人教版高中数学必修三第二章统计2.3变量间的相关关系（教师版）【优能辅导含答案】

变量间的相关关系



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1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系.
2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系.
3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程．



1．相关关系
(1)定义：如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的________性，那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系．
(2)两类特殊的相关关系：如果散点图中点的分布是从________角到________角的区域，那么这两个变量的相关关系称为正相关，如果散点图中点的分布是从________角到________角的区域，那么这两个变量的相关关系称为负相关．
随机 左下 右上 左上 右下
两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；再一类是不相关，即两个变量间没有任何关系．
2．线性相关
(1)定义：如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条________附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做_________．
(2)最小二乘法：求线性回归直线方程＝x＋时，使得样本数据的点到它的________________最小的方法叫做最小二乘法，其中a，b的值由以下公式给出：
直线 回归直线 距离的平方和

其中，是回归方程的________，是回归方程在y轴上的________．
斜率 截距
线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上的一个难点，可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直线，并能求出回归直线方程．因此在学习过程中，要重视信息技术的应用．


类型一 变量之间的相关关系的判断
例1：(1)下列变量之间的关系不是相关关系的是(　　)
A．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是判别式Δ＝b2－4ac
B．光照时间和果树亩产量
C．降雪量和交通事故发生率
D．每亩田施肥量和粮食亩产量
(2)现随机抽取某校10名学生在入学考试中的数学成绩x与入学后的第一次数学成绩y，数据如下：
学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108
y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71

请利用散点图判断这10名学生的两次数学考试成绩是否具有相关关系．
[解析]　(1)在A中，若b确定，则a，b，c都是常数，Δ＝b2－4ac也就唯一确这了，因此，这两者之间是确定性的函数关系；一般来说，光照时间越长，果树亩产量越高；降雪量越大，交通事故发生率越高；施肥量越多，粮食亩产量越高，所以B，C，D是相关关系．故选A.
(2)两次数学考试成绩散点图如图所示，

由散点图可以看出两个变量的对应点集中在一条直线的周围，具有正相关关系．因此，这10名学生的两次数学考试成绩具有相关关系．
练习1：对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断(　　)

A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
[答案]　C
类型二 回归直线方程
例2：随着人们经济收入的不断增长，个人购买家庭轿车已不再是一种时尚．车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题．某汽车销售公司作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x与所支出的总费用y(万元)有如下的数据资料：
使用年限x 2 3 4 5 6
总费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0

若由资料，知y对x呈线性相关关系．试求：
(1)线性回归方程＝x＋的回归系数、；
(2)估计使用年限为10年时，车的使用总费用是多少？
[解析]　第一步，列表xi，yi，xiyi；
第二步，计算，，，，iyi；
第三步，代入公式计算b，a的值；
第四步，写出回归直线方程．
(1)利用公式：

来计算回归系数．有时为了方便常列表，对应列出xiyi、x，以利于求和．(2)获得线性回归方程后，取x＝10，即得所求．
[答案]　(1)列表：
i 1 2 3 4 5
xi 2 3 4 5 6
yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0
x 4 9 16 25 36
＝4，＝5，＝90，iyi＝112.3

于是＝＝＝1.23；
＝－b＝5－1.23×4＝0.08.
(2)线性回归直线方程是＝1.23x＋0.08，当x＝10(年)时，＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用10年时，支出总费用是12.38万元．
练习1：已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点中心(即(，))为(4,5)，则回归直线的方程是(　　)
A.＝1.23x＋4 B.＝1.23x＋5 C.＝1.23x＋0.08 D.＝0.08x＋1.23
[答案]　C
练习2：某公司的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70

资料显示y对x呈线性相关关系．
根据上表提供的数据得到回归方程＝x＋中的＝6.5，预测销售额为115万元时约需________万元广告费．
[答案]　15
有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的儿童年数量，如下表：
人均GDP/万元 10 8 6 4 3 1
患白血病的儿童数/人 351 312 207 175 132 180

(1)画出散点图，并判定这两个变量是否具有线性相关关系；
(2)通过计算可知这两个变量的回归直线方程为＝23.25x＋102.15，假如一个城市的人均GDP为12万元，那么可以断言，这个城市患白血病的儿童一定超过380人，请问这个断言是否正确？

[解析]　(1)根据表中数据画散点图，如图所示，从图可以看出，在6个点中，虽然第一个点离这条直线较远，但其余5个点大致分布在这条直线的附近，所以这两个变量具有线性相关关系．
(2)上述断言是错误的，将x＝12代入＝23.25x＋102.15得＝23.25×12＋102.15＝381.15＞380，但381.15是对该城市人均GDP为12万元的情况下所作的一个估计，该城市患白血病的儿童可能超过380人，也可能低于380人．
练习1：某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
销量y(件) 90 84 83 80 75 68

(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20.
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
[答案]　(1)由于＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，
＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.
所以＝－＝80＋20×8.5＝250，
从而回归直线方程为＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20(x－8.25)2＋361.25.
当且仅当x＝8.25时，L取得是大值，
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．

1．下列两个变量之间的关系：
①角度和它的余弦值；
②正n边形的边数与内角和；
③家庭的支出与收入；
④某户家庭用电量与电价间的关系．
其中是相关关系的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案]　A
2．下列图形中两个变量具有相关关系的是(　　)

[答案]　C
3．设一个回归方程为＝3＋1.2x，则变量x增加一个单位时(　　)
A．y平均增加1.2个单位
B．y平均增加3个单位
C．y平均减少1.2个单位
D．y平均减少3个单位
[答案]　A
4．现有5组数据A(1,3)、B(2,4)、C(4,5)、D(3,10)、E(10,12)，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．
[答案]　D
5．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5

(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
[解析]　(1)散点图，如图所示．

(2)由题意，得iyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
＝＝4.5，＝＝3.5，
＝32＋42＋52＋62＝86，
∴＝＝＝0.7，
＝－＝3.5－0.7×4.5＝0.35，
故线性回归方程为＝0.7x＋0.35.
(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，
故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．

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基础巩固
一、选择题
1．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程＝bx＋a，那么下面说法不正确的是(　　)
A．直线＝bx＋a必经过点(，)
B．直线＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点
C．直线＝bx＋a的斜率为
D．直线＝bx＋a和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差yi－(bxi＋a)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线．
[答案]　B
[解析]　由a＝－b 知＝－b ＋bx，∴必定过(，)点．
回归直线方程对应的直线是与样本数据距离最小的，但不一定过原始数据点，只须和这些点很接近即可．
2．下列说法正确的是(　　)
A．对于相关系数r来说，|r|≤1，|r|越接近0，相关程度越大；|r|越接近1，相关程度越小
B．对于相关系数r来说，|r|≥1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越大，相关程度越小
C．对于相关系数r来说，|r|≤1，|r|越接近1，相关程度越大；|r|越接近0，相关程度越小
D．对于相关系数r来说，|r|≥1，|r|越接近1，相关程度越小；|r|越大，相关程度越大
[答案]　C
3．两个变量成负相关关系时，散点图的特征是(　　)
A．点从左下角到右上角区域散布
B．点散布在某带形区域内
C．点散布在某圆形区域内
D．点从左上角到右下角区域散布
[答案]　D
4．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本的平均数＝2.5，＝3.5，则由观测的数据得线性回归方程可能为(　　)
A.＝0.4x＋2.3 B.＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5 D.＝－0.3x＋4.4
[答案]　A
[解析]　∵＝x＋，正相关则b＞0，∴排除C，D.∵过中点心(，)＝(3,3.5)，∴选A.
5．某化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它的原料有效成分含量x之间的相关关素，现取了8对观测值，计算得：i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1849，则y对x的回归直线的方程是(　　)
A.＝11.47＋2.62x B.＝－11.47＋2.62x
C.＝2.62＋11.47x D.＝11.47－2.62x
[答案]　A
[解析]　由已知得＝i＝×52＝，＝i＝×228＝，所以＝＝≈2.62，＝－≈－2.62×＝11.47，所以＝2.62x＋11.47.
6．为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1、l2，已知两人所得的试验数据中，变量x和y的数据的平均值都相等，且分别是s和t，那么下列说法中正确的是(　　)
A．直线l1、l2一定有公共点(s，t)
B．直线l1、l2相交，但交点不一定是(s，t)
C．必有直线l1∥l2
D．l1、l2必定重合
[答案]　A
[解析]　线性回归直线方程为＝bx＋a，而＝－，即a＝t－bs，t＝bs＋a，所以(s，t)在回归直线上，直线l1、l2一定有公共点(s，t)．
二、填空题
7．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
[答案]　0.254
[解析]　由于＝0.254x＋0.321知，当x增加1万元时，年饮食支出y增加0.254万元．
8．某单位为了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机抽查了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃) 18 13 10 －1
用电量(度) 24 34 38 64

由表中数据得线性回归方程＝x＋中＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量约为________度．
[答案]　68
[解析]　＝＝10，＝＝40，因为回归方程一定过点(，)，
所以＝＋，则＝－＝40＋2×10＝60.
则＝－2x＋60，当x＝－4时，＝－2×(－4)＋60＝68.
三、解答题
9．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据(单位：百万元)
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70

(1)画出散点图；
(2)从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系？
[解析]　(1)以x对应的数据为横坐标，以y对应的数据为纵坐标，所作的散点图如下图所示：

(2)从图中可以发现广告费支出与销售金额之间具有相关关系，并且当广告费支出由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线的附近，即x与y成正相关关系．
10．一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些缺损．按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示：
转速x(转/秒) 16 14 12 8
每小时生产有缺损零件数y(个) 11 9 8 5

(1)作出散点图；
(2)如果y与x线性相关，求出回归直线方程；
(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？
[解析]　先作出散点图，再根据散点图判断y与x呈线性相关，从而建立回归直线方程求解．
解：(1)作散点图如图所示．

(2)由散点图可知y与x线性相关．故可设回归直线方程为＝bx＋a.
依题意，用计算器可算得：
＝12.5，＝8.25，＝660，iyi＝438.
∴b＝≈0.73，a＝－b≈8.25－0.73×12.5＝－0.875.
∴所求回归直线方程为＝0.73x－0.875.
(3)令＝10，得0.73x－0.875＝10，解得x≈15.
即机器的运转速度应控制在15转/秒内．
能力提升
一、选择题
1．根据如下样本数据得到的回归方程为＝bx＋a，则(　　)
x 3 4 5 6 7 8
y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0

A.a＞0，b＜0 B．a＞0，b＞0
C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0
[答案]　A
[解析]　由于x增大y减小知b＜0，又x＝3时y＞0，∴a＞0，故选A.
2．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元) 4 2 3 5
销售额y(万元) 49 26 39 54

根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
[答案]　B
[探究]　由线性回归方程的图象过样本点的中心，可求得线性回归方程，然后结合该方程对x＝6时的销售额作出估计．
[解析]　样本点的中心是(3.5,42)，则＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，所以线性回归方程是＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得＝65.5.
3．已知x与y之间的几组数据如下表：
x 1 2 3 4 5 6
y 0 2 1 3 3 4

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是(　　)
A.＞b′，＞a′ B.＞b′，＜a′
C.＜b′，＞a′ D.＜b′，＜a′
[答案]　C
[探究]　先由已知条件分别求出b′，a′的值，再由，的计算公式分别求解，的值，即可作出比较．
[解析]　由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y＝2x－2，从而b′＝2，a′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得＝＝＝，＝－＝－×＝－，所以＜b′，＞a′.
4．某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表：
x 10 20 30 40 50
y 62 ▲ 75 81 89

由最小二乘法求得回归方程为＝0.67x＋54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该数据的值为(　　)
A．60 B．62
C．68 D．68.3
[答案]　C
[解析]　由题意可得＝30，
代入回归方程得＝75.
设看不清处的数为a，
则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.
[点评]　表中所给的数据只反映x与y的线性关系，并非函数关系，因而不能直接代入线性方程求预报值，应根据线性回归方程性质，即线性回归方程经过中心点(，)求解．
二、填空题
5．2010年4月初，广东部分地区流行手足口病，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．下表是某同学记载的2010年4月1日到2010年4月12日每天广州手足口病治愈出院者数据，根据这些数据绘制散点图如图.
日期 1 2 3 4 5 6
人数 100 109 115 118 121 134

日期 7 8 9 10 11 12
人数 141 152 168 175 186 203



下列说法：
①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系；②根据此散点图，可以判断日期与人数且有一次函数关系；③后三天治愈出院的人数占这12天治愈出院人数的30%多；④后三天治愈出院的人数均超过这12天内北京市治愈出院人数的20%.
其中正确的个数是________．
[答案]　2
6．改革开放30年以来，我国高等教育事业迅速发展，对某省1990～2000年考大学升学百分比按城市、县镇、农村进行统计，将1990～2000年依次编号为0～10，回归分析之后得到每年考入大学的百分比y与年份x的关系为：
城市：＝2.84x＋9.50；
县镇：＝2.32x＋6.67；
农村：＝0.42x＋1.80.
根据以上回归直线方程，城市、县镇、农村三个组中，________的大学入学率增长最快．按同样的增长速度，可预测2010年，农村考入大学的百分比为________%.
[答案]　城市　10.2
[探究]　增长速度可根据回归直线的斜率来判断，斜率大的增长速度快，斜率小的增长速度慢．
[解析]　通过题目中所提供的回归方程可判断，城市的大学入学率增长最快；2010年农村考入大学的百分比为0.42×20＋1.80＝10.2.
三、解答题
7．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9

(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
＝，＝－.
[解析]　(1)由所给数据计算得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
＝＝＝0.5，
＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求回归方程为＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，b＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收人为6.8千元．
8．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程＝x＋；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程＝x＋中，＝，＝－，其中，为样本平均值．
[探究]　(1)根据线性回归方程求相关的量后，代入公式即可求得回归方程；(2)观察线性回归方程的系数 可判断是正相关还是负相关；(3)将x＝7代入线性回归方程即可求得预报变量，即该家庭的月储蓄．
[解析]　(1)由题意知n＝10，＝i＝＝8，＝i＝＝2，
又－n2＝720－10×82＝80，iyi－n ＝184－10×8×2＝24，
由此得＝＝＝0.3，＝－＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求回归方程为＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(＝0.3＞0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．

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