人教版高中数学必修二第三章直线与方程3.1-3.2直线斜率与直线方程（教师版）【优能辅导含答案】

直线斜率与直线方程


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理解直线方程的定义与直线的斜率；
掌握并能灵活利用直线方程的各种形式解决相关问题．


一、直线方程定义与斜率
1．一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．
2．直线方程y＝kx＋b中，k叫做这条直线的斜率，b叫做这条直线在y轴上的截距，方程y＝kx＋b的图象是过点（0，b），斜率为k的直线．垂直于x轴的直线没有斜率．
3．经过两点A(x1，y1)、B(x2，y2)的直线，当x1≠x2时，斜率k＝；当x1＝x2时无斜率，此时直线方程为x=x1．
4.x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，垂直于x轴的直线倾斜角为90°．
我们规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°，倾斜角的范围是[0°，180°)．
5．直线的斜率和倾斜角反映了直线相对于x轴的倾斜程度，|k|越大，直线的倾斜程度越大．
α＝0°时，k=0；0°<α<90°时，k0；α＝90°时，k不存在；90°<α<180°时， k.
二、直线方程的几种形式
1．点斜式：过点P(x0，y0)，斜率为k的直线方程为y－y0＝k(x－x0)，它不能表示过P(x0，y0)斜率不存在的直线x＝x0．
2．斜截式：过点P(0，b)，斜率为k的直线方程y＝kx＋b，它也不能表示垂直于x轴的直线，b叫做直线在y轴上的截距，简称截距．
3．两点式：经过两点A(x1，y1)、B(x2，y2)的直线AB的方程
当时，为＝；
当x1＝x2时，为x＝x1；当y1＝y2时，为y＝y1．
两点式不能表示垂直于坐标轴的直线．
4. 截距式
在直线的两点式方程中，若是直线与两坐标轴的交点，即，此时方程叫做直线的截距式方程，其中是横截距，是纵截距．
说明：(1)截距式的适用范围是直线在两坐标轴的截距存在且不为零的情况．
(2)截距相等包括两轴上的截距同时为零和都不为零的情况．
5.一般式
方程（不全为）叫做直线的一般方程
(1)直线的其他形式都可以化成一般形式
(2)无论用哪种形式求出的直线方程一般情况下最后都要化成一般式．
(3)当时，表示斜率为（即与轴平行或重合）的直线；当时，表示斜率不存在（即与轴垂直）的直线；当时，表示斜率的直线．

类型一 直线方程与斜率
例1：经过点M(－2，m)、N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．1　 B．4
C．1或3 D．1或4
解析：由题意知，＝1，∴m＝1.
答案：A
练习1：给出下列命题：
①任何一条直线都有惟一的倾斜角；
②一条直线的倾斜角可以为－30°；
③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；
④按照倾斜角的概念，直线倾斜角的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一映射关系．
正确命题的个数是(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案：A.
练习2：经过点M(－2,1)、N(1，－2)的直线的斜率是(　　)
A．1　　　 B．－1
C. D．－2
答案：B.由斜率公式，得直线的斜率k＝＝－1.
例2：若直线l的向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(　　)
A．30° B．60° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
解析：如图，直线l有两种情况，
故l的倾斜角为60°或120°.
答案：D







练习1：直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是(　　)
A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°
C．90°<α<180° D．0°≤α<180°
答案：直线l经过第二、四象限，则其倾斜角为钝角，故选C.
练习2：求经过下列两点的直线斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．
（1）；（2）；（3）；（4）
答案：（1），∴为锐角； （2），∴
（3），∴为钝角； （4）由于，∴不存在，
类型二 点斜式直线方程
例3：若直线l满足下列条件，求其直线方程．
(1)过点(－1,2)且斜率为3；
(2)过点(－1,2)且与x轴平行；
(3)过点(－1,2)且与x轴垂直．
解析：运用点斜式求直线方程．
答案：(1)由直线的点斜式方程可得y－2＝3[x－(－1)]，即y－2＝3(x＋1)．
(2)由于直线的斜率为0，故直线方程为y＝2.
(3)由于直线斜率不存在，故直线方程为x＝－1.
练习1：求满足下列条件的直线方程．
(1)经过点A(2,5)，斜率是4；
(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；
答案：(1)y－5＝4(x－2)．
(2)∵直线的倾斜角为45°，∴直线的斜率为1，
∴直线方程为y－3＝x－2.
练习2：(1)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；
(2)经过点D(1,1)，与x轴垂直．
答案：(1)y＝－1.
(2)x＝1.
练习3：经过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程是(　　)
A．y＋2＝(x－3)　　 　B．y－2＝(x＋3)
C．y－2＝(x＋3) D．y＋2＝(x－3)
答案：∵直线的倾斜角为60°，
∴直线的斜率为，由点斜式方程可知所求直线的方程为y－2＝(x＋3)．
类型三 斜截式直线方程
例4：已知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为m.
(1)求直线l的方程；
(2)当m为何值时，直线通过(1,1)点．
解析：已知直线的斜率及y轴上的截距可选用斜截式方程．
答案：1)利用直线的斜截式方程，可得方程为y＝2x＋m.
(2)只需将点(1,1)代入直线y＝2x＋m，有1＝2×1＋m，∴m＝－1.
练习1：写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
答案：(1)y＝3x－3.
(2)∵k＝tan60°＝；∴y＝x＋5.
练习2：求过点A(－1，－2)、B(－2,3)的直线方程．
答案：kAB＝－5，∴直线AB的方程为y－3＝－5(x＋2)，化为斜截式：y＝－5x－7.
练习3：倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程为(　　)
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
答案：D.　∵直线的倾斜角为135°，∴直线的斜率k＝－1，又直线在y轴上的截距为－1，故其方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.
类型四 两点式直线方程
例5：三角形的顶点是A(－5,0)、B(3，－3)、C(0,2)．求这个三角形三边所在直线的方程．
解析：已知直线上两点，用两点式求直线方程．
答案：直线AB 过A(－5,0)、B(3，－3)两点，

由两点式得＝，整理得y＝－x－；
同理可得直线BC与AC的方程分别为：y＝－x＋2.
练习1：已知三角形的三个顶点A(－4,0)、B(0，－3)、C(－2,1)，求BC边上中线所在直线的方程．
答案：由中点坐标公式得，BC的中点D的坐标为(，)，即D(－1，－1)．
又直线AD过点A(－4,0)，由两点式方程得＝，即x＋3y＋4＝0.
练习2：求经过点M(－1，－2)和N(－1,3)的直线方程．
答案：直线经过两点(－1,0)和(0,3)，由两点式可得直线方程为：y＝3x＋3.
类型五 截距式直线方程
例6：直线l经过A(a,0)、B(0，b)两点(a·b≠0)，求直线l的方程．
解析：有直线与坐标轴交点的坐标可用截距式求直线方程．
答案：应用两点式得＝.
整理得＋＝1.
练习1：一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程．
答案：设所求直线方程为＋＝1，
∵点A(－2,2)在直线上，故有
－＋＝1. ①
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，
∴|a||b|＝1.
由①，②可得
(1)，　或(2).
解(1)得，或.
方程组(2)无解．
故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1.
练习2：直线l经过点P(2,3)且在x，y轴上的截距相等，求该直线的方程．
答案：解法一：①在x，y轴上的截距相等且均不为0时，设直线l的方程为＋＝1(a≠0)．又过点P(2,3)，∴＋＝1，求得a＝5，
∴直线l的方程为＋＝1.
②在x，y轴上的截距相等且均为0时，即直线过原点．
此时直线l的斜率为k＝＝，
∴直线l的方程为y＝x.
综上可知，所求直线的方程为＋＝1或y＝x.
解法二：①当l平行于x轴时，在y轴上的截距为3，与x轴无交点．
②当l垂直于x轴时，在x轴上的截距为2，与y轴无交点．
由l在x，y轴上的截距相等，可得①②均不满足题意．
从而l的斜率存在且不为0.
设直线的方程为y－3＝k(x－2)，
当x＝0时，y＝3－2k.当y＝0时，x＝2－.
由题意可知2－＝3－2k，解得k＝－1或k＝，
∴所求直线的方程为y－3＝－(x－2)或y－3＝(x－2)，
即＋＝1或y＝x.
例7：直线l过点P(－2,3)且与x轴、y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线l的方程．
解析：灵活选择直线方程的形式．一般说来，有如下几种情形：
(1)已知直线上一个定点，常设点斜式方程．此时，应注意不能忽视斜率不存在的情况．
(2)已知直线的斜率，常设点斜式或斜截式方程．
(3)已知截距，常设斜截式或截距式方程．此时应注意截距式不能表示平行或重合于坐标轴的直线和过原点的直线．
(4)已知两点，常设两点式方程．注意两点式不能表示平行或重合于坐标轴的直线．
答案：解法一：由题意知直线l的斜率k存在，设直线方程为y－3＝k(x＋2) (k≠0)，即kx－y＋2k＋3＝0，
令x＝0，得y＝2k＋3；令y＝0，得x＝－－2，
∴A(－－2,0)，B(0,2k＋3)，
∵AB中点为(－2,3)，
∴，得k＝.
∴直线l方程为y－3＝(x＋2)，
即直线l方程为y＝x＋6.
解法二：设A(a,0)，B(0，b)，
∵P为A、B的中点，∴＝－2，＝3，
∴a＝－4，b＝6，
∴直线l的方程为＋＝1，即y＝x＋6.
练习1：若直线的方程是，则它的截距式方程为 _____ ；直线与轴交点为 ______ ；与轴的交点为 ______ ．
答案：，，
练习2：下列四个命题中的真命题是(　　)
A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)来表示
B．经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)·(y2－y1)来表示
C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1来表示
D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b来表示
答案：B


1．有下列命题：
①若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；
②若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；
③坐标平面上所有的直线都有倾斜角；
④坐标平面上所有的直线都有斜率．
其中错误的是(　　)
A．①②　　　 B．③④　　　
C．①③　　　 D．②④
答案：D
2．若直线经过点(1,2)、(4,2＋)，则此直线的倾斜角是(　　)
A．150° B．120°
C．60° D．30°
答案：D
3．若A(－2,3)、B(3，－2)、C(，m)三点共线，则m的值为(　　)
A. B．－
C．－2 D．2
答案：A
4．在x轴上截距为2，在y轴上截距为－2的直线方程为(　　)
A．x－y＝2 B．x－y＝－2
C．x＋y＝2 D．x＋y＝－2
答案：A
5．若过原点的直线l的斜率为－，则直线l的方程是(　　)
A．x－y＝0　　　　　 B．x＋y＝0
C.x＋y＝0 D.x－y＝0
答案：C
6. 与直线3x－2y＝0的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为(　　)
A．y－3＝(x＋4) B．y＋3＝(x－4)
C．y－3＝－(x＋4) D．y＋3＝－(x－4)
答案： A
7. 已知三点A(a,2)、B(5,1)、C(－4,2a)在同一直线上，则a的值为________．
答案：2或
8. 直线y＝x－2的截距式方程是________．
答案：＋＝1

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基础巩固
1．已知直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，如右图所示，则(　　)

A．k1B．k3C．k3D．k1答案：D
2．已知M(1,2)、N(4,3)，直线l过点P(2，－1)且与线段MN相交，那么直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A．[－3,2]
B．[－，]
C．(－∞，－3]∪[2，＋∞)
D．(－∞，－]∪[，＋∞)
答案：C
3．直线y＝－2x－7在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则a、b的值是(　　)
A．a＝－7，b＝－7 B．a＝－7，b＝－
C．a＝－，b＝7 D．a＝－，b＝－7
答案：D
4．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m为(　　)
A．1 B．2
C．－ D．2或－
答案：D
5．直线l过点(－1，－1)和(2,5)，点(1 007，b)在直线l上，则b的值为________．
答案：2 015
能力提升
6．斜率为2的直线过(3,5)、(a,7)、(－1，b)三点，则a＋b等于(　　)
A．4 B．－7
C．1 D．－1
答案：C
7. 方程y＝ax＋表示的直线可能是(　　)


答案：B
8. 已知点P在y轴上，点N是点M关于y轴的对称点，直线PM的斜率为k(k≠0)，则直线PN的斜率为____________．
答案：－k
9.已知直线l方程为y＋1＝(x－)，且l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则|a＋b|等于________．
答案：
10. 求斜率为且与两坐标轴围成的三角形周长为12的直线方程．
答案：设直线方程为y＝x＋b，
令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－b.
∴|b|＋|－b|＋＝12.
∴|b|＋|b|＋|b|＝12，∴b＝±3.
∴所求直线方程为y＝x±3.


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