人教版高中数学必修二第四章圆与方程4.3空间直角坐标系（教师版）【优能辅导含答案】

空间直角坐标系


__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________

通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法；
通过空间中两点的距离解决问题．


一、空间直角坐标系
1. 从空间某一定点引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了
空间直角坐标系.如右图所示.
点叫做坐标原点，、和三轴分别叫做横、纵轴和竖轴，通过每
两个轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面.
通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向轴的正方向，
食指指向轴的正方向，中指指向轴的正方向.
2．空间特殊平面与特殊直线：
每两条坐标轴分别确定的平面yOz、xOz、xOy，叫做坐标平面．
xOy平面(通过x轴和y轴的平面)是坐标形如(x，y,0)的点构成的点集，其中x，y为任意的实数；
xOz平面(通过x轴和z轴的平面)是坐标形如(x,0，z )的点构成的点集，其中x，z为任意的实数；
yOz平面(通过y轴和z轴的平面)是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集，其中y，z为任意的实数；
x轴是坐标形如(x,0,0)的点构成的点集，其中x为任意实数；
y轴是坐标形如(0，y,0)的点构成的点集，其中y为任意实数；
z轴是坐标形如(0,0，z)的点构成的点集，其中z为任意实数．
3．空间结构：
三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一个卦限．在坐标平面xOy上方，分别对应该坐标平面上四个象限的卦限，称为第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限称为第Ⅴ、第Ⅵ、第Ⅶ、第Ⅷ卦限．
二、关于一些对称点的坐标求法
1.关于坐标平面对称



2.关于坐标轴对称



三、空间两点间的距离公式
一般地，空间中任意两点间的距离为
特殊地，任一点到原点的距离为

类型一 空间点的坐标
例1：已知棱长为2的正方体ABCD－A′B′C′D′，建立如图所示不同的空间直角坐标系，试分别写出正方体各顶点的坐标．

解析：由空间直角坐标系定义求解
答案：①对于图一，因为D是坐标原点，A、C、D′分别在x轴、y轴、z轴的正半轴上，又正方体的棱长为2，所以D(0,0,0)、A(2,0,0)、C(0,2,0)、D′(0,0,2)．
因为B点在xDy平面上，它在x轴、y轴上的射影分别为A、C，所以B(2,2,0)．
同理，A′(2,0,2)、C′(0,2,2)．
因为B′在xDy平面上的射影是B，在z轴上的射影是D′，所以B′(2,2,2)．
②对于图二，A、B、C、D都在xD′y平面的下方，所以其z坐标都是负的，A′、B′、C′、D′都在xD′y平面上，所以其z坐标都是零．因为D′是坐标原点，A′，C′分别在x轴、y轴的正半轴上，D在z轴的负半轴上，且正方体的棱长为2，所以D′(0,0,0)、A′(2,0,0)、C′(0,2,0)、D(0,0，－2)．
同①得B′(2,2,0)、A(2,0，－2)、C(0,2，－2)、B(2,2，－2)．
练习1：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，棱长为1，求E、F点的坐标．

答案：建立如图所示的空间直角坐标系．
E点在xOy面上的射影为B(1,1,0)，
且z坐标为，∴E.
F点在xOy面上的射影为BD的中点G，
G，且z坐标为1，∴F.
练习2：点(2,0,3)位于(　　)
A．y轴上　　　　　　　 B．x轴上
C．xOz平面内 D．yOz平面内
答案：C
例2：已知V－ABCD为正四棱锥，O为底面中心，AB＝2，VO＝3，试建立空间直角坐标系，并求出各顶点的坐标．
解析：本题中由于所给几何体是正四棱锥，故建系方法比较灵活，除答案所给方案外，也可以正方形ABCD的任一顶点为原点，以交于这一顶点的两条边所在直线分别为x轴、y轴建系．如以A为顶点AB、AD所在直线分别为x轴、y轴建系，等等．
答案：因为所给几何体为正四棱锥，其底面为正方形，对角线相互垂直，故以O为原点，互相垂直的对角线AC、BD所在直线为x轴、y轴，OV为z轴建立如图所示坐标系．
∵正方形ABCD边长AB＝2，
∴AO＝OC＝OB＝OD＝，又VO＝3，
∴A(0，－，0)，B(，0,0)，C(0，，0)，
D(－，0,0)，V(0,0,3)．

练习1：如图所示，棱长为a的正方体OABC－D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于点Q，顶点O为坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，试写出点Q的坐标．
答案：∵OB′与BD′相交于Q点，
∴Q点在xOy平面内的投影应为OB与AC的交点，
∴Q点坐标为.
同理可知Q点在xOz平面内的投影也应为AD′与OA′的并点，
∴Q点坐标为.
练习2：在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和府视图分别为(　　)

A．①和② B．③和①
C．④和③ D．④和②
答案：D
例3：在平面直角坐标系中，点P(x，y)的几种特殊的对称点的坐标如下：
(1)关于原点的对称点是P′(－x，－y)，
(2)关于x轴的对称点是P″(x，－y)，
(3)关于y轴的对称点是Px，y)，
那么，在空间直角坐标系内，点P(x，y，z)的几种特殊的对称点坐标：
(1)关于原点的对称点是P1________；
(2)关于横轴(x轴)的对称点是P2________；
(3)关于纵轴(y轴)的对称点是P3________；
(4)关于竖轴(z轴)的对称点是P4________；
(5)关于xOy坐标平面的对称点是P5________；
(6)关于yOz坐标平面的对称点是P6________；
(7)关于zOx坐标平面的对称点是P7________.
解析：由空间直角坐标系定义，类比平面直角坐标系得出结论
答案：(1)(－x，－y，－z)．(2)(x，－y，－z)．
(3)(－x，y，－z)．(4)(－x，－y，z)．
(5)(x，y，－z)．(6)(－x，y，z)．
(7)(x，－y，z)．
练习1：求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．
答案：如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称，且C(1,2,1)．

过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB，
则A与B关于x轴对称，且B(1，－2,1)．
∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C(1,2,1)；
A(1,2，－1)关于x轴对称的点B(1，－2,1)．
练习2：点关于坐标平面对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
类型二 空间两点间距离公式

例4：证明以A(4,3,1)、B(7,1,2)、C(5,2,3)为顶点的△ABC是等腰三角形．
解析：运用两点间距离公式
答案：　由两点间距离公式：
|AB|＝＝，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝，
∵|BC|＝|AC|，∴△ABC为等腰三角形．
练习1：求下列两点间的距离．
(1)A(－1，－2,3)、B(3,0,1)；
(2)M(0，－1,0)、N(－3,0,4)．
答案：(1)d(A，B)＝＝2.
(2)d(M，N)＝＝.
练习2：2．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是(　　)
A．|a|　　　 B．|b|　　　
C．|c|　　　 D．以上都不对
答案：C
例5：如图所示，在河的一侧有一塔CD＝5m，河宽BC＝3m，另一侧有点A，AB＝4m，求点A与塔顶D的距离AD.
解析：建立合适的空间直角坐标系解决问题

答案：以塔底C为坐标原点建立如下图所示的坐标系．
则D(0,0,5)，A(3，－4,0)，
∴d(A，D)＝＝5，
即点A与塔顶D的距离为5m.
练习1：已知空间三点A(1,2,4)、B(2,4,8)、C(3,6,12)，求证A、B、C三点在同一条直线上．
答案：d(A，B)＝＝，
d(B，C)＝＝，
d(A，C)＝＝2，
∴AB＋BC＝AC，故A、B、C三点共线．
练习2：以三点为顶点的三角形是（ C ）
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
答案：C
例6：求到两点A(2,3,0)、B(5,1,0)距离相等的点P的坐标满足的条件．
解析：运用两点间距离公式.
答案：设P(x，y，z)，
则PA＝，
PB＝.
∵PA＝PB，
∴＝.
化简得6x－4y－13＝0.
∴点P的坐标满足的条件为6x－4y－13＝0.
练习1：若点P(x，y，z)到A(1,0,1)、B(2,1,0)两点的距离相等，则x，y，z满足的关系式是____________；
答案：2x＋2y－2z－3＝0
练习2：若点A(2,1,4)与点P(x，y，z)的距离为5，则x、y、z满足的关系式是____________；
答案：(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25
练习3：已知空间两点A(－3，－1,1)、B(－2,2,3)在Oz轴上有一点C，它与A、B两点的距离相等，则C点的坐标是____________．
答案：


1．下列说法：
①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；
②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；
③在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c)；
④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c)．
其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
2．在空间直角坐标系Oxyz中，点(3,4，－5)关于z轴对称的点的坐标是(　　)
A．(－3，－4,5) B．(－3，－4，－5)
C．(－3,4,5) D．(3,4,5)
答案：　B
3．设点B是点A(2，－3,5)关于xOy坐标平面的对称点，则|AB|等于(　　)
A．10　　　　　　　　　　　 B.
C. D．38
答案：A
4．已知三点A(－1,0,1)、B(2,4,3)、C(5,8,5)，则(　　)
A．三点构成等腰三角形
B．三点构成直角三角形
C．三点构成等腰直角三角形
D．三点构不成三角形
答案：D
5．点(1,1，－2)关于yOz平面的对称点的坐标是________．
答案：(－1,1，－2)
6．空间直角坐标系中的点A(2,3,5)与B(3,1,4)之间的距离是________．
答案：
7. 在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称点的坐标是________．
答案：(2,0,3)

_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________

基础巩固
1．点P(－1,2,0)位于(　　)
A．y轴上 B．z轴上
C．xOy平面上 D．xOz平面上
答案：C
2．点P(－1,2,3)关于xOy坐标平面对称点的坐标是(　　)
A．(1,2,3) B．(－1，－2,3)
C．(－1,2，－3) D．(1，－2，－3)
答案：C
3．已知A(1,0,2)、B(1，－3,1)，点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为(　　)
A．(－3,0,0) B．(0，－3,0)
C．(0,0，－3) D．(0,0,3)
答案：C
4．已知正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为A(－6，－6，－6)、B(8,8,8)，且两点不在正方体的同一个面上，正方体的对角线长为(　　)
A．14 B．3
C．5 D．42
答案：A
5.已知一长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心在坐标原点O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，其中顶点A1、B1、C1、D1分别位于第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ卦限，且棱长AA1＝2，AB＝6，AD＝4.求长方体各顶点的坐标．
答案：由题意，可建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，


∴A1(3,2,1)、B1(－3,2,1)、C1(－3，－2,1)、D1(3，－2,1)，A(3,2，－1)、B(－3,2，－1)、
C(－3，－2，－1)、D(3，－2，－1).

能力提升

6．点A(－3,1,5)、B(4,3,1)的中点坐标是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
7. 以正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1的中点的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
8. 点M(2，－3,5)到x轴的距离d等于(　　)
A.　 　 B.　 　
C.　 　 D.
答案：B
9. 如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上且C1E＝3EC.试建立适当的坐标系，写出点B、C、E、A1的坐标．

答案：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标Dxyz.依题设，B(2,2,0)、C(0,2,0)、E(0,2,1)、A1(2,0,4)．

10. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．
答案：建立如图所示空间直角坐标系，据题设条件有：

|A1C1|＝2，
∵|MC1|＝2|A1M|，
∴|A1M|＝，
∴M(，，4)．
又C(2,2,0)，D1(0,2,4)，N为CD1中点∴N(1,2,2)，∴|MN|＝＝.


7