人教版高中数学必修三第一章算法初步1.1算法与程序框图（1）（教师版）【个性化辅导含答案】

算法与程序框图（1）


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1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点。
2.熟悉各种程序框及流程线的功能和作用。



1. 算法的概念
算法(algorithm)一词出现于12世纪，源于算术(algorism)，即算术方法。指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程。在数学中，算法通常是指按照一定的规则解决某一类问题的明确的和有限的步骤。现在，算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。
广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。
在数学中，按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤称为算法。
思路简单清晰，叙述复杂，步骤繁琐，计算量大，完全依靠人力难以完成。而这些恰恰就是计算机的特长，它能不厌其烦地完成枯燥的、重复的繁琐的工作。 正因为这些，现代算法的作用之一就是使计算机代替人完成某些工作，这也是我们学习算法的重要原因之一。
算法具有五个重要特点：
（1）有限性：算法应由有限步组成，至少对某些输入，算法应在有限多步内结束，并给出计算结果。
（2）确定性：算法对每一个步骤都有确切的，能有效执行且得到确定结果的，不能模棱两可。
（3）逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一步都只能有一个确定的后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进入到后一步，并且每一步都确定无误后，才能解决问题。
（4）不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于同一个问题可以有不同的解法。
（5）普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决。
2. 程序框图
（1）程序框图的概念
程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。
（2）常见的程序框图(ANSI，美国国家标准化协会)
程序框 名称 功能
流程线 流程进行的方向
连接点 连接另一页或另一部分
起止框 表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。
输入、输出框 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。
处理框 赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。
判断框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。

（3）四种基本的图形及其功能用法：
①起止框：框内填写开始、结束，任何程序框图中，起止框是必不可少的；
②输入、输出框：框内填写输入、输出的字母、符号等；
③处理框(执行框)：算法中需要的算式、公式、对变量进行赋值等要用执行框表示。
④判断框：当算法要求在不同的情况下执行不同的运算时，需要判断框。框内填写判断条件。
（4）画流程图的规则
为了使大家彼此之间能够读懂各自画出的框图，必须遵守一些共同的规则，下面对一些常用的规则作简单的介绍。
①使用标准的框图符号。
②框图一般按从上到下、从左到右的方向画。
③除判断框外，其它框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号。
④一类判断框是“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。
⑤在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
⑥起始框只允许一条流出线，终止框只允许一条流入线，输入框、输出框、处理框只有一条流入线和一条流出线，判断框有一条流入线和两条流出线，但任何时候只有一条流出线起作用。
⑦一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要的文字说明。

类型一 算法的概念
例1：我们已学过的算法有一元二次方程的求根公式、加减消元法求二元一次方程组的解、二分法求函数零点等．对算法的描述有：
(1)对一类问题都有效；
(2)对个别问题有效；
(3)计算可以一步一步进行，每一步都有唯一结果；
(4)是一种通法，只要按部就班地做，总能得到结果．以上描述正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[解析] 设计的算法应该是对一类问题都有效，而不是只对个别问题有效．所以(1)对，(2)不对．由算法的确定性、有限性、顺序性易知(3)、(4)都是正确的，故描述正确的有3个．
[答案] C
练习1:下列可以看成算法的是________(填序号)．
(1)某人乘车去公园，先遛弯，再买菜，最后带着菜回家；
(2)利用三角形的面积公式S＝×底×高，求解边长分别为3、4、5的三角形的面积；
(3)解不等式2x－3>0；
(4)已知圆经过点A(0,0)、B(2,1)、C(0,2)，设出圆的一般方程，利用待定系数法求出圆的方程．
[答案]　(1)(2)(4)
练习2：算法的有限性是指(　　)
A．算法的最后包含输出
B．算法中每个操作步骤都是可执行的
C．算法的步骤必须有限
D．以上说法都不正确
[答案]　C
类型二 数值性问题的算法
例2：写出解不等式≤2的一个算法．
[解析]　此题考查一元一次不等式的求解步骤，先将等式左边的分式化为整式，再通过移项、化x的系数为1可解得．
一般地，求一元一次不等式Ax＋B≤C的解的算法如下：
S1　输入不等式Ax＋B≤C的系数A、B、C.
S2　如果A>0，则输出不等式的解集为{x|x≤}，否则执行S3；
S3　输出不等式的解集为{x|x≥}．
[答案]　S1　不等式两边同乘以5得4x－6≤10；
S2　不等式两边都加上6得4x≤16；
S3　不等式两边同除以4可得x≤4；
S4　输出不等式的解集为{x|x≤4}．
练习1：写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一个算法．
[答案]　S1　计算1＋2得到3；
S2　将S1的运算结果3与3相加，得到6；
S3　将S2的运算结果6与4相加，得到10；
S4　将S3的运算结果10与5相加，得到15；
S5　将S4的算运结果15与6相加，得到21；
S6　输出运算结果21.
练习2：求过P(a1，b1)、Q(a2，b2)两点的直线斜率k有如下算法，请在横线上填上适当的步骤：
S1　取x1＝a1，y1＝b1，x2＝a2，y2＝b2；
S2　判断“x1＝x2”是否成立，若是，输出“斜率不存在”，否则执行S3；
S3　______________________________________；
S4　输出k.
[答案]　计算k＝
类型三 非数值性问题的算法
例3：有蓝和黑两个墨水瓶，但是错把黑墨水装在了蓝墨水瓶里面，而蓝墨水装在了黑墨水瓶里面．请你设计一个算法，将其互换．
[解析]若互换两个墨水瓶中的墨水，只有题中所给条件是不能实现的，需借助一个空瓶来实现．
[答案]S1　寻找一个新的空瓶，记作白瓶；
S2　将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中；
S3　将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑墨水瓶中；
S4　将白瓶中的蓝墨水装入蓝墨水瓶中；
S5　交换结束．
练习1：一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元，你能用天平(无砝码)将假银元找出来吗？写出解决这一问题的一种算法．
[答案]　能．
解法一：算法步骤如下：
S1　任取2枚银元分别放在天平的两边，如果天平左、右不平衡，则轻的那一边就是假银元；如果天平平衡，则进行S2；
S2　取下右边的银元，放在一旁，然后把剩下的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一边就是假银元．
解法二：算法步骤如下：
S1　把9枚银元平均分成3组，每组3枚；
S2　先将其中两组分别放在天平的两边，如果天平不平衡，那么假银元就在轻的那一组；如果天平左右平衡，则假银元就在未称量的那一组里；
S3　取出含假银元的那一组，从中任取2枚银元放在天平的两边进行称量，如果天平不平衡，则假银元在轻的那一边；如果天平平衡，则未称的那一枚就是假银元.
类型四 算法的要求与设计
例4：给出求解下列方程组的一个算法：

[解析]　加减消元法是解二元一次方程组的常用方法，可以依此设计算法，也可以利用公式法来设计．
[答案]　算法步骤如下：
S1　方程①不动，将方程②中x的系数除以方程①中x的系数，得到乘数m＝＝2；
S2　将方程②减去m与方程①的乘积，消去方程②中的x项，得到；
S3　将上面的方程组自下而上回代求解，得到y＝－1，x＝4.
故原方程组的解为.
练习1：设火车托运行李，当行李重量为m(kg)时，每千米的费用(单位：元)标准为
y＝，试写出当托运路程为S千米时计算运费的算法．
[解析]　算法如下：
S1　输入m；
S2　若m≤30，则执行S3，若m>30，则执行S4；
S3　输出0.3m×S；
S4　输出[0.3×30＋0.5(m－30)]×S.
练习2：已知直线l的倾斜角是60°，且l过点(1,2)，写出求l的方程的一个算法．
[答案]　算法如下：
S1　设直线l的方程为y－2＝k(x－1)；
S2　计算k＝tan60°＝；
S3　把S2得到的结果代入S1所设的方程，得到y－2＝(x－1)；
S4　整理S3得到的方程，得到方程x－y＋2－＝0.
类型五 程序框图的概念
例5：关于程序框图，有以下说法：
①程序框图只有一个入口，也只有一个出口；
②输入框只能在开始框之后，输出框只能在结束框前；
③判断框内的条件是惟一的；
④在程序框图中，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是惟一具有超过一个退出点的一个符号；
⑤一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断，而且有且仅有两个结果，另一种是多分支判断，有几种不同的结果；
⑥在图形符号内描述的语言要非常简练、清楚．
其中正确说法的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
[解析]　输入、输出框可以在程序中需要输入输出的任何位置．判断框内的条件不是惟一的，如a≤b，可改为a>b.∴选C.
[答案]　C
练习1：下列关于程序框图的说法正确的是(　　)
A．程序框图是描述算法的语言
B．在框图中，一个判断框最多只能有两个退出点
C．程序框图虽可以描述算法，但不如用自然语言描述算法直观
D．程序框图和流程图不是一个概念
[答案]　A
练习2：下列关于程序框图的说法中正确的个数是(　　)
①用程序框图表示算法直观、形象、容易理解；
②程序框图能够清楚地展现算法的逻辑结构，也就是通常所说的一图胜万言；
③在程序框图中，起止框是任何流程不可少的；
④输入和输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[答案]　D
类型六 程序框图的画法
例6:已知f(x)＝x2－2x－3，画出求f(3)、f(－5)、 f(5)的值的一个程序框图．
[解析]　程序框图如图所示：
解法一： 解法二：

练习：已知两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，求线段AB的长度d及中点P的坐标．请设计算法并画出框图.
[答案]　算法如下：
S1　输入x1，y1，x2，y2；
S2　计算d＝；
S3　x0＝，y0＝；
S4　输出d(x0，y0)．
框图如下：

类型七 判断框的应用
例7：画出一个求一个数绝对值的程序框图.
[解析]当一个问题的结果因条件不同而发生改变时，在程序框图中必须使用判断框．注意判断框的两个输出点处要注明“是”或“否”．
[答案]算法步骤如下：
S1　输入实数x；
S2　若x≥0，则y＝x；若x<0，则y＝－x；
S3　输出y.
程序框图如图所示：

练习：下面的程序框图描述的算法的运行结果是(　　)

A．－5 B．－1 C．－6 D．不确定
[答案]　A


1.下面四种叙述中，能称为算法的是(　　)
A．在家里一般是妈妈做饭
B．做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤
C．在野外做饭叫野炊
D．做饭必须有米
[答案]　B
2.下面对算法描述正确的是(　　)
A．算法只能用自然语言来描述
B．算法只能用图形方式来表示
C．同一个问题可以有不同算法
D．同一个问题算法不同，结果必不同
[答案]　C
3.在程序框图中，算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的(　　)
A．处理框内 B．判断框内
C．输入、输出框内 D．循环框内
[答案]　A
4.如下算法：
S1　输入x的值；
S2　若x≥0，则y＝x；
S3　否则，y＝x2；
S4　输出y的值．
若输出的y值为9，则x＝________.
[答案]　9或－3
5.已知圆柱的底面半径r和高h，设计一个算法，求圆柱的表面积．
[答案]　算法如下：
S1　输入圆柱底面半径r和高h；
S2　计算S侧＝2πrh；
S3　计算S底＝πr2；
S4　计算S＝S侧＋2S底；
S5　输出S.
6.画出计算22＋42＋62＋…＋1002的算法程序框图．
[答案]　程序框图如下图所示

7.给出如图所示的程序框图，根据该图回答以下问题：
(1)该程序框图表示的算法的功能是什么？
(2)若输入a＝－2，那么输出结果是什么？
(3)能否使输入的a的值与输出的y的值相等？

[答案]　(1)该程序框图表示的算法的功能是求二次函数y＝－x2＋4x的函数值．
(2)若输入a＝－2，那么x＝－2，这时y＝－(－2)2＋4×(－2)＝－12，因此输出结果是－12.
(3)要使输入的a的值与输出的y的值相等，则有x＝－x2＋4x，解得x＝0或3，因此当输入的a的值是0或3时，输入的a的值与输出的y的值相等．

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基础巩固（1）
一、选择题
1．指出下列哪个不是算法(　　)
A．从广州到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达
B．解一元二次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
C．方程x2－1＝0有两个实根
D．求1＋2＋3＋4的值，先计算1＋2＝3，再由3＋3＝6,6＋4＝10得最终结果是10
[答案]　C
[解析]　A中产明了从广州到北京的行程安排，完成任务；B中给出了解一元二次方程这一类问题的解决方法；D中给出了求1＋2＋3＋4的值的一个过程，最终得出结果；对于③，并没有说明如何去算，故A、B、D是算法，C不是算法．
2．计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是(　　)
①S＝1＋2＋3＋…＋100；
②S＝1＋2＋3＋…＋100＋…；
③S＝1＋2＋3＋…＋n(n≥1，且n∈N)．
A．①②　　　　　　　　　 B．①③
C．② D．②③
[答案]　B
[解析]　由算法的确定性、有限性知选B.
3．早上从起床到出门需要洗脸、刷牙(5 min)，洗水壶(2 min)，烧水(8 min)，泡面(3 min)，吃饭(10 min)，听广播(8 min)几个过程，下列选项中最好的一种算法是(　　)
A．第一步，洗脸刷牙；第二步，刷水壶；第三步，烧水；第四步，泡面；第五步，吃饭；第六步，听广播
B．第一步，刷水壶；第二步，烧水同时洗脸刷牙；第三步，泡面；第四步，吃饭；第五步，听广播
C．第一步，刷水壶；第二步，烧水同时洗脸刷牙；第三步，泡面；第四步，吃饭同时听广播
D．第一步，吃饭同时听广播；第二步，泡面；第三步，烧水同时洗脸刷牙；第四步，刷水壶
[答案]　C
[解析]　因为A选项共用时36 min，B选项共有时31 min，C选项共用时23 min，选项D的算法步骤不符合常理，所以最好的一种算法为C选项．
4．对于一般的二元一次方程组，在写求此方程组解的算法时，需要我们注意的是(　　)
A．a1≠0 B．a2≠0
C．a1b2－a2b1≠0 D．a1b1－a2b2≠0
[答案]　C
[解析]　由二元一次方程组的公式算法即知C正确．
5．下面是对高斯消去法的理解：
①它是解方程的一种方法；
②它只能用来解二元一次方程组；
③它可以用来解多元一次方程组；
④用它来解方程组时，有些方程组的答案可能不准确．
其中正确的是(　　)
A．①② B．②④
C．①③ D．②③
[答案]　A
[解析]　高斯消去法是只能用来解二元一次方程组的一种方法，故①②正确．
6．一个算法步骤如下：
S1　S取值0，i取值2；
S2　如果i≤10，则执行S3，否则执行S6；
S3　计算S＋i并将结果代替S；
S4　用i＋2的值代替；
S5　转去执行S2；
S6　输出S.
运行以上步骤输出的结果为(　　)
A．25 B．30
C．35 D．40
[答案]　B
[解析]　按算法步骤一步一步地循环计算替换，该算法作用为求和S＝2＋4＋6＋8＋10＝30.
二、填空题
7．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，求斜边长c的算法如下：
S1　输入两直角边长a、b的值．
S2　计算c＝的值；
S3　________.
将算法补充完整，横线处应填________．
[答案]　输出斜边长c的值
[解析]　算法要有输出，故S3应为输出c的值．
8．一个算法步骤如下：
S1　S取值0，i取值1；
S2　如果i≤12，则执行S3，否则执行S6；
S3　计算S＋i并将结果代替S；
S4　用i＋3的值代替i；
S5　转去执行S2；
S6　输出S.
运行以上步骤输出的结果为S＝________.
[答案]　22
[解析]　由以上算法可知：S＝1＋4＋7＋10＝22.
三、解答题
9．某年青歌赛流行唱法个人组决赛中，某歌手以99.19分夺得金奖．青歌赛在计算选手最后得分时，要去掉所有评委对该选手所打分数中的最高分和最低分，试设计一个找出最高分的算法．
[解析]　S1　先假定其中一个为“最高分”；
S2　将第二个分数与“最高分”比较，如果它比“最高分”还高，就假定这个分数为“最高分”；否则“最高分”不变；
S3　如果还有其他分数，重复S2；
S4　一直到没有可比的分数为止，这时假定的“最高分”就是所有评委打分中的最高分．
基础巩固（2）
一、选择题
1．在画程序框图时，如果一个框图需要分开来画，要在断开处画上(　　)
A．流程线　 　 　　　　 B．注释框
C．判断框 D．连接点
[答案]　D
[解析]　如果一个框图需要分开来画，要在断开处画上连接点．
2．关于程序框图的图形符号的理解，不正确的有(　　)
①任何一个程序框图都必须有起止框；
②输入框只能在开始框之后，输出框只能放在结束框前；
③判断框是惟一具有超过一个退出点的图形符号；
④对于一个程序来说，判断框内的条件是惟一的．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案]　B
[解析]　任何一个程序都有开始和结束，因而必有起止框；输入(出)框可以在程序中任何需要输入(出)的位置；而判断框内的条件可不惟一，故①③正确．
3．在程序框图中，一个算法步骤到另一个算法步骤的连接用(　　)
A．连结点 B．判断框
C．流程线 D．处理框
[答案]　C
[解析]　流程线的意义是流程进行的方向，一个算法步骤到另一个算法步骤表示的是流程进行的方向，故选C.而连结点是当一个框图需要分开来画时，在断开处画上连结点．判断框是根据给定条件进行判断，处理框是赋值、计算、数据处理、结果传送，所以A、B、D都不对．
4．一个完整的程序框图至少应包括(　　)
A．起止框和处理框 B．起止框和输入、输出框
C．处理框和判断框 D．起止框和判断框
[答案]　A
[解析]　一个完整的程序框图至少包括起止框和处理框．
5．如图所示的程序框图的运行结果是(　　)

A．2 B．2.5
C．3.5 D．4
[答案]　B
[解析]　∵a＝2，b＝4，∴S＝＋＝＋2＝2.5.
6．给出以下一个算法的程序框图，该程序框图的功能是(　　)

A．求出a、b、c三数中的最大数
B．求出a、b、c三数中的最小数
C．将a、b、c按从小到大排列
D．将a、b、c按从大到小排列
[答案]　B
[解析]　经判断框中a＞b处理后a是a、b中较小者；经判断框a＞c处理后，a是a、c中较小者．结果输出a，即三者中最小的．
二、填空题
7.在如图所示的程序框图中，若输出的z的值等于3，那么输入的x的值为________．

[答案]　
[解析]　当输入的z的值为3时，z＝＝3，∴y＝9，由＝9，得x＝，故输入的x的值为.
8.如图是求一个数的百分之几的程序框图，则(1)处应填________．

[答案]　n＝n×m
[解析]　因为程序框图的作用是求一个数的百分之几，故(1)处应填输入的数n与百分比m的乘积所得数，再让它赋值给n.
三、解答题
9．已知球的半径为1，求其表面积和体积，画出其算法的程序框图．
[解析]　如图所示：


能力提升（1）
一、选择题
1．在数学上，现代意义的算法通常指可以用计算机来解决一类问题的程序或步骤，这些步骤是(　　)
A．三步 B．四步
C．有限步 D．无限步
[答案]　C
[解析]　因为算法具有有限性，故选C.
2．算法：
S1　输入n；
S2　判断n是否是2.若n＝2，则n满足条件；若n>2，则执行S3；
S3　依次从2到n－1检验能不能整除n，若不能整除n，则满足条件．
上述满足条件的数是(　　)
A．质数 B．奇数
C．偶数 D．4的倍数
[答案]　A
[解析]　根据算法可知，如果n＝2直接就是满足条件的数．n不是2时，验证从2到n－1有没有n的因数，如果没有就满足条件．显然，满足这个算法中条件的数是质数．故选A.
3．下列说法正确的是(　　)
A．算法是计算的方法
B．算法是计算机语言
C．算法是与计算机有关的问题的解决方法
D．算法通俗地讲是解决问题的程序与过程
[答案]　D
[解析]　算法通俗地讲是解决问题的程序与过程．
4．现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏．小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：
第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．
这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌的张数是(　　)
A．4 B．5
C．6 D．8
[答案]　B
[解析]　按各放3张，可以算出答案是5，各放x张答案也是一样的．
二、填空题
5．下面算法运行后输出结果为________．
S1　设i＝1，P＝1；
S2　如果i≤6则执行S3，否则执行S5；
S3　计算P×i，并将结果代替P的值；
S4　用i＋1的值代替i的值，转去执行S2；
S5　输出P.
[答案]　720
[解析]　该算法包含一个循环结构，计数变量i的初值为1，每次循环它的值增加1.由1变到6.
P是一个累乘变量，每一次循环得到一个新的结果，并用新的结果替代原值．
第一次循环i＝1，P＝1.第二次循环i＝2，P＝2.第三次循环i＝3，P＝6.第四次循环i＝4，P＝24.第五次循环i＝5，P＝120.第六次循环i＝6，P＝720.
6．下面是解决一个问题的算法：
S1　输入x；
S2　若x≥4，转到S3；否则转到S4；
S3　输出2x－1；
S4　输出x2－2x＋3.
当输入x的值为____________输出的数值最小值为____________．
[答案]　1　2
[解析]　所给算法解决的问题是求分段函数f(x)＝的函数值的问题
当x≥4时，f(x)＝2x－1≥2×4－1＝7；当x＜4时，f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2.所以f(x)min＝2，此时x＝1.即当输入x的值为1时，输出的数值最小，且最小值是2.
三、解答题
7．设计一个算法，求表面积为16π的球的体积.
[解析]　S1　取S＝16π；
S2　计算R＝(由于S＝4πR2)；
S3　计算V＝πR3；
S4　输出运算结果．
8．已知函数y＝，请设计一个算法，输入x的值，求对应的函数值．
[解析]　算法如下：
S1　输入x的值；
S2　当x≤－1时，计算y＝2x－1，否则执行S3；
S3　当x<2时，计算y＝log2(x＋1)，否则执行S4；
S4　计算y＝x2；
S5　输出y.
9．韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝立下了汗马功劳．据说他在点兵的时候，为了保证军事，不让敌人知道自己部队的实力，采用下述点兵从1～3方法：先令士兵报数，结果最后一个士兵报2；再令士兵从1～5报数，结果最后一个士兵报3；又令士兵从1～7报数，结果最后一个士兵报4；这样，很快就算出了自己部队士兵的总数．请设计一个算法，求出士兵有多少人．
[解析]　算法步骤如下：
S1　确定最小的除以3余2的正整数为2；
S2　依次加3就得到所有除以3余2的正整数，依次为2,5,8,11,14,17, 20,23, 26,29,32,35,38,41,44,47,50,53,56，…；
S3　在上列数中确定第一个除以5余3的正整数为8；
S4　然后依次加上15，得到8,23,38,53，…；
S5　在第四步得到的一列数中找出满足除以7余4的53，这就是我们要求的数．
能力提升（2）
一、选择题
1．下列所画程序框图是已知直角三角形两条直角边a、b求斜边的算法，其中正确的是(　　)

[答案]　A
[解析]　选项B中，输入框与处理框的顺序颠倒，输入、输出框应用平行四边形，处理框应用矩形，故选项C、D错误，应选A.
2．如图所示，若a＝－4，则输出结果是(　　)

A．是正数 B．是负数
C．－4 D．16
[答案]　B
[解析]　∵a＝－4<0，∴输出“是负数”．
二、填空题
3．如图，程序框图的功能是________．

[答案]　求五个数的和以及这五个数的平均数
[解析]　该程序框图表示的算法是首先输入5个数，然后计算这5个数的和，再求这5个数的算术平均数，最后输出它们的和与平均数.
4．如图所示是一个算法的程序框图，回答下面的问题：当输入的值为3时，输出的结果为________．

[答案]　8
[解析]　输入x＝3<5，∴y＝x2－1＝8.故输出的结果为8.
三、解答题
5．利用梯形的面积公式计算上底为2，下底为4，高为5的梯形的面积．设计出该问题的算法及程序框图．
[解析]　根据梯形的面积公式S＝×(a＋b)h.其中a是上底，b是下底，h是高，只要令a＝2，b＝4，h＝5，代入公式即可．算法如下：
第一步：输入梯形的两底a、b与高h的值；
第二步：S＝(a＋b)h；
第三步：输出S.
该算法的程序框图如图所示．

6．如图所示的程序框图，根据框图和各题的条件回答下面的问题：

(1)该框图解决的是一个什么问题？
(2)当输入的x值为0和4时，输出的值相等，问当输入的x值为3时，输出的值为多大？
[解析]　(1)该程序框图解决的是求二次函数f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题．
(2)当输入x的值为0和4时，输出值相等，
即f(0)＝f(4)．
∵f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，
∴－16＋4m＝0.∴m＝4.∴f(x)＝－x2＋4x.
∵f(3)＝－32＋4×3＝3，
∴输入x的值为3时，输出y的值为3.
7．某居民区的物业部门每月向居民收取卫生费，计费方法是：3人和3人以下的住户，每户收取5元；超过3人的住户，每超出1人加收1.2元．设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫生费，并画出程序框图．
[解析]　设某户有x人，根据题意，收取的卫生费y应是x的分段函数．
当x≤3时，y＝5；当x＞3时，y＝5＋(x－3)×1.2＝1.2x＋1.4.
即y＝.
S1　输入x；
S2　如果x≤3，则y＝5；如果x＞3，则y＝1.2x＋1.4；
S3　输出y.
相应的程序框图如图所示．



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