人教版高中数学必修三第三章概率3.1事件与概率（2）（教师版）【优能辅导含答案】

事件与概率（2）



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1.正确理解概率的意义；利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.
2.正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念；通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养学生的类比与归纳的数学思想.



一. 概率的意义
1. 一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为；当n很大时，频率总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的______，记作______．
从定义中，可以看出随机事件A的概率P(A)满足____________．这是因为在n次试验中，事件A发生的频率m满足0≤m≤n，所以0≤≤1.当A是必然事件时，__________，当A是不可能事件时____________．
2. 概率是可以通过______来“测量”的，或者说频率是概率的一个________，概率从______上反映了一个事件发生的可能性的大小．
概率 P(A) 0≤P(A)≤1 P(A)＝1 P(A)＝0 频率 近似值 数量
二、事件的关系与运算
1．互斥事件
不可能同时发生的两个事件叫______________(或称为______________)．
互斥事件 互不相容事件
2．并(和)事件
若事件A和事件B中至少有一个发生，则C发生；若C发生，则A、B中至少有一个发生，称事件C为A与B的并(或和)．
一般地，由事件A和B至少有一个发生所构成的事件C，称为事件A与B的并(或和)．
(1)与集合定义类似，并事件可如图表示．

(2)事件A与事件B的并事件等于事件B与事件A的并事件，即A∪B＝B∪A.

(3)并事件包含三种情形：事件A发生，事件B不发生；事件A不发生，事件B发生；事件A、B同时发生．
(4)推广：如果事件A1、A2、…、An中的任何两个都互斥，就称事件A1、A2、…、An彼此互斥，从集合角度看，n个事件彼此互斥是指各个事件所含结果的集合彼此不相交．
如在一次投掷骰子的实验中，若
C1＝{出现1点}；C2＝{出现2点}；C3＝{出现3点}；
C4＝{出现4点或出现5点}；C5＝{出现6点}；
则事件C1，C2，C3，C4，C5彼此互斥．
3．对立事件
不可能同时发生且必有一个发生的两个事件互为对立事件．
(1)事件A与B对立是指事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生．
(2)对立事件是针对两个事件来说的，一般地，两个事件对立，则两个事件必是互斥事件；反之，两个事件是互斥事件，却未必是对立事件．
(3)对立事件是一种特殊的互斥事件，若A与B是对立事件，则A与B互斥且A∪B为必然事件．
(4)从集合角度看，事件A的对立事件，是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集．
(5)设事件A的对立事件为，则P()＝1－P(A)

三、概率的几条基本性质
1．概率P(A)的取值范围
由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0和1之间，从而任何事件的概率在0到1之间，即0≤P(A)≤1.
(1)必然事件B一定发生，则P(B)＝1.
(2)不可能事件C一定不发生，因此P(C)＝0.
2．互斥事件的概率加法公式
如果A、B是互斥事件，在n次试验中，事件A出现的频数为n1，事件B出现的频数为n2，则事件A∪B出现的频数为n1＋n2，事件A∪B的频率为＝＋，而、分别为事件A、B出现的频率，由概率的统计定义可知P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
(1)用频率可以估计概率，因此概率应具有频率的性质．
(2)加法公式的前提条件是：事件A与事件B互斥，如果没有这一条件，加法公式将不能应用．
如掷骰子试验中，“出现偶数点”，“出现2点”分别记为事件A、B，则A、B不互斥，P(A∪B)≠P(A)＋P(B)．
(3)如果事件A1、A2、…、An彼此互斥，那么
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An) .
即彼此互斥的事件并的概率等于它们的概率的和．
(4)在求某些复杂的事件的概率时，可将其分解成一些较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易．
3．对立事件的概率公式
若事件A与B互为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)＝1，又P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，∴P(A)＝1－P(B)．
(1)公式使用的前提必须是对立事件，否则不能使用此公式．
(2)当一事件的概率不易直接求，但其对立事件的概率易求时，可运用此公式使用间接法求概率．

类型一 概率的意义
例1：有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面向上的概率为0.5，那么连续抛掷一枚硬币两次，一定是一次正面朝上，一次反面朝上，你认为这种想法正确吗？
[解析]　这种想法显然是错误的，通过具体试验验证便知．用概率的知识来理解，就是：尽管每次抛掷硬币的结果出现正、反面朝上的概率都是0.5，但连续两次抛掷硬币的结果不一定恰好是正面朝上、反面朝上各一次，只有通过大量实验，会发现正面向上的频率随实验次数的增加越来越稳定在0.5附近，即与0.5的差越来越小．
练习1：解释下列概率的含义：
(1)某厂生产产品合格的概率为0.9；
(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.
[答案]
(1)说明该厂产品合格的可能性为90%，也就是说，100件该厂的产品中大约有90件是合格品．
(2)说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100人参加抽奖，约有20人中奖.
练习2：气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是(　　)
A．本市明天将有90%的地区降雨 B．本市明天将有90%的时间降雨
C．明天出行不带雨具肯定会淋雨 D．明天出行不带雨具可能会淋雨
[答案]　D
类型二 频率与概率的关系及求法
例2：下表是某乒乓球的质量检查统计表：
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率

(1)计算各组优等品频率，填入上表；
(2)根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率．
[解析]　(1)根据优等品频率＝，可得优等品的频率从左到右依次为：0.9,0.92,0.97,0.94,0,954,0.951.
(2)由(1)可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近，故优等品的概率是0.95.
练习1：下表是某地区从某年起几年之内的新生婴儿数统计表：
时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内
新生婴儿数 5 554 9 607 13 520 17 190
男婴数 2 883 4 970 6 994 8 892
男婴出生频率

(1)计算各组年内男婴出生频率，填入上表；
(2)根据频率的稳定性估计事件“新生婴儿是男婴”的概率．
[答案]　(1)男婴出生频率从左到右依次为0.519,0.517, 0.517,0.517.
(2)由于以上的频率在常数0.517附近摆动，故这一地区男婴出生的概率约为0.517.
练习2：对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1、p2、p3，则(　　)
A．p1＝p2[答案]　D
类型三 概率的求法
例3：盒中只装有4只白球、5只黑球，从中任意取出一只球．
(1)“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？
(2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？
(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？
[解析]　(1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此，它是不可能事件，它的概率是0.
(2)“取出的球是白球”是随机事件，它的概率为.
(3)“取出的球是白球或是黑球”在题设条件下必然要发生，因此，它是必然事件，它的概率为1.
练习1：某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：
认为作业多 认为作业不多 总数
喜欢电脑游戏 18 9 27
不喜欢电脑游戏 8 15 23
总数 26 24 50

如果校长随机地问这个班的一名学生，下面事件发生的概率是多少？
(1)认为作业多；
(2)喜欢电脑游戏并认为作业不多．
[答案]　(1)记“认为作业多”为事件A，则由公式可知，
P(A)＝＝0.52.
(2)记“喜欢电脑游戏并认为作业不多”为事件B，则由公式知，P(B)＝＝0.18.
类型四 概率在实际中的应用
例4：李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：
成绩 人数
90分以上 43
80分～89分 182
70分～79分 260
60分～69分 90
50分～59分 62
50分以下 8

经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)：(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以上．
[解析]　随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件发生的频率去“测量”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率．
根据公式可计算出修李老师的高等数学课的人数考试成绩在各个段上的频率依次为(总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645)≈0.067，≈0.282，≈0.403，≈0.140，≈0.096，≈0.012.
用已有的信息可以估计出王小慧下学期修李老师的高等数学课得分的概率如下：
(1)得“90分以上”记为事件A，则P(A)＝0.067.
(2)得“60分～69分”记为事件B，则P(B)＝0.140.
(3)得“60分以上”记为事件C，则
P(C)＝0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.
练习1：为了测试贫困地区和发达地区同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分，然后作了统计，下表是统计结果．
贫困地区：
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402
得60分以上的频率

发达地区：
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440
得60分以上的频率

(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率；
(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率；
(3)分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别．
[解析]　(1)贫困地区：
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402
得60分以上的频率 0.533 0.540 0.520 0.520 0.512 0.503

发达地区：
参加测试的人数 30 50 100 200 500 800
得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440
得60分以上的频率 0.567 0.580 0.560 0.555 0.552 0.550

(2)随着测试人数的增加，贫困地区和发达地区得60分以上的频率逐渐趋于0.5和0.55，故概率分别为0.5和0.55.
(3)经济上的贫困导致该地区生活水平落后，儿童的健康和发育会受到一定的影响；另外经济落后也会使教育事业发展落后，导致智力出现差别．
练习2：有3只箱子，第1只箱内装有2条红色毛巾，第2只箱内装有2条白色毛巾，第3只箱内装有1条红色和1条白色毛巾，箱子上标有毛巾的颜色．现在3只箱子的标签被人换了，每只箱子上的标签都是错的．允许你从任意1只箱子中拿1条毛巾，但拿毛巾时不准看箱子里面，然后根据拿出的毛巾判断3只箱子里毛巾的颜色，最少需要拿几次？
[答案]　先从标着红白的箱子里取毛巾，如果从这只箱子里取出的毛巾是白色的，则这个箱子里两条毛巾都是白色的．这样就可以判断，标签上标着两白的箱子装了两条红毛巾，另一只箱子里的毛巾就是一红一白；如果从这只箱子里取出的毛巾是红色的，则这个箱子里装了两条红色毛巾，这样就可以判断，标签上标着两红的箱子装了两条白毛巾，另一只箱子里的毛巾就是一条红色一条白色．
类型五 互斥事件的概念
例5：判断下列每对事件是否为互斥事件．
(1)将一枚硬币抛两次，事件A：两次出现正面，事件B：只有一次出现正面；
(2)某人射击一次，事件A：中靶，事件B：射中9环；
(3)某人射击一次，事件A：射中环数大于5，事件B：射中环数小于5.
[解析]　(1)若“两次出现正面”发生，则“只有一次出现正面”不发生，反之亦然，即事件A与B不可能同时发生，∴A、B互斥．
(2)某人射击一次中靶不一定击中9环，但击中9环一定中靶，即B发生则A一定发生，∴A、B不互斥．
(3)事件A发生，则事件B一定不发生，故A、B互斥．
练习1：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．
(1)恰有一名男生与两名全是男生；
(2)至少有1名男生与全是男生；
(3)至少有1名男生与全是女生；
(4)至少有1名男生与至少有1名女生．
[答案]　判别两个事件是否互斥，就是考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．
(1)因为“恰有1名男生”与“两名全是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当两名都是女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)因为“两名全是男生”发生时“至少有一名男生”也同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)因为“至少有一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立．
(4)由于选出的是“一名男生一名女生”时“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
练习2：如果事件A、B互斥，那么(　　)
A．A∪B是必然事件 B．∪是必然事件
C．与一定互斥 D．与一定不互斥
[答案]　B
类型六 对立事件的概念
例6：抛掷一个骰子，用图形画出下列每对事件所含结果所形成的集合之间的关系，并说明二者之间是否构成对立事件．
(1)“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”；
(2)“朝上的一面数字不大于4”与“朝上的一面的数字大于4”．
[解析]　对立事件的含义是：两个事件在一次试验中有且仅有一个发生，类比集合．可用Venn图揭示事件之间的关系．
(1)根据题意作出Venn图．
从图(1)中可以看到：“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”各自所含结果所组成的集合互为补集，因此它们构成对立事件．
(2)根据题意作出Venn图．

从Venn图(2)中可以看到：“朝上的一面的数字不大于4”与“朝上的一面的数字大于4”各自所含结果组成的集合互为补集，它们构成对立事件．
练习1：从一堆产品(其中正品与次品的件数都大于2)中任取2件，下列每对事件是对立事件的是(　　)
A．恰好有2件正品与恰好有2件次品
B．至少有1件正品与至少有1件次品
C．至少1件次品与全是正品
D．至少1件正品与全是正品
[答案]　C
类型七 互斥事件与对立事件的概率
例7：一盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球．求：
(1)取出球的颜色是红或黑的概率；
(2)取出球的颜色是红或黑或白的概率．
[解析]　解法一：(1)从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取一球有12种取法．
∴任取1球得红球或黑球的概率为P1＝＝.
(2)从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种方法，得白球有2种取法，从而得红或黑或白球的概率为P2＝＝.
解法二：利用互斥事件求概率．
记事件A1：从12只球中任取1球得红球；
A2：从中任取1球得黑球；
A3：从中任取1球得白球；
A4：从中任取1球得绿球，
则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.
根据题意，A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件概率得(1)取出红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝；
(2)取出红或黑或白球的概率为
P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
解法三 ：利用对立事件求概率．
(1)由解法二，取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，
∴取出红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝＝.
(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4.
P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝即为所求．
练习1：在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率：
(1)小明在数学考试中取得80分以上；
(2)小明考试及格．
[答案]　小明的成绩在80分以上可以看做是互斥事件“80～89分”、“90分以上”的并事件，小明考试及格可看做是“60～69分”、“70～79分”、“80～89分”、“90分以上”这几个彼此互斥的事件的并事件，又可看做是“不及格”的对立事件．
分别记小明的成绩在“90分以上”、在“80～89分”、在“70～79分”、在“60～69分”为事件B、C、D、E，这四个事件彼此互斥．
(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)解法一：小明考试及格的概率是
P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
解法二：小明考试不及格的概率是0.07，所以小明考试及格的概率是P(A)＝1－0.07＝0.93.
∴小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率是0.69，考试及格的概率是0.93.
练习2：抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率都是，记事件A为“出现奇数”，事件B为“向上的数不超过3”，求P(A∪B)．
[答案]　记事件“出现1点”，“出现2点”，“出现3点”，“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，这四个事件彼此互斥，故P(A∪B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝＋＋＋＝.

1．下列说法正确的是(　　)
A．某事件发生的频率为P(A)＝1.1
B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
[答案]　B
2．下列说法正确的是(　　)
A．事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大
B．事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小
C．互斥事件一定是对立事件，对立事件并不一定是互斥事件
D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
[答案]　D
3．从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么下列事件中，互斥事件的个数是(　　)
①至少有1个白球与都是白球；
②至少有1个白球与至少有1个红球；
③恰有1个白球与恰有2个红球；
④至少有1个白球与都是红球．
A．0　 　　B．1　 　　C．2　 　 D．3
[答案]　C
4．下列说法：①频率反映的是事件发生的频繁程度，概率反映的是事件发生的可能性大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离具体的n次的试验值，而概率是确定性的、不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法是________．
[答案]　①④⑤
5．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是________．

[答案]　0.10
6．甲、乙两人下象棋，甲获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为50%，则乙获胜的概率为________，甲不输的概率为________．
[答案]　20%　80%
7．在某一时期内，一条河流某处的最高水位在各个范围内的概率如下：
年最高水位 (单位：m) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18)
概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08

计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：
(1)[10,16)(m)；(2)[8,12)(m)；(3)[14,18)(m)．
[答案]　记河流年最高水位在“[8,10)”为事件A，“[10,12)”为事件B，“[12,14)”为事件C，“[14,16)”为事件D，“[16,18)”为事件E，则A、B、C、D、E为互斥事件，由互斥事件的概率的加法公式，得
(1)最高水位在[10,16)的概率为
P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)最高水位在[8,12)的概率为
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)最高水位在[14,18]的概率为
P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.

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基础巩固（1）
一、选择题
1．每道选择题有4个选择支，其中只有1个选择支是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择支正确的概率是，我每题都选择第一个选择支，则一定有3道题选择结果正确”这句话(　　)
A．正确 B．错误
C．不一定 D．无法解释
[答案]　B
[解析]　3道题选择结果可能都正确，也可能都错误，还可能仅1道题正确，或仅2道题正确．
2．从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件，则对C的说法正确的是(　　)
A．概率为 B．频率为
C．概率接近 D．每抽10台电视机，必有1台次品
[答案]　B
[解析]　概率是一个客观存在的常数，不随试验的变化而变化，不能得出概率接近的结论. 而由频率的概念可知，选项B正确．
3．成语“千载难逢”意思是说某事(　　)
A．一千年中只能发生一次 B．一千年中一次也不能发生
C．发生的概率很小 D．为不可能事件，根本不会发生
[答案]　C
[解析]　根据概率的意义可知选项A、B、D都不正确．
4．给出下列三个命题，其中正确命题的个数为(　　)
①设有一批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此出现正面的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
A．0个　　 B．1个　　
C．2个　　 D．3个
[答案]　A
[解析]　频率是事件发生的次数m与试验次数n的比值；当n很大时，可以将事件发生的频率作为事件发生的概率的近似值，故选A.
5．下列结论正确的是(　　)
A．事件A的概率为P(A)，则必有0B．事件A的概率P(A)＝0.999，则事件A是必然事件
C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%
D．某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖
[答案]　C
[解析]　A不正确，因为0≤P(A)≤1；若A是必然事件，则P(A)＝1，故B不正确；对于D，奖券中奖率为50%，若某人购买此券10张，则可能会有5张中奖，所以D不正确，故选C.
6．有以下一些说法：
①一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是；
②买彩票中奖的概率是0.001，那么买1 000张彩票一定能中奖；
③乒乓球比赛前，用抽签来决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的；
④昨天没有下雨，则说明关于气象局预报昨天“降水概率为90%”是错误的．
其中说法正确的是(　　)
A．①③ B．②③
C．①②③ D．①②③④
[答案]　A
[解析]　根据概率的意义逐一判断可知①③正确，②④不正确．
二、填空题
7．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下：[10,20)2个；[20,30)3个；[30,40)x个；[40,50)5个；[50,60)4个；[60,70)2个，并且样本在[30,40)之间的频率为0.2.则x等于________；根据样本的频率分布估计，数据落在[10,50)的频率约为________．
[答案]　4　0.7
[解析]　样本总数为20个，∴x＝20－16＝4，∴P＝＝0.7.
8．样本容量为200的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为______，数据落在[2,10)内的概率约为________．

[答案]　64　0.4
[解析]　由于在[6,10)范围内，频率/组距＝0.08，所以频率＝0.08×组距＝0.32，而频数＝频率×样本容量，所以频数＝0.32×200＝64.同样，在[2,6)范围内的概率为(0.02＋0.08)×4＝0.4.
三、解答题
9．某出版社对某教辅图书的写作风格进行了5次“读者问卷调查”，结果如下：
被调查人数n 1 001 1 000 1 004 1 003 1 000
满意人数m 999 998 1 002 1 002 1 000
满意频率

(1)计算表中的各个频率；
(2)读者对此教辅图书满意的概率P(A)约是多少？
(3)根据(1)(2)说明读者对此教辅图书满意情况．
[解析]　(1)表中各个频率依次是0.998,0.998，0.998，0.999,1.
(2)由第(1)问的结果，知某出版社在5次“读者问卷调查”中，收到的反馈信息是“读者对某教辅图书满意的概率约是P(A)＝0.998.”
用百分数表示就是P(A)＝99.8%.
(3)由(1)、(2)可以看出，读者对此教辅图书满意程度较高，且呈上升趋势．
基础巩固（2）
一、选择题
1．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(　　)
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对
[答案]　C
[解析]　由互斥事件的定义可知，甲、乙不能同时得此红牌．由对立事件的定义可知，甲、乙可能都得不到红牌，即“甲或乙分得红牌”的事件可能不发生．故选C.
2．1人在打靶中连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是(　　)
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
[答案]　C
[解析]　“至少有1次中靶”包括两种情况：①有1次中靶；②有2次中靶．其对立事件为“2次都不中靶”．
3．一个战士在一次射击中，命中环数大于8，大于5，小于4，小于6这四个事件中，互斥事件有(　　)
A．2对 B．4对
C．6对 D．3对
[答案]　B
[解析]　按照互斥事件的定义，两个事件不可能同时发生，所以命中环数大于8与命中环数小于4是互斥事件；命中环数大于8与命中环数小于6是互斥事件；命中环数大于5与命中环数小于4是互斥事件．命中环数大于5与命中环数小于6也是互斥事件，故选B.
4．若把一副扑克牌中的4个K随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人得到1张扑克牌，则事件“甲分到红桃K”与事件“乙分到梅花K”是(　　)
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但非对立事件 D．以上都不对
[答案]　D
[解析]　由题意，对一次试验(即分一次牌)，有可能“甲分到红桃K”和“乙分到梅花K”同时发生．
5．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量大于4.8g，不大于4.85g的概率是(　　)
A．0.62 B．0.38
C．0.02 D．0.68
[答案]　B
[解析]　记事件A＝“质量不大于4.85g”，事件B＝“质量小于4.8g”，事件C＝“质量不小于4.8g，不大于4.85g”，则A＝B∪C，且B、C互斥，所以P(A)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)，由此可得P(C)＝P(A)－P(B)＝(1－0.32)－0.3＝0.38.
6．从1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字中任取两个数，分别有下列事件：
①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；
②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．
其中为互斥事件的是(　　)
A．① B．②④
C．③ D．①③
[答案]　C
[解析]　所取两个数可能都是奇数，也可能都是偶数，还可能一个奇数一个偶数，故只有③中两个事件互斥．
二、填空题
7．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则甲胜的概率为________，甲不输的概率为________．
[答案]　　
[解析]　“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为1－(＋)＝，“甲不输”是“乙胜”的对立事件，所以甲不输的概率为1－＝.
8．如果事件A和B是互斥事件，且事件A∪B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件B的对立事件的概率为________．
[答案]　0.8
[解析]　根据题意有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝4P(B)＝0.8，∴P(B)＝0.2，则事件B的对立事件的概率为1－0.2＝0.8.
三、解答题
9．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数(辆) 500 130 100 150 120

(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．
[解析]　(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得
P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆．
所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为＝0.24.
由频率估计概率得P(C)＝0.24.

能力提升（1）
一、选择题
1．从16个同类产品(其中有14个正品，2个次品)中任意抽取3个，下列事件中概率为1的是(　　)
A．3个都是正品 B．3个都是次品
C．3个中至少有一个是正品 D．3个中至少有一个是次品
[答案]　C
[解析]　16个同类产品中，只有2个次品，抽取3个产品，A是随机事件，B是不可能事件，C是必然事件，D是随机事件，又必然事件的概率为1，∴选C.
2．下列说法中，不正确的是(　　)
A．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8
B．某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7
C．某人射击10次，击中靶心的频率是，则他击中靶心5次
D．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心的次数为4
[答案]　B
[解析]　某人射击10次，击中靶心7次，则他击中靶心的频率为0.7，故选项B错误．
3．设某厂生产的某产品的次品率为2%，估算该厂生产8 000件产品中合格品的件数可能为(　　)
A．160 B．7 840
C．7 998 D．7 800
[答案]　B
[解析]　次品率为2%，则8 000件产品中可能有160件次品，所以合格品可能为8 000－160＝7 840(件)．
4．一袋中有红球5个、黑球4个，现从中任取5个球，至少有1个红球的概率为(　　)
A． B．
C． D．1
[答案]　D
[解析]　这是一个必然事件，其概率为1.
二、填空题
5．一个口袋装有白球、红球共100个，若摸出一个球为白球的概率为，则估计这100个球内，有白球____________个．
[答案]　75
[解析]　白球个数为100×＝75(个)
6．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看周杰伦的演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，我就去；如果落地后两面一样，你就去！”你认为这个游戏________．(“公平”或“不公平”)
[答案]　公平
[解析]　向空中同时抛两枚同样的一元硬币，落地后的结果有“正正”、“反正”、“正反”、“反反”四种情况，其中“一正一反”和“两面一样”的概率都是，因此游戏是公平的．
三、解答题
7．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩如下表：
射击次数 100 120 150 100 150 160 150
击中飞碟数 81 95 123 82 119 127 121
击中飞碟的频率

(1)将各次击中飞碟的频率填入表中；
(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？
[解析]　利用频率公式依次计算出击中飞碟的频率．
(1)射中次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是＝0.81，同理可求得下面的频率依次是0.792，0.820,0.820，0.793，0.794,0.807；
(2)击中飞碟的频率稳定在0.81，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.
8．在一个试验中，一种血清被注射到500只豚鼠体内．最初，这些豚鼠中有150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞．被注射这种血清之后，具有圆形细胞的豚鼠没有被感染，50只具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染．根据实验结果估计，分别具有圆形细胞、椭圆形细胞、不规则形状细胞的豚鼠被这种血清感染的概率．
[解析]　(1)记“具有圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A，则由题意可知，A为不可能事件，所以P(A)＝0.
(2)记“具有椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B，则由题意，得P(B)＝＝＝0.2.
(3)记“具有不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C，则由题意可知，C为必然事件，P(C)＝1.
能力提升（2）
一、选择题
1．一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件．
①恰有1件次品和恰有2件次品；
②至少有1件次品和全是次品；
③至少有1件正品和至少有1件次品；
④至少有1件次品和全是正品．
以上事件中互斥事件的组数是(　　)
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
[答案]　B
[解析]　①④中的两事件互斥，②③中的两事件不互斥．
2．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6，将这个玩具抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现奇数点(指向上的一面的点数是奇数)，事件B表示向上的一面的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则(　　)
A．A与B是互斥而非对立事件
B．A与B是对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件
D．B与C是对立事件
[答案]　D
[解析]　事件A与事件B可以同时发生，故排除选项A、B；事件B与事件C是对立事件，故排除选项C，应选D.
3．某家庭电话，有人时打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，则电话在响前四声内被接的概率为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　B
[解析]　电话在响前四声内被接的概率为P＝＋＋＋＝.
4．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是(　　)

A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
[答案]　D
[解析]　由图可知，抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.
二、填空题
5．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是____________．
[答案]　0.3
[解析]　P＝1－0.42－0.28＝0.3.
6．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为____________．
[答案]　
[解析]　设事件A为“甲夺得冠军”，事件B为“乙夺得冠军”，则P(A)＝，P(B)＝，因为事件A和事件B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝
三、解答题
7．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；
(4)B与C；(5)C与E.
[解析]　(1)由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B不发生可导致事件E一定发生，且事件E不发生会导致事件B一定发生，故B与E是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，即事件B发生时事件D也可能发生，故B与D不互斥．
(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”、“只订乙报”、“订甲、乙两种报”；事件C“至多订一种报”中有这些可能：“什么报也不订”、“只订甲报”、“只订乙报”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E“一种报也不订”只是事件C的一种可能，事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不互斥．
8．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)不够7环的概率．
[解析]　(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A∪B.
故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.
∴射中10环或7环的概率为0.49.
(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况：射中6环、5环、4环、3环、2环、1环、0环，但由于这些概率都未知，故不能直接求解，可考虑从反面入手，不够7环的反面大于等于7环，即7环、8环、9环、10环，由于此两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件的方法处理．
设“不够7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”、“射中8环”等是彼此互斥事件，∴P()＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－P()＝1－0.97＝0.03.
∴不够7环的概率为0.03.

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