，为的中点，则与所成角的余弦值为 ．
答案：
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基础巩固
1. 空间有四个点，其中无三点共线，可确定 个平面；若将此四点两两相连，再以所得线段中点为顶点构成一个几何体，则这个几何体至多有 个面．
答案：1或4，8
2、三个两两相交的平面最多可把空间分为 个部分．
答案：8
3、下面6个命题：
①四边相等的四边形是菱形；②两组对边相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角相等，则该四边形是圆内接四边形；④在空间，过已知直线外一点，引该直线的平行线，可能不只一条；⑤四条直线两两平行，无三线共面，它们共可确定6个平面．其中正确命题的个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
答案：B
4. 在正方体中，与成的面对角线共有（ ）
A、4条 B、6条 C、8条 D、10条
答案：C
5. 已已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．
答案：平行
能力提升
6.如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________．
答案：③. ①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．
7. 若直线a、b与直线l相交且所成的角相等，则a、b的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．三种关系都有可能
答案：D
8. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1∩D1B1＝O，E、F分别是B1O和C1O的中点，则在长方体各棱中与EF平行的有________条．
答案：∵E、F分别是B1O与C1O的中点，
∴EF∥B1C1，
又∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C1∥A1D1∥BC∥AD，
∴EF∥A1D1，EF∥BC，EF∥AD.
故在长方体的各棱中与EF平行的有4条．
9. 如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交平面α于E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.
答案：∵a∥α，α∩平面ABD＝EG，∴a∥EG，即BD∥EG，
∴＝，则EG＝＝＝.
10. 如右图，正方体中，求与所成角的大小
答案：（1）连结．
由正方体的性质可知， ∴四边形是平行四边形
∴ ∴与所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角
设正方体的棱长为，连结，在△中，
同理可得：∴△是等边三角形
∴ ∴与所成角为
2
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理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；
掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；
会判断异面直线、掌握异面直线的求法；
会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系．
一、平面
1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．
平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量．
2.平面的表示方法：
(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角
画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图．
(2)两个相交平面：
画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）
3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言
空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示
点、线、面的基本位置关系如下表所示：
图形语言 符号语言 文字语言（读法）
点在直线上
点不在直线上
点在平面内
点不在平面内
直线、交于点
直线在平面内
直线与平面无公共点
直线与平面交于点
平面、相交于直线
二、平面的基本性质
1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
推理模式：． 如图示：
或者：∵，∴
公理1的作用：①判定直线是否在平面内；
②判定点是否在平面内；
③检验面是否是平面．
2. 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线
推理模式： 如图示：
或者：∵，∴
公理2的作用：
(1)判断两个平面是否相交及交线位置；
(2)判断点是否在线上
今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)．
(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．
(2)有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
3. 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
推理模式：与重合
或者：∵不共线，∴存在唯一的平面，使得.
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．
(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
三、空间两直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
相交直线 在同一平面内 有且只有一个公共点
平行直线 在同一平面内 没有公共点
异面直线 不同在任何一个平面内 没有公共点
四、平行直线
1. 公理4 平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行
推理模式：．
(1)它是判断空间两条直线平行的依据； (2)它说明平行关系具有传递性
2.等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等．
由球的半径R计算球表面积的公式：S球＝.即球面面积等于它的大圆面积的4倍．
五、异面直线
1. 定义：
不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
(1)异面直线既不平行，也不相交，永远不存在一个平面能同时包含这两直线；
(2)不能把异面直线误认为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线
(3)异面直线一般是对两条直线而言的，没有三条异面直线的说法．
2．异面直线的画法
画异面直线时，为了充分显示不共面的特点，常常需要以辅助平面为衬托，以加强直观性．
3．异面直线判定定理
过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线
推理模式：直线与直线是异面直线
六、异面直线所成的角
1. 定义：
已知，是两条异面直线，经过空间任意一点作直线，我们把直线和所成的锐角（或直角）叫做异面直线，所成的角．
(1)异面直线所成的角与点的位置无关．
(2)如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直，记作．
(3)异面直线所成角的范围是．
2. 求异面直线所成角的步骤
（1）恰当选点，由平移构造出一个交角；
（2）证平行关系成立；
（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；
（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角．
七、直线、平面的位置关系
1．空间直线与平面的位置关系有以下三种：
(1)直线在平面内：如果一条直线a与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作a?α.
(2)直线与平面相交：直线a与平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，记作a∩α＝A，公共点A叫做直线a与平面α的交点．
(3)直线与平面平行：如果一条直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a∥α.
2.两个平面的位置关系有且只有一下两种：
(1)两个平面平行---没有交点
(2)两个平面相交---有一条公共直线
3.顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．
类型一 平面及其性质
例1：对下图的几何图形，下列表示错误的是( )
A．l∈α
B．P?l
C．l?α
D．P∈α
解析：由图形可知，l?α，P?l，P∈α，故选A.
答案：A
练习1：判断下列说法是否正确，并说明理由．
（1）平面的形状是平行四边形（ ） （2）任何一个平面图形都可以表示平面（ ）
（3）平面ABCD的面积为10㎡（ ） （4）空间图形中，后引的辅助线是虚线（ ）
答案： （1）（3）（4）错，（2）正确．
练习2：1、下列说法正确的个数（ ）
①铺的很平的一张纸是一个平面；②可以一个长20cm、宽30cm的平面；③通常300页的书要比10页的书厚一些，那么300个平面重合在一起时一定比10个平面重合在一起厚．
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
答案：A
练习3：若点在直线上，在直线平面内，则之间的关系可记作（ B ）
A、 B、 C、 D、
答案：B
例2：如右图，已知分别为空间四边形各边上的点，且，求证：共线．
解析：由公理2可判断D点在交线上．
答案：证明：∵ ∴
∵平面 ∴平面
同理平面
∵平面平面 ∴
∴共线
练习1：已知与三条平行线都相交，求证：与共面．
答案： 证明：如右图所示
∵ ∴直线与直线确定一个平面，设为
∵ ∴
∴ ∴
∵ ∴直线与直线确定一个平面，设为 同理可证
∵ ∴平面与平面重合
∴与共面
练习2：两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是（ ）
A、2个 B、有无数个且在一条直线上 C、一个或无数个 D、1个
答案：B
练习3：下列命题：①公理1可用集合符号叙述为：若且，则必有；②四边形的两条对角线必交于一点；③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四边作为平面边界线；④梯形是平面图形．其中正确的命题个数为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
答案：D
类型二 直线及其位置关系
例3：若a、b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．异面或相交
解析：如图，借助正方体可知c与b相交或异面．
答案：D
练习1：在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BD和CD的中点，长方体的各棱中与EF平行的有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
答案：如图所示
∵E、F分别为BD、CD的中点，
∴EF∥BC，又∵BC∥B1C1，
∴EF∥B1C1，同理，EF∥A1D1，EF∥AD.
故选D．
练习2：空间四边形ABCD中，给出下列说法：
①直线AB与CD异面；
②对角线AC与BD相交；
③四条边不能都相等；
④四条边的中点组成一个平行四边形．
其中正确说法的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：本题主要考查空间四边形，关键要理解空间四边形的概念．由定义知①正确；②错误，否则A、B、C、D四点共面；③不正确，可将一个菱形沿一条对角线折起一个角度，就成为四边相等的空间四边形；④正确，由平行四边形的判定定理可证．故选B．
练习3：a、b、c是空间中三条直线，下面给出几种说法：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交；
③若a、b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．
上述说法中正确的是________(仅填序号)．
答案：由基本性质4知①正确．
若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行，也可能相交或异面，②错误．
若平面α∩β＝l，a?α，b?β，a∥l，b∥l，则a∥b，③错误．
例4：已知正方体,、分别为、的中点，求证:
解析：平行四边形是平面图形，若能证得四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形就是平行四边形．
答案：证明：如右图，取中点，连结、．
∵为的中点 ∴
∴四边形为平行四边形 ∴
又∵ ∴
∴ 四边形为平行四边形 ∴ ∴
练习1：已知棱长为正方体,、分别为、的中点，
求证:四边形是梯形
答案：证明：如右图 ∵、分别为、的中点
∴
由正方体的性质知 ∴
∴四边形 是梯形．
练习2：已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若＝＝，
＝＝，则四边形EFGH形状为________．
答案：如右图
在△ABD中，∵＝＝，
∴EH∥BD且EH＝BD.
在△BCD中，∵＝＝，
∴FG∥BD且FG＝BD，∴EH∥FG且EH>FG，
∴四边形EFGH为梯形．
例5：已知、分别是正方体的棱、的中点．
求证：
解析：由等角定理，证明角的边之间的关系，进而得到角的关系．
答案: 证明：如右图，连结
∵、分别是、的中点 ∴
∴四边形为平行四边形 ∴
又∵ ∴
∴四边形是平行四边形 ∴
同理可证：
又与方向相同 ∴
练习1：如右图，不共面，且,
求证：△≌△
答案：证明：∵ ∴四边形是平行四边形
∴ 同理可证：
又∵和方向相同 ∴
∴△和△中有 ∴△≌△
练习2：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．
求证：∠NMP＝∠BA1D.
答案：如图，连接CB1、CD1，
易得 四边形A1B1CD是平行四边形，
∴A1D∥B1C.
∵M、N分别是CC1、B1C1的中点，
∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1.
∵M、P分别是CC1、C1D1的中点，∴MP∥CD1，
∴MP∥A1B，
∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，
∴∠NMP＝∠BA1D.
例6：如右图，已知不共面的直线相交于点，、是直线上
两点，、分别是直线、上一点．求证：和是异面直线．
解析：证明其中一点不属于两外三点确定的平面即可．
答案：证明：∵ ∴由、确定一个面，设为
∵ ∴
∴且
又∵不共面， ∴
∴和是异面直线
练习1：1、两条异面直线是指（ ）
A、空间没有公共点的两条直线 B、分别位于两个平面内的直线
C、平面内的一条直线与平面外的一条直线 D、既不平行也不相交的两条直线
答案：D
练习2：下列说法正确的有 ．
①两直线无公共点，则两直线平行；②两直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任一直线均构成异面直线；④和两条一面直线都相交的直线的两直线必是异面直线．
答案：②
练习3：已知且，求证：，为异面直线．
答案：证明：如右图
∵ ∴而
∴
在直线上任取不同于的一点 ∵ ∴
∴与是异面直线，即，为异面直线
例7：正四面体的棱长为，、分别为棱、的中点，求异面直线和所成角的余弦值．
解析：找出其中一条直线的平行线，构造三角形求解．
答案：如右图， 连结，在面内过点作交于，则
(或其补角)为异面直线与所成的角，且是的中点．
又∵为的中点 ∴
∵△和△均为等边三角形，且边长为，、分别是它们的中线
∴，则
在△中， ∴
在△中，
即异面直线与所成的角的余弦值为
练习1：已知、为异面直线，，，，则直线（ ）
A、与、都相交 B、与、至少一条相交
C、与、都不相交 D、至多与、中的一条相交
答案：B
练习2：在棱长为1的中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值是（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：D
练习3：如右图，等腰直角三角形中，,若，且为的中点．求异面直线与所成角的余弦值．
答案：取的中点，连结，在△中，、分别为、
的中点．
∴ ∴或其补角即为所求异面直线与所成的角
在△中， ∴
在△中， ∴
在△中， ∴
在等腰△中， ∴异面直线与所成角的余弦值
1．在空间内，可以确定一个平面的条件是（ ）
A、两两相交的三条直线 B、三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交
C、三个点 D、三条直线，它们两两相交，但不交于同一点 E、两条直线
答案：D
2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )
A．异面 B．相交
C．平行 D．异面或相交
答案：D
3．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是（ ）
A、相交 B、异面 C、平行 D、相交或异面
答案：D
4．从空间一点分别向的两边作垂线，垂足分别为，则与的关系为（ ）
A、互补 B、相等 C、互补或相等 D、以上都不对
答案： D
5．在正四面体中，为的中点，则与所成角的余弦值为 ．
答案：
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基础巩固
1. 空间有四个点，其中无三点共线，可确定 个平面；若将此四点两两相连，再以所得线段中点为顶点构成一个几何体，则这个几何体至多有 个面．
答案：1或4，8
2、三个两两相交的平面最多可把空间分为 个部分．
答案：8
3、下面6个命题：
①四边相等的四边形是菱形；②两组对边相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角相等，则该四边形是圆内接四边形；④在空间，过已知直线外一点，引该直线的平行线，可能不只一条；⑤四条直线两两平行，无三线共面，它们共可确定6个平面．其中正确命题的个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
答案：B
4. 在正方体中，与成的面对角线共有（ ）
A、4条 B、6条 C、8条 D、10条
答案：C
5. 已已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．
答案：平行
能力提升
6.如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________．
答案：③. ①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．
7. 若直线a、b与直线l相交且所成的角相等，则a、b的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．三种关系都有可能
答案：D
8. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1∩D1B1＝O，E、F分别是B1O和C1O的中点，则在长方体各棱中与EF平行的有________条．
答案：∵E、F分别是B1O与C1O的中点，
∴EF∥B1C1，
又∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C1∥A1D1∥BC∥AD，
∴EF∥A1D1，EF∥BC，EF∥AD.
故在长方体的各棱中与EF平行的有4条．
9. 如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交平面α于E，F，G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.
答案：∵a∥α，α∩平面ABD＝EG，∴a∥EG，即BD∥EG，
∴＝，则EG＝＝＝.
10. 如右图，正方体中，求与所成角的大小
答案：（1）连结．
由正方体的性质可知， ∴四边形是平行四边形
∴ ∴与所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角
设正方体的棱长为，连结，在△中，
同理可得：∴△是等边三角形
∴ ∴与所成角为
2