人教版高中数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质（教师版）【优能辅导含答案】

直线、平面垂直的判定及其性质


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理解空间中三种垂直关系的定义；
掌握空间中三种垂直关系判定及性质；
用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题．


一、直线与平面垂直
1.如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互垂直．
2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O，并且和这个平面内过点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离
3.直线和平面垂直的判定
4.(1)判定定理：如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
符号语言：l⊥a，l⊥b，a∩b＝A，a?α，b?α?l⊥α，
如图：
(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．
符号语言：a∥b，a⊥α ?b⊥α，
如图：
5．直线与平面垂直的性质
(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
符号语言：a⊥α，b⊥α ?a∥b，
如图：
(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
符号语言：a⊥α，b?α?a⊥b，
如图：
6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影
(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．
(2)若PA、PB、PC两两垂直，则O为△ABC的垂心．
(3)若P到△ABC三边距离相等，则O为△ABC的内心．
7．(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
直线和平面平行
1．平面与平面垂直的定义：
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面α、β互相垂直，记作α⊥β.
2．两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
符号表示：a⊥α，a?β ?α⊥β，
如图：

3．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面．

符号表示：α⊥β，α∩β＝CD，BA?α，BA⊥CD，B为垂足?BA⊥β，
如图：
推论：如果两个平面垂直，那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．

类型一 线面垂直
例1：如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
解析：由于D是AC中点，SA＝SC，∴SD是△SAC的高，连接BD，可证△SDB≌△SDA.由AB＝BC，则Rt△ABC是等腰直角三角形，则BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理即可得证．
答案：(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，
∴SD⊥AC.
在Rt△ABC中，连接BD，
则AD＝DC＝BD，又∵SB＝SA，SD＝SD，
∴△ADS≌△BDS.
∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，
∴SD⊥面ABC.
(2)∵BA＝BC，D为AC中点，∴BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥面ABC，∴SD⊥BD.
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
∴BD⊥平面SAC.
练习1： 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，
底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，
PA＝AD.求证：EF⊥平面PCD.
答案：如图，取PD的中点H，连接AH、HF.


∴FHCD，
∴FHAE，∴四边形AEFH是平行四边形，∴AH∥EF.
∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD.
又∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD.
又∵AH?平面PAD，∴CD⊥AH.
又∵PA＝AD，∴AH⊥PD，PD∩CD＝D，
∴AH⊥平面PCD，
又∵AH∥EF，∴EF⊥平面PCD.
练习2：如右图，在正方体中，为的中点，为的中心，
求证：平面
答案：连结,
由正方体的性质可知，,且
∴面 又∵面 ∴
设，则
∵

∴ ∴ ∵
∴平面
练习3：在如右图，在空间四边形中，,
求证：
答案：设为的中点，连结
∵ ∴
同理可证：
又∵ ∴面
∵面 ∴
例2：如图在△ABC中，∠B＝90°，SA⊥平面ABC，
点A在SB和SC上的射影分别是N、M，求证：MN⊥SC.
解析：根据直线平面垂直的性质，找到所求垂直的线段中的
一条与另一条所在的平面垂直，即可证明这两条线段互相垂直．
答案：证明：∵SA⊥平面ABC，
∴SA⊥BC，又∠ABC＝90°，
∴BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，
∴AN⊥BC，
又AN⊥SB，∴AN⊥平面SBC，
∴AN⊥SC，又AM⊥SC，
∴SC⊥平面AMN，
∴MN⊥SC.
练习1：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为A1D、AC上的点，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.
答案：如图所示，连接A1C1、C1D、BD、B1D1.
由于AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.
又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，
∴EF⊥平面A1C1D. ①
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1.
又∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1.
∵BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D.
而BD1?平面BB1D1D，∴BD1⊥A1C1.
同理，DC1⊥BD1，DC1∩A1C1＝C1，
∴BD1⊥平面A1C1D. ②
由①②可知EF∥BD1.
练习2：在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②垂直与同一直线的两条直线平行；③平行与同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的由___ ．
答案：①④
练习3：已知及平面，则下列命题正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：B
例3：如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，
∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝2，BC＝6.求证：BD⊥平面PAC.
解析：通过计算得到直角，进而得到垂直．
答案：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA.∵∠BAD和∠ABC都是直角，
∴tan∠ABD＝＝，tan∠BAC＝＝，
∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°.
∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC，
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.

练习1：在正方体中ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，
O为底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平面PAC.
答案：如图所示，连接AB1、CB1、B1D1、PB1、PO.
设AB＝a，则AB1＝CB1＝B1D1＝a，AO＝OC＝a，
∴B1O⊥AC.
∵B1O2＝OB2＋BB＝2＋a2＝a2，
PB＝PD＋B1D＝2＋(a)2＝a2，
OP2＝PD2＋DO2＝＋2＝a2，
∴B1O2＋OP2＝PB，∴B1O⊥OP.
又PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面PAC.
练习2: 如图，若测得旗杆PO＝4，PA＝PB＝5，OA＝OB＝3，则旗杆PO和地面α的关系是________．

答案：∵PO＝4，OA＝OB＝3，PA＝PB＝5，
∴PO2＋AO2＝PA2，PO2＋OB2＝PB2，
∴PO⊥OA，PO⊥OB.
又OA∩OB＝O，∴PO⊥平面AOB，∴PO⊥地面α.

类型二 平面与平面垂直
例4： 如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点，求证：平面AC1D⊥平面BCC1B1.
解析：运用平面垂直的判定．
答案：∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC.
又∵CC1⊥底面ABC，AD?平面ABC，
∴CC1⊥AD.
又BC∩CC1＝C，
∴AD⊥平面BCC1B1.
又AD?平面AC1D，
∴平面AC1D⊥平面BCC1B1.
练习1：三棱锥S－ABC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝60°，∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.
求证：平面ABC⊥平面SBC.
答案：解法一：取BC的中点D，连接AD、SD.
由题意知△ASB与△ASC是等边三角形，则AB＝AC.
∴AD⊥BC，SD⊥BC.
令SA＝a，在△SBC中，SD＝a，
又∵AD＝＝a，∴AD2＋SD2＝SA2.
即AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.
∵AD?平面ABC，
∴平面ABC⊥平面SBC.
解法二：∵SA＝SB＝SC＝a，
又∵∠ASB＝∠ASC＝60°，
∴△ASB、△ASC都是等边三角形．
∴AB＝AC＝a.
作AD⊥平面SBC于点D，
∵AB＝AC＝AS，∴D为△SBC的外心．
又∵△BSC是以BC为斜边的直角三角形，
∴D为BC的中点，故AD?平面ABC.
∴平面ABC⊥平面SBC.
练习2：如右图,在四面体中，．
求证：平面平面．
答案：取的中点，连结
∵ ∴ 同理
在△中，
∴ 同理
在△中， ∴ ∴
∵ ∴平面 ∵平面 ∴平面平面
练习3：空间四边形中，若，那么有（ ）
A、平面平面 B、平面平面
C、平面平面 D、平面平面
答案：D
例5：已知P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC.
解析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条放入一平面中，使另一条直线与该平面垂直，即由线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到：面面垂直?线面垂直?线线垂直．
答案：如图，在平面PAC内作AD⊥PC于点D，
∵平面PAC⊥平面PBC，AD?平面PAC，且AD⊥PC，
∴AD⊥平面PBC，
又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，
又AC?平面PAC，∴BC⊥AC.
练习1：已知三棱锥P－ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA＝PB＝PC.
(1)求证：AB⊥BC；
(2)若AB＝BC，过点A作AF⊥PB于点F，连接CF，求证：平面PBD⊥平面AFC.
答案：如图所示：
(1)取AC的中点D，连接PD、BD，
∵PA＝PC，∴PD⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，
∴PD⊥平面ABC，D为垂足．
∵PA＝PB＝PC，
∴DA＝DB＝DC，
∴AC为△ABC的外接圆的直径，故AB⊥BC.
(2)∵PA＝PC，AB＝BC，PB＝PB，
∴△ABP≌△CBP.
∵AF⊥PB，
∴CF⊥PB，又AF∩CF＝F，
∴PB⊥平面AFC，又PB?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面AFC.
练习2：已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，如图所示．求证：PA⊥平面ABC.
答案：如图所示，在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G，
∵平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，
∴DF⊥平面PAC，
又∵PA?平面PAC，∴PA⊥DF，
同理可证：DG⊥PA，
∵DF∩DG＝D，且DF?平面ABC，DG?平面ABC，
∴PA⊥平面ABC.

1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A．平行　 B．垂直
C．相交不垂直 D．不确定
答案：B
2．若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l与α的关系是( )
A．平行 B．相交
C．垂直 D．不确定
答案：D
3．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，给出下列四个命题：
①α∥β，l?β?l⊥m ②α⊥β?l∥m
③l∥m?α⊥β ④l⊥m?α∥β
其中正确的两个命题是( )
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
答案：D
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )

A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
答案：D
5．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m?α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α
答案：D
6. Rt△ABC所在平面α外一点P到直角顶点的距离为24，到两直角边的距离都是6，那么点P到平面α的距离等于__________．
答案： 12

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基础巩固
1．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．斜交 D．不能确定
答案：B
2．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是( )
A．b⊥β B．b∥β
C．b?β D．b?β或b∥β
答案：D
3．下列命题
①?a⊥b；　　　 ②?b⊥α；
③?a⊥b; ④?a⊥α；
⑤?b⊥α； ⑥?b∥α.
其中正确命题的个数是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
答案：A
4.．若平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，那么a、b的位置关系是(　　)
A．无公共点　　　　　　 B．平行
C．既不平行也不相交 D．相交
答案：A
5．直线a与平面α内的两条直线都垂直，则a与α的位置关系是(　　)
A．垂直 B．平行
C．a在平面α内 D．不确定
答案：D
6．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则(　　)
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
答案：C
7．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为____________________．
答案：MN⊥AB
8．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A.

答案：如图所示，连接A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．
取BC的中点N，连接AN、DN，
则DN∥A1B.
又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN.
又△ABC是正三角形，
∴AN⊥BC.
又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABCD∩平面BB1C1C＝BC，AN?平面ABC，
∴AN⊥平面BB1C1C.又B1C?平面BB1C1C，
∴B1C⊥AN.
又AN?平面AND，DN?平面AND，AN∩DN＝N，
∴B1C⊥平面AND.
又C1A?平面AND，∴B1C⊥AC1.
能力提升
9．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面(　　)
A．有且只有一个 B．至多有一个
C．有无数多个 D．一定不存在
答案：B
10. 已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝r，则球的体积与三棱锥体积之比是(　　)
A．π B．2π
C．3π D．4π
答案：D
11. 设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面(　　)
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
答案：C
12. 已知平面ABC外一点P，且PH⊥平面ABC于H.给出下列4个命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则PA＝PB＝PC；④若PA＝PB＝PC，则H是△ABC的外心．其中正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：D
13. 平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹为________．(填直线、圆、其它曲线)

答案：直线
14. 如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．

答案：2
15. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________________时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的即可)

答案：BM⊥PC（其它合理答案亦可）
16. 如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中点．

(1)求证：DE＝DA；
(2)求证：平面BDM⊥平面ECA；
(3)求证：平面DEA⊥平面ECA.
答案：(1)取EC的中点F，连接DF.
∵CE⊥平面ABC，
∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.
∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
EF＝CE＝DB，DF＝BC＝AB，
∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故DE＝DA.
(2)取AC的中点N，连接MN、BN，则MNCF.
∵BDCF，∴MNBD，∴N∈平面BDM.
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.
又∵AC⊥BN，EC∩AC＝C，∴BN⊥平面ECA.
又∵BN?平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.
(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，
∴DM⊥平面ECA.
又∵DM?平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.




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