人教版高中数学必修二第三章直线与方程3.3（2）两条直线的位置关系（教师版）

两条直线的位置关系


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掌握两条直线的位置关系；
能解决两条直线的位置关系相关问题


一、两直线平行、相交与重合的条件
1．已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0，i＝1,2)．
(1)l1与l2相交的条件：A1B2-A2B1≠0
或．(A2B2≠0)
(2)l1与l2平行的条件：A1B2-A2B1=0而B1C2-B2C1≠0或A2C1-A1C2≠0;
或(A2B2C2≠0
(3)l1与l2重合的条件：A1=A2, B1=B2, C1=C2 ()
或．(A2B2C2≠0)
2.已知两直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
(1)l1∥l2的条件：k1＝k2且b1≠b2.
(2)l1与l2重合的条件：k1＝k2且b1＝b2.
(3)l1与l2相交的条件：k1≠k.
二、两直线垂直的条件
1．两直线垂直的条件
(1)l1：A1x＋B1y＋C1＝0，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)，
l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
(2)l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，
l1⊥l2?k1·k2＝－1.

类型一 两条直线平行
例1：判断下列各组中两条直线的位置关系．
(1)l1：y＝3x＋4，l2：2x－6y＋1＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：y＝＋；
(3)l1：(－1)x＋y＝3，l2：x＋(＋1)y＝2；
(4)l1：x＝5，l2：x＝6.
解析：有两条直线的位置关系判定公式判定直线的关系.
答案：(1)A1＝3，B1＝－1，C1＝4；A2＝2，B2＝－6，C2＝1.
∵≠，∴l1与l2相交．
(2)A1＝2，B1＝－6，C1＝4；
把l2化为x－3y＋2＝0，∴A2＝1，B2＝－3，C2＝2.
∵＝＝，∴l1与l2重合．
(3)A1＝－1，B1＝1，C1＝－3；A2＝1，B2＝＋1，C2＝－2.
∵＝≠，∴l1与l2平行．
(4)l1与l2平行．
练习1：判定下列每组中所给两直线l1与l2的位置关系．
(1)l1：x＋2y－3＝0，l2：2x＋4y＋1＝0.
(2)l1：y＝－3x＋1，l2：y＝x＋2.
(3)l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x－6y＋2＝0.
答案：(1)平行　(2)相交　(3)重合
练习2：下列命题：
①若直线与的斜率相等，则；②若直线，则两直线的斜率相等；③若直线的斜率均不存在，则；④若两直线的斜率不相等，则两直线不平行；⑤如果直线，且的斜率不存在，那么的斜率也不存在．其中正确命题的序号为 ___ ．
答案：④⑤
例2、已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2
(1)相交；(2)平行；(3)重合．
解析：充分利用条件，但要考虑直线垂直于x轴或平行于x轴的情况．
答案： 当m＝0时，则l1：x＋6＝0，l2：2x－3y＝0，
∴l1与l2相交；
当m＝2时，则l1：x＋2y＋6＝0，l2：3y＋4＝0，
∴l1与l2相交；
当m≠0，m≠2时，＝，＝，＝.
当＝时，＝，解得m＝－1，或m＝3.
当＝时 ，＝，解得m＝3.
综上所述，(1)当m≠－1，且m≠3时，方程组有惟一解，l1与l2相交；
(2)当m＝－1时，方程组无解，l1与l2平行；
(3)当m＝3时，方程组有无数组解，l1与l2重合．
练习1：已知直线l1：ax＋2y＋6＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则实数a的取值是(　　)
A．－1或2 　　 B．0或1
C．－1 　　 D．2
答案：∵l1∥l2，∴a(a－1)－2＝0，
∴a＝－1或2.
当a＝2时，l1与l2重合，∴a＝－1.
练习2：已知两直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋(a＋4)y＋2＝0，若l1∥l2，求a的值．
答案：当a＝－4时，l1：4x－3y＋3＝0与l2：4x＋2＝0不平行，∴a≠－4.
∵l1∥l2，∴＝，∴a2＋4a－12＝0，
∴a＝2或a＝－6.
当a＝－6时，l1：－6x＋3y－3＝0，即2x－y＋1＝0，l24x－2y＋2＝0，即2x－y＋1＝0，
此时l1与l2重合，∴a≠－6.
当a＝2时，l1：2x＋3y－3＝0，l2：4x＋6y＋2＝0，即2x＋3y＋1＝0，∴l1∥l2.
综上可知，a＝2.
例3：试求三条直线ax＋y＋1＝0，x＋ay＋1＝0，x＋y＋a＝0构成三角形的条件．
解析：三条直线构成三角形，则任两条直线都相交，且不能相交于一点．
答案：解法一：任两条直线都相交，则
≠，≠，故a≠±1.
且三条直线不共点，故的交点(－1－a,1)不在ax＋y＋1＝0上，即a(－1－a)＋1＋1≠0，a2＋a－2≠0，(a＋2)(a－1)≠0，∴a≠－2且a≠1，综合上述结果，此三条直线构成三角形的条件是a≠±1，a≠－2.
解法二：∵三条直线能构成三角形，
∴三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点，若l1、l2、l3交于一点，则
l1：x＋y＋a＝0与l2：x＋ay＋1＝0的交点P(－a－1,1)在l3：ax＋y＋1＝0上，
∴a·(－a－1)＋1＋1＝0，∴a＝1或a＝－2.
若l1∥l2，则有＝1，a＝1.
若l1∥l3，则有＝1，a＝1.
若l2∥l3，则有＝a，a＝±1.
∴l1、l2、l3构成三角形时，a≠±1，a≠－2.
练习1：三条直线l1：x＋y＝2，l2：x－y＝0，l3：x＋ay－3＝0能构成三角形，求实数a的取值范围．
答案：∵kl1＝－1，kl2＝1，∴当a＝±1时，l3与l1、l2中一条平行，此时三条直线不能构成三角形．
又l1与l2交点为(1,1)，若点(1,1)在l3上，则a＝2，综上可知：a≠2，且a≠±1时，三条线可构成三角形．
练习2：直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线的方程．
答案：由 得 ∴交点坐标是
∵直线与两坐标轴围成等腰直角三角形 ∴其斜率为
∴所求直线的方程为：
即或
类型二 两条直线垂直
例4：当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
解析：在利用k1·k2＝－1判定垂直关系时，一定要注意直线的斜率是否有可能不存在这一情况．
答案：解法一：①当1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直；
②当2a＋3＝0，即a＝－时，
直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直；
③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1、l2的斜率k1、k2存在，
k1＝－，k2＝－.
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
即·＝－1，∴a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
解法二：∵直线l1⊥l2，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
练习1：判断下列各组中两条直线l1与l2是否垂直．
(1)l1：2x－y＝0，l2：x－2y＝0；
(2)l1：2x－4y－7＝0，l2：2x＋y－5＝0；
(3)l1：2x－7＝0，l2：6y－5＝0.
答案：(1)不垂直．
∵k1＝2，k2＝，
∴k1k2＝1，故l1与l2不垂直．
(2)垂直．
k1＝，k2＝－2，
∴k1k2＝－1，故l1⊥l2.
(3)l1：x＝，l2：y＝，
故l1⊥l2.

练习2：如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的斜率为(　　)
A．－　　　　　　　
B.
C．－
D.
答案：C


例5：若直线(a＋2)x＋(1－a)y＝a2(a>0)与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a等于(　　)
A．1 B．－1 C．±1 D．2
解析：由题意得，(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，即a2＝1，
又∵a>0，∴a＝1.
答案：A
练习1：若直线l1：(2a＋5)x＋(a－2)y＋4＝0与直线l2：(2－a)x＋(a＋3)y－1＝0互相垂直，则(　　)
A．a＝2　　　　　　　 B．a＝－2
C．a＝2或a＝－2 D．a＝2,0，－2
答案：C
练习2：已知直线2ax＋y－1＝0与直线(a－1)x＋ay＋1＝0垂直，则实数a的值等于(　　)
A. B.
C．0或 D．0或
答案：C


1．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
答案：A
2．经过两条直线2x＋y－4＝0和x－y＋1＝0的交点，且与直线2x＋3y－1＝0平行的直线方程是(　　)
A．2x＋3y－7＝0 B．3x－2y＋1＝0
C．2x＋3y－8＝0 D．2x－3y＋2＝0
答案：C
3．直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，则m的值为(　　)
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
答案：C
4．直线x＋y＝0和直线x－ay＝0垂直，则a的值为(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．2
答案：B
5．过点P(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为(　　)
A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
答案：B
6. 以A(－2,1)、B(4,3)为端点的线段的垂直平分线的方程是(　　)
A．3x－y＋5＝0 B．3x－y－5＝0
C．3x＋y－5＝0 D．3x＋y＋5＝0
答案：C
7. l1过点A(m,1)、B(－3,4)，l2过点C(0,2)、D(1,1)，且l1∥l2，则m＝________.
答案：0
8. 求过直线x－y－2＝0和4x－2y－5＝0的交点且与直线2x＋3y＋5＝0垂直的直线方程．
答案：由，得.
∴过点(，－)且与直线2x＋3y＋5＝0垂直的直线方程为y＋＝(x－)，
即6x－4y－9＝0.

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基础巩固
1．一期末测试)若直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点在第一象限，则实数k的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.∪
答案：A
2．对于直线ax＋y－a＝0(a≠0)，以下说法正确的是(　　)
A．恒过定点，且斜率与纵截距相等
B．恒过定点，且横截距恒为定值
C．恒过定点，且与x轴平行
D．恒过定点，且与x轴垂直
答案：B
3．和直线3x＋4y－7＝0垂直，并且在x轴上的截距是－2的直线方程是________________．
答案：4x－3y＋8＝0
4．下列命题：
①若两条直线平行，则其斜率必相等；②若两条直线垂直，则其斜率的乘积必是；③过点且斜率为的直线方程是；④同垂直于轴的两条直线都和轴平行或重合．其中真命题的由 ．
答案：④
5． 已知三角形三顶点A(4,0)、B(8,10)、C(0,6)，求：
(1)AC边上的高所在的直线方程；
(2)过A点且平行于BC的直线方程．
答案：(1)kAC＝＝－，
∴AC边上的高所在的直线的斜率k＝，
其方程为y－10＝(x－8)，
即2x－3y＋14＝0.
(2)kBC＝＝，
∴过A点且平行于BC的直线方程为y＝(x－4)，
即x－2y－4＝0.

能力提升
6．设P1(x1，y1)是直线l：f(x，y)＝0上一点，P2(x2，y2)是不在直线l上的点，则方程f(x，y)＋f(x1，y1)＋f(x2，y2)＝0所表示的直线与l的关系是(　　)
A．平行 B．重合
C．相交 D．位置关系不确定
答案：A
7. 设集合A＝，B＝{(x，y)|4x＋ay－16＝0，x，y∈R}，若A∩B＝?，则a的值为(　　)
A．4 B．－2
C．4或－2 D．－4或2
答案：C
8. 已知直线3ax－y＝1与直线x＋y＋1＝0互相垂直，则a的值是(　　)
A．－1或 B．1或
C．－或－1 D．－或1
答案：D由(2m＋1)x－(m－2)y＋5(m＋2)＝0，得m(2x－y＋5)＋(x＋2y＋10)＝0，
由，解得.
故无论m取何值，直线(2m＋1)x－(m－2)y＋5(m＋2)＝0都过定点(－4，－3)．
9. 无论m取何值，直线(2m＋1)x－(m－2)y＋5(m＋2)＝0都过定点________．
答案：(－4，－3)
10. 已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋C＝0垂直相交于点(1，m)，则a＝________，C＝________，m＝________.
答案：∵直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋C＝0垂直，∴－·＝－1，∴a＝5.
又∵点(1，m)在直线5x＋2y－1＝0上，
∴m＝－2.又∵点(1，－2)在直线2x－5y＋C＝0上，
∴C＝－12.
11. 平行四边形的两邻边的方程是x＋y＋1＝0和3x－y＋4＝0，对角线的交点是O′(3,3)，求另外两边的方程．
答案：建立如图所示的直角坐标系，
根据，
得顶点A.因为O′是对角线AC的中点，且O′为(3,3)，
所以顶点C的坐标为.
由x＋y＋1＝0知，kAB＝－1，所以kCD＝－1，由点斜式得y－＝－，即x＋y－13＝0.因为kAD＝3，所以kBC＝3，由点斜式得y－＝3，
即3x－y－16＝0，∴另外两边的方程分别为x＋y－13＝0,3x－y－16＝0.
12.已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0.
求：(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程．
答案：(1)设点C的坐标为(m，n)，
∵kBH＝，∴kAC＝－2，
∴＝－2.
又点C(m，n)在直线2x－y－5＝0上，
∴2m－n－5＝0.
由，得.
∴点C的坐标为(4,3)．
(2)设点B的坐标为(a，b)，则a－2b－5＝0，
AB的中点M的坐标为(，)，
∴2×－－5＝0，
即2a－b－1＝0.
由，得.
∴点B的坐标为(－1，－3)，
∴直线BC的方程为＝，
即6x－5y－9＝0.





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