人教版高中数学必修二第四章圆与方程4.1圆的方程（教师版）【优能辅导含答案】

圆的方程


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掌握圆的标准方程会求圆的标准方程；
圆的一般方程和代入法的掌握、应用．


一、圆的标准方程
1．平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆，定点是圆心，定长是半径．
2．确定圆的几何要素：
(1)不共线三点确定一个圆，圆心在任意两点连线段的中垂线上，三点确定的三角形叫该圆的内接三角形，该圆叫做这个三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心．
(2)圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只要圆心和半径确定下来，圆也就确定下来了，因此求圆的方程必须具备三个独立条件．
3．圆心为(a，b)半径为r(r>0)的圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，称作圆的标准方程．特别地，圆心在原点、半径为r的圆方程为x2＋y2＝r2.
4．点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系．
P在圆外?(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，
P在圆上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，
P在圆内?(x0－a)2＋(y0－b)2二、圆的一般方程
1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得2＋2＝.
(1)当D2＋E2－4F>0时，方程表示以为圆心，为半径的圆；
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；
(3)当D2＋E2－4F<0 时，方程没有实数解，它不表示任何图形．
2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4F>0
.
3．点P(x0，y0)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的位置关系是：
P在圆内?，
P在圆上? ，
P在圆外? .
4．求轨迹方程的五个步骤：
(1)建系：建立适当的坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
(2)设点：写出适合条件P的点M的集合P＝{M|p(M)}；
(3)列式：用坐标(x，y)表示条件p(M)，列出方程F(x，y)＝0；
(4)化简：化方程F(x，y)＝0为最简形式；
(5)查漏、剔假：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．


类型一 圆的标准方程
例1：写出下列方程表示的圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2＝2；
(2)(x－3)2＋y2＝4；
(3)x2＋(y－1)2＝9；
(4)(x＋1)2＋(y＋2)2＝8.
解析：用圆的标准方程的公式解决．
答案：(1)圆心(0,0)，半径为.
(2)圆心(3,0)，半径为2.
(3)圆心(0,1)，半径为3.
(4)圆心(－1，－2)，半径为2.
练习1：已知圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，试根据下列条件，分别写出a、b、r应满足的条件：
(1)圆心在x轴上；
(2)圆与y轴相切；
(3)圆过原点且与y轴相切；
(4)圆与两坐标轴均相切．
答案：(1)b＝0.
(2)r＝|a|(a≠0)．
(3)r＝|a|(a≠0，b＝0)．
(4)|a|＝|b|＝r(a≠0，b≠0)．
练习2：已知圆的方程为，试判断点是在圆上，圆内，还是在圆外？
答案：∵ ∴点在圆上
∵ ∴点在圆外
∵ ∴点在圆内
例2：过两点P(2,2)、Q(4,2)，且圆心在直线x－y＝0上的圆的标准方程是(　　)
A．(x－3)2＋(y－3)2＝2
B．(x＋3)2＋(y＋3)2＝2
C．(x－3)2＋(y－3)2＝
D．(x＋3)2＋(y＋3)2＝
解析：解法一：点P(2,2)不在选项B、C、D中的圆上，排除B、C、D，故选A.
解法二：设圆心坐标为(a，a)，半径为R，由题意得(a－2)2＋(a－2)2＝(a－4)2＋(a－2)2，
解得a＝3.
∴R2＝(3－2)2＋(3－2)2＝2，故选A.
答案：A
练习1：求经过点A(10,5)、B(－4,7)，半径为10的圆的方程．
答案：解法一：设圆心为(a，b)
∴
①－②整理得7a－b－15＝0，即b＝7a－15，③
将③代入①得a2－6a＋8＝0.
∴a＝2或a＝4，则b＝－1或b＝13.
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝100或(x－4)2＋(y－13)2＝100.
解法二：A、B的垂直平分线方程为
y－6＝－(x－3)即y＝7x－15.
设圆心为(a，b)，由于圆心在AB的垂直平分线上，
∴b＝7a－15， ①
又∵(a－10)2＋(b－5)2＝100， ②
将①代入②可得a＝2或a＝4.(以下同解法一)
练习2：求满足下列条件的方程
（1）圆心在原点，半径是； （2）圆心在点上，半径半径是；
（3）圆心在直线上，又圆与坐标轴相切
答案：（1）； （2）
（3）设所求的方程为： 由题意知，即或
又∵圆心在直线上，
∴或 解得：或
∴所求方程为或
练习3：求以A(2,2)、B(5,3)、C(3，－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程．
答案：设所求圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意得，
解得.
故△ABC的外接圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5.
类型二 圆的一般方程
例3：m是什么实数时，关于x、y的方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示一个圆？
解析：形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有两种方法：①由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0，则表示圆，否则不表示圆；②将方程配方，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式．若不是，则要化为这种形式再求解．
答案：由题意，得2m2＋m－1＝m2－m＋2，
即m2＋2m－3＝0，
解得m＝－3或m＝1.
当m＝1时，原方程化为2x2＋2y2＋3＝0.
不合题意舍去；
当m＝－3时，原方程化为14x2＋14y2－1＝0，
即x2＋y2＝，表示以原点为圆心，
以为半径的圆．
练习1：已知方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
答案：(1)由题意，得D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
即4m2＋4－4m2－20m>0，
解得m<，
故m的取值范围为(－∞，)．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.
练习2：表示一个圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
例4：已知△ABC的三个顶点为A(1,4)、B(－2，3)、C(4，－5)，求△ABC的外接圆的一般方程．
解析：设PQ的中点为M，则由中点坐标公式得M(1,0)．
∵点M在直线ax－y＋b＝0上，∴a＋b＝0.
又PQ所在直线与直线ax－y＋b＝0垂直，
∴·a＝－1，
∴a＝2.故b＝－2.
答案：设△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A、B、C三点在圆上，
∴，
解得.
∴△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.
练习1：求过点C(－1,1)和D(1,3)且圆心在直线y＝x上的圆的一般方程．
答案：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为(－，－)，
∴
∴.
∴所求圆的一般方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.
练习2：的三个顶点坐标分别为，求其外接圆的方程．
答案：设圆的方程为
由题意知 解得
∴所求方程为

例5：等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
解析：利用等腰三角形性质两腰相等．　
答案：设另一端点C的坐标为(x，y)．
依题意，得|AC|＝|AB|.
由两点间距离公式，
得＝，
整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.
练习1：自圆x2＋y2＝4上的点A(2,0)引此圆的弦AB，求弦AB的中点轨迹方程．
答案：设AB的中点P(x，y)，B(x1，y1)，则有x＋y＝4，
且x＝，y＝.∴x1＝2x－2，y1＝2y.
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1.
当A、B重合时，P与A点重合，不合题意，
∴所求轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2)．
练习2：已知动点到定点的距离等于到的距离的倍，那么点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
答案：B

1．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)满足(　　)
A．是圆心 B．在圆上
C．在圆内 D．在圆外
答案：C
2．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心坐标和半径分别为(　　)
A．(－1,2)，2 B．(1，－2)，2
C．(－1,2)，4 D．(1，－2)，4
答案：A
3．已知A(3，－2)，B(－5,4)，则以AB为直径的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25
B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25
C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100
D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100
答案：B
4．圆x2＋y2－2x＋y＋＝0的圆心坐标和半径分别是(　　)
A．(－1，)；1　　　　　　 B．(1，－)；1
C．(1，－)； D．(－1，)；
答案：B
5．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是(　　)
A．a<－2或a> B．－C．－2答案：　D
6．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于(　　)
A.π　　　 B．2π
C．2π　　　 D．4π
答案：C
7. 若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________.
答案：±2
8. 点P(1，－2)和圆C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2＝0的位置关系是________
答案：在圆C外部．
9.求经过点P(5,1)，圆心为点C(8，－3)的圆的标准方程．
答案：由题意知，圆的半径
r＝|CP|＝＝5，
圆心为点C(8，－3)．
∴圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.

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基础巩固
1．点P与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．在圆内 B．在圆外
C．在圆上 D．与t有关
答案：|PO|＝＝＝1，故点P在圆上．C
2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程是(　　)
A．(x－2)2＋y2＝5
B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5
D．x2＋(y＋2)2＝5
答案：圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2,0)，圆心关于原点的对称点为(2,0)，即对称圆的圆心为(2,0)，对称圆的半径等于已知圆的半径，故选A.
3．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　)
A．一个点 B．一个圆
C．一条直线 D．不存在
答案：A
4．已知点P是圆C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上任意一点，P点关于直线2x＋y－1＝0的对称点在圆C上，则实数a等于(　　)
A．10 B．－10
C．20 D．－20
答案：B. 由题意知，直线2x＋y－1＝0过圆C的圆心(－2，－)，∴2×(－2)－－1＝0，∴a＝－10.

能力提升

5．过点A(1,2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25
B．(x－1)2＋(y－3)2＝2
C．(x－5)2＋(y－5)2＝25
D．(x－1)2＋(y－1)2＝1
答案：A
6．圆(x＋3)2＋(y－1)2＝25上的点到原点的最大距离是(　　)
A．5－ B．5＋
C. D．10
答案：B
7. 一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0上的最短路程是(　　)
A．4 B．5
C．3－1 D．2
答案：A
8.经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于的圆的方程是__________________．
答案：　(x＋)2＋y2＝2
9.经过两点P(－2,4)、Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．
答案：　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P、Q两点的坐标分别代入，得

又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.
由已知，|x1－x2|＝6(其中x1，x2是方程x2＋Dx＋F＝0的两根)，∴D2－4F＝36， ③
①、②、③联立组成方程组，解得
，　或.
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
10．圆C通过不同三点P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1)，已知圆C在点P的切线的斜率为1，试求圆C的方程．
答案：　设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵点P(k,0)、Q(2,0)在圆上，
∴k、2为方程x2＋Dx＋F＝0的两根．
∴k＋2＝－D,2k＝F.即，
又因圆过点P(0,1)，故1＋E＋F＝0.
∴E＝－F－1＝－2k－1，故圆的方程为
x2＋y2－(k＋2)x－(2k＋1)y＋2k＝0.
∴圆心C的坐标为.
又∵圆在点P的切线斜率为1，
∴＝－1，即k＝－3，
从而D＝1，E＝5，F＝－6.
即圆的方程为x2＋y2＋x＋5y－6＝0.

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