人教版高中数学必修二第四章圆与方程4.2直线、圆的位置关系（教师版）【优能辅导含答案】

直线、圆的位置关系


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能判断直线与圆的位置关系并能解决相关问题 ；
能判断圆与圆的位置关系并解决相关问题．


一、直线与圆的位置关系
1．几何判定法：
设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离：
(1)d>r?圆与直线相离；
(2)d＝r?圆与直线相切；
(3)d2．代数判定法：
由消元，得到一元二次方程的判别式Δ，则
(1)Δ>0?直线与圆相交；
(2)Δ＝0?直线与圆相切；
(3)Δ<0?直线与圆相离．
二、圆的切线问题
1.切线方程
（1）圆上一点处的切线方程为
（2）圆上一点处的切线方程为
2.切线长公式
过圆外一点引圆的切线，设点为,则切线长或
三、弦长问题
1.几何法
直线与圆交于两点，圆心到直线的距离为，则圆的半径，与弦长的一半构成直角三角形的三边，即，故求出后再求．
2.代数法——弦长公式
设圆，直线：，则被圆截得的弦长或
四、圆与圆的位置关系：
1、几何方法：两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)与(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)圆心距
d＝，
d>r1＋r2?两圆外离；d＝r1＋r2?两圆外切；
|r1－r2|d＝|r1－r2|?两圆内切；
02、代数方法：方程组
有两组不同实数解?两圆相交；
有两组相同实数解?两圆相切；
无实数解?两圆外离或内含．
3．两圆的公切线条数：当两圆内切时有1条公切线；当两圆外切时有3条公切线；相交时有2条公切线；相离时有4条公切线；内含时无公切线．

类型一 直线与圆的位置关系
例1：已知直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1，判断它们的位置关系．
解析：由圆心到直线的距离与半径的大小关系判断位置关系，或者由直线与圆的交点数判断．
答案：解法一：圆x2＋y2＝1的圆心是O(0,0)，半径r＝1，
圆心到直线的距离d＝＝1＝r，
∴直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1相切．
解法二：由，
得25x2－30x＋9＝0，
Δ＝(－30)2－4×25×9
＝900－900＝0，
∴直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1相切．
练习1：判断下列直线与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系：
(1)x－y－2＝0；
(2)x＋2y－1＝0.
答案：(1)解法一：已知圆的圆心为C(1,1)，半径r＝1.圆心C到直线x－y－2＝0的距离d1＝＝>r＝1，
∴直线x－y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相离．
解法二：由，得
2x2－8x＋9＝0，
∴Δ＝(－8)2－4×2×9＝64－72
＝－8<0
∴直线x－y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相离
(2)解法一：已知圆的圆心C(1,1)，半径r＝1.
圆心C到直线x＋2y－1＝0的距离d2＝＝<1，
∴直线x＋2y－1＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交．
解法二：由，
得5x2－6x＋1＝0，
Δ＝(－6)2－4×5×1＝36－20＝16>0，
∴直线x＋2y－1＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交.
练习2：直线：与圆：的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
答案：C
例2：已知圆的方程是x2＋(y－1)2＝2，直线y＝x－b，当b为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点？
解析：代数法求解
答案：解法一：将y＝x－b代入x2＋(y－1)2＝2中消去y得2x2－2(1＋b)x＋b2－1＝0※，其判别式Δ＝4(1＋b)2－8(b2－1)＝－4(b＋1)(b－3)，
当－10，方程※有两个不等实根，直线与圆有两个公共点．
当b＝－1或3时，Δ＝0，方程※有两个相等实根，直线与圆有一个公共点．
当b<－1或b>3时，Δ<0，方程※无实数根，直线与圆无公共点．
解法二：圆心O(0,1)到直线y＝x－b距离d＝，圆半径r＝.
当d当d＝r，即b＝－3或1时，直线与圆相切，有一个公共点．
当d>r，即b<－3或b>1时，直线与圆相离，无公共点．
练习1：当m为何值时，直线x－y－m＝0与圆x2＋y2－4x－2y＋1＝0有两个公共点？有一个公共点？无公共点？
答案：由，
得2x2－2(m＋3)x＋m2＋2m＋1＝0，
Δ＝4(m＋3)2－8(m2＋2m＋1)
＝－4m2＋8m＋28，
当Δ>0，即－2＋1当Δ＝0，即m＝－2＋1或m＝2＋1时，直线与圆相切，有一个公共点；
当Δ<0，即m<－2＋1或m>2＋1时，直线与圆相离，无公共点．

练习2：以为圆心的圆与直线相离，那么圆的半径的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：C

例3：已知圆的方程为x2＋y2＝r2，求过圆上一点P(x0，y0)的切线方程．
解析：1.当点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2内时，过点P的任何直线与圆都相交，此时无切线，但x0x＋y0y＝r2有特殊含义，它与圆相离，PO与该直线垂直，圆上所有点到此直线的距离中，以直线PO与圆的两个交点取最大值与最小值．
2．当点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上时，过点P的切线有且仅有一条x0x＋y0y＝r2可作公式应用，其推证方法很重要，要熟练掌握．
答案：若x0y0≠0，直线OP的方程为y＝x，则过点P的圆的切线斜率为－.
方程为y－y0＝－(x－x0)，化简得：x0x＋y0y＝x＋y，
∵P点在圆上，
∴x＋y＝r2，
∴过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2(容易验证，当x0＝0或y0＝0时也满足)．
练习1：过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，求该直线的方程．
答案：圆x2＋y2＋4x＋3＝0化为标准式(x＋2)2＋y2＝1，圆心C(－2,0)．
设过原点的直线方程为y＝kx，即kx－y＝0.
∵直线与圆相切，
∴圆心到直线的距离等于半径，即＝1.
∴3k2＝1，k2＝.解得k＝±.
∵切点在第三象限，∴k>0.
∴所求直线方程为y＝x.

练习2：若直线与圆相切，则的值等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
答案：D
例4：已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
(2)若直线l与圆C交于A、B两点，当|AB|＝时，求m的值．
解析：本题主要考查直线与圆的相交及弦长问题．(1)问可考虑直线过定点，通过定点在圆内证明，(2)问可利用弦长公式求解．
答案：(1)解法一：由，消去y整理，得(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0.
∵Δ＝(－2m2)2－4(m2＋1)(m2－5)＝16m2＋20>0，对一切m∈R成立，∴直线l与圆C总有两个不同交点．
解法二：由已知l：y－1＝m(x－1)，
故直线恒过定点P(1,1)．
∵12＋(1－1)2<5，∴P(1,1)在圆C内．
∴直线l与圆C总有两个不同的交点．
(2)解法一：圆半径r＝，
圆心(0,1)到直线l的距离为d，
d＝＝.
由点到直线的距离公式，得＝，
解得m＝±.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
|AB|＝
＝
＝
＝
∴m＝±.
练习1：直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交，截得的弦长为4，求l的方程．
答案：解法一：设直线l的方程为y－5＝k(x－5)且与圆C相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，消去y，
得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0.
∴Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0.
解得k>0.
x1＋x2＝－，x1x2＝.
由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)．
∴|AB|＝
＝
＝
＝
＝4.两边平方，整理得：2k2－5k＋2＝0.
解得：k＝，或k＝2.
故直线l的方程为：x－2y＋5＝0，或2x－y－5＝0.
解法二：如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，在Rt△AHO中，|OA|＝5，|AH|＝|AB|＝×4＝2，

∴|OH|＝＝.
∴＝.解得：k＝或k＝2.
∴直线l的方程为：x－2y＋5＝0，或2x－y－
练习2：求直线被圆解得的弦长
答案： 解法一：圆可化为
∴圆心,半径
点到直线的距离为
∴ ∴
解法二：联立直线与圆的方程
消去得：
设两交点的坐标分别为
由韦达定理有
∴弦长
类型二 圆与圆的位置关系
例5：判断圆x2＋y2＋6x－7＝0与圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系．
解析：代数方法或者几何方法．　
答案：解法一：圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为C1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为C2(0，－3)，半径为r2＝6，则两圆的圆心距d＝|C1C2|＝＝3，
∴|r1－r1|解法二：由，
得2x2＋x＋＝0，
Δ＝2－4×2×＝－＝>0，
∴两圆相交．
练习1：判断圆x2＋y2＋2x＝0与圆x2＋y2＋4y＝0的位置关系．
答案：解法一：圆x2＋y2＋2x＝0的圆心为C1(－1,0)，半径r1＝1，圆x2＋y2＋4y＝0的圆心为C2(0，－2)，半径r2＝2，则两圆的圆D心距
d＝|C1C2|＝＝，
∴r2－r2∴两圆相交，
解法二：由，
得5x2＋8x＝0，
Δ＝82－4×5×0＝64－0＝64>0，
∴两圆相交.
练习2：圆x2＋y2－6x＝0和圆x2＋y2＋8y＋12＝0的位置关系是(　　)
A．相离　 B．相外切
C．相交 D．相内切
答案：B
例6：实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？
解析：由圆心距与两圆的半径和的关系得到不等式，接触k的范围．
答案：将两圆的一般方程化为标准方程，得
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C1：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
则圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2 的圆心为C2(1,7)，半径r2＝，k<50.
∴|C1C2|＝＝5.
当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切；
当|－1|＝5，即k＝14时，两圆内切；
当14则r2－r1<|C1C2|当k<14或34练习1：已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时：(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．
答案：对于圆C1与圆C2的方程，经配方后
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9.
圆心C1(m，－2)，半径r1＝3.
C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
圆心C2(－1，m)，半径r2＝2.
(1)如果C1与C2外切，则有
＝3＋2，
∴m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或2.
(2)如果C1与C2内含，则有
<3－2，
∴m2＋3m＋2<0，∴－2综上所述，当m＝－5或m＝2时，C1与C2外切；
当－2练习2:若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)
A．21 B．19
C．9 D．－11
答案：　C
例7：已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0.求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
解析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去x2项、y2项，即得两圆的两个交点所在的直线方程．利用勾股定理可求出两圆公共弦长．
答案：设两圆交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则A、B两点坐标是方程组
的解
①－②得　3x－4y＋6＝0.
∵A、B两点坐标都满足此方程，
∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．
易知圆C1的圆心(－1,3)，半径r＝3.
又C1到直线AB的距离为
d＝＝.
∴|AB|＝2＝2＝.
即两圆的公共弦长为.
练习1：⊙A的方程为x2＋y2－2x－2y－7＝0，⊙B的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，判断⊙A和⊙B是否相交，若相交，求过两交点的直线的方程及两交点间的距离；若不相交，说明理由．
答案：⊙A的方程可写为(x－1)2＋(y－1)2＝9，
⊙B的方程可写为(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，
∴两圆心之间的距离|AB|＝＝2，满足1<|AB|<5.
即两圆心之间的距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差的绝对值．∴两圆相交．
⊙A的方程与⊙B的方程左、右两边分别相减得－4x－4y－5＝0，即4x＋4y＋5＝0为过两圆交点的直线的方程．
设两交点分别为C、D，则CD：4x＋4y＋5＝0，
点A到直线CD的距离为
d＝＝.
由勾股定理，得：|CD|＝2＝2＝.
练习2:(2014·福建安溪八中高一期末测试)已知两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x－2y－40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________．
答案：2x＋y－5＝0

1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．－3
答案：B
2．如果a2＋b2＝c2，那么直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
答案：C
3．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是(　　)
A．内切　　 B．相交　　
C．外切　　 D．外离
答案：B
4．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋4)2＝4外切，则正实数r的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
5．圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为________．
答案：4＋
6．(2014·重庆文，14)已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为________．
答案：0或6

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基础巩固
1．(2014·广东揭阳一中阶段测试)直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是(　　)
A．相离 B．相交
C．相切 D．不确定
答案：　B
2．(2014·甘肃高台一中月考)圆x2＋y2－4y＋3＝0与直线2x＋y＋b＝0相切，正实数b的值为(　　)
A. B．1
C．2－1 D．3
答案：B
3．两圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0和C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有(　　)
A．1条　　　 B．2条　　　
C．3条　　　 D．4条
答案：B
4．(2014·辽宁大连第二中学高一期末测试)已知圆C和y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
答案：由题意可设圆心坐标为(a，)，圆的半径R＝|a|，由题意得()2＋()2＝a2，
∴a2＝9，a＝±3.
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
能力提升

5．与圆x2＋(y－2)2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有(　　)
A．6条 B．4条
C．3条 D．2条
答案：C
6．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长是(　　)
A.　　 　 B.
C．1　 　　 D.
答案　A
7. 半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是(　　)
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
答案：D
8. 求满足下列条件的圆x2＋y2＝4的切线方程：
(1)经过点P(，1)；
(2)经过点Q(3,0)；
(3)斜率为－1.
答案：(1)∵()2＋12＝4，∴点P(，1)在圆上，
故所求切线方程为x＋y＝4.
(2)∵32＋02>4，∴点Q在圆外．
设切线方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0.
∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，
∴＝2，k＝±，
∴所求切线方程为y＝±(x－3)，
即2x±y－6＝0.
(3)设圆的切线方程为y＝－x＋b，代入圆的方程，整理得
2x2－2by＋b2－4＝0，∵直线与圆相切，
∴Δ＝(－2b)2－4×2(b2－4)＝0.解得b＝±2.
∴所求切线方程为x＋y±2＝0.
9. 求⊙C1：x2＋y2－2y＝0与⊙C2：x2＋y2－2x－6＝0的公切线方程．
答案：⊙C1：x2＋(y－1)2＝12，圆心C1(0,1)，半径r＝1，
⊙C2：(x－)2＋y2＝32，圆心C2(，0)，半径R＝3，
圆心距|C1C2|＝2，∴|C1C2|＝R－r，
故两圆内切，其公切线有且仅有一条过该两圆的公共点(切点)，
又由内切两圆的连心线过切点且垂直于两圆的公切线知，切点在直线C1C2上，
∵C1C2：x＋y－＝0，∴切线斜率k＝.
设切线方程为y＝x＋b，由圆心C1(0,1)到切线距离d＝1，得＝1，∴b＝3或－1.
由C2(，0)到切线距离d′＝3，得＝3，
∴b＝3或－9，∴b＝3，
∴公切线方程为y＝x＋3，即x－y＋3＝0.

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