人教版高中数学必修三第三章概率 概率的一般加法公式（教师版）【个性化辅导含答案】
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| 名称 | 人教版高中数学必修三第三章概率 概率的一般加法公式（教师版）【个性化辅导含答案】 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-08-09 12:35:55 | ||
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文档简介
概率的一般加法公式
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1. 理解事件的交（或积）的含义，会用概率的加法公式。
2. 能在实际问题中应用概率的一般加法公式。
1．事件的交(或积)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生 ，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或称积事件)，记作A∩B(或AB)．
(1)用集合形式表示，如图．
(2)事件A与事件B的交事件等于事件B与事件A的交事件，即A∩B＝B∩A.
例如：在投掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数大于3}，B＝{出现的点数小于5}，则A∩B＝{出现的点数为4}．
2．概率的一般加法公式
设事件A、B是Ω中两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
如图所示，设事件Ω的基本事件总数为n，事件A、B包含的基本事件的个数分别为m1、m2，事件A∩B包含的基本事件数为m，易知A∪B中包含的基本事件数为m1＋m2－m，
∴P(A∪B)＝
＝＝＋－
＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
(1)当A、B为互斥事件时，∵P(A∩B)＝0，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(2)应用公式时，一定要把握好A与B的公共基本事件数．即A∩B的基本事件数．
类型一 概率的加法公式
例1：甲、乙等四人参加4×100米接力，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率．
[解析] 设事件A为“甲跑第一棒”，事件B为“乙跑第四棒”，则P(A)＝，P(B)＝.计算P(A∩B)，记x为甲跑的棒数，y为乙跑的棒数，记为(x，y)，
则共有可能结果12种：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，而甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种可能(1,4)，故P(A∩B)＝.所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
[答案]
练习：(1)甲、乙两人各射击一次，命中率各为0.8和0.5，两人同时命中的概率为0.4，求甲、乙两人至少有一人命中的概率；
(2)加工某一零件共需经过两道工序，各道工序互不影响，次品率为2%和3%，已知同为次品的情况为0.06%，求加工出来的零件的次品率；
(3)甲、乙两人随机地入住A、B、C、D四个房间，求甲、乙至少一人入住第一个房间A的概率．
[答案] (1)至少有一人命中，可看成是甲命中和乙命中这两个事件的并事件．
设事件A为“甲命中”，事件B为“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9.
(2)若加工出来的零件为次品，则至少有一道工序产生次品，如设事件A为“第一道工序出现次品”，事件B为“第二道工序出现次品”，则“加工出来的零件是次品”为事件A∪B.所以，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝2%＋3%－0.06%＝4.94%.
(3)设事件A为“甲住A”，事件B为“乙住A”，则P(A)＝，P(B)＝.事件A∩B为“甲、乙均住A”，其概率P(A∩B)＝.所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
类型二 概率的一般加法公式在实际中的应用
例2：一栋楼上住有50户人家，其中有电脑的有43户，有钢琴的有36户，这两样都没有的只有1户人家，试求下列事件的概率．
(1)有电脑的；
(2)有钢琴的；
(3)既有电脑又有钢琴的；
(4)有电脑或钢琴的．
[解析] “有电脑或钢琴的”可看作事件“有电脑”和“有钢琴”的并事件，或者看作两样都没有的对立事件．
(1)由于楼上共50户，有电脑的43户，故所求事件的概率为＝0.86.
(2)有钢琴的36户，故所求事件的概率为＝0.72.
(3)既有钢琴又有电脑的共43＋36＋1－50＝30户，故所求事件的概率为＝0.6.
(4)有电脑或钢琴的概率为：P＝0.86＋0.72－0.6＝0.98.
或用对立事件求解：由于这二者都没有的只有一户，故所求事件的概率P＝1－＝1－0.02＝0.98.
练习1：两人独立地解决同一个问题，甲解决这个问题的概率是P1，乙解决这个问题的概率是P2，两人同时解决的概率是P3，则这个问题解决的概率是( )
A．P1＋P2－P3 B．P1＋P2－P1P2－P3 C．P1＋P2＋P3－P1P2 D．P1P2＋P1＋P2－P3
[答案] A
练习2：一人抛掷两枚骰子，问向上一面数字至少出现一个5或6的概率．
[答案] 解法一：同时抛掷两枚骰子可能结果可列表表示如下：
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
共有36个结果，至少含一个数字5或6的结果有20个，
∴所求概率P＝＝.
解法二：利用对立事件求解，至少含有一个数字5或6的对立事件是没有数字5和6，没有数字5和6的结果从表中可数出共16个，∴所求概率P＝1－＝.
解法三：记事件A＝“向上一面含数字5的”，
B＝“向上一面含数字6的”，∴P(A)＝，P(B)＝，P(A·B)＝，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A·B)＝＋－＝.
1．随机投掷两枚硬币，事件A＝“至少一次正面朝上”，事件B＝“至少一次反面朝上”，则P(A∪B)＝( )
A． B． C．1 D．0
[答案] C
2．已知事件A、B，则下列式子正确的是( )
A．P(A∪B)＝P(A)＋P(B) B．P(A∩B)＝P(A)－P(B)
C．P(A∩B)[答案] D
3．某公司所属三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4 000人，女职工1 600人；第二分厂有男职工3 000人，女职工1 400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人，如果从该公司职工中随机抽选一人，求该职工为女职工或第三分厂职工的概率．
[答案] 设A表示抽中女职工的事件，则
P(A)＝＝；
B表示抽中第三分厂职工的事件，
则P(B)＝＝；
C表示抽中第三分厂女职工的事件，则有C＝A∩B，
其概率为P(C)＝P(A∩B)＝＝.
抽中女职工或第三分厂职工的概率，即为P(A∪B)，有
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝≈0.381.
4. 同时抛掷红、黄两颗骰子，事件A＝“红骰子点数大于3”，事件B＝“蓝骰子点数大于3”，求事件A∪B＝“至少有一颗骰子点数大于3”的概率．
[答案] 基本事件空间Ω＝{(x，y)|x∈N，y∈N, 1≤x≤6,1≤y≤6}中共包含等可能发生的基本事件总数为36个(可用平面直角坐标系中的点表示)A中元素有3×6＝18个，B中元素个数有3×6＝18个，A∩B＝{(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}中共9个基本事件，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
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基础巩固
一、选择题
1．某小组有5名同学，其中男生3名，现选举2名代表，至少有一名女生当选的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 记3名男生分别为A1，A2，A3,2名女生分别为B1，B2，从5名同学中任选2名的所有情况为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)共10种，至少有1名女生当选的情况有7种，故所求概率P＝.
2．下列命题中是错误命题的个数为( )
①对立事件一定是互斥事件；
②A、B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
③若事件A、B、C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 互斥不一定对立，对立必互斥①正确；
只有A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，∴②错误；
事件A、B、C两两互斥，则有P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)，但A∪B∪C不一定是必然事件，例如基本事件空间是由两两互斥的事件A、B、C、D组成且事件D与A∪B∪C为对立事件，P(D)≠0时，③不对．
3．某单位电话总机室内有两部外线电话：T1和T2，在同一时间内，T1打入电话的概率是0.4，T2打入电话的概率是0.5，两部同时打入电话的概率是0.2，则至少有一部电话打入的概率是( )
A．0.9 B．0.7
C．0.6 D．0.5
[答案] B
[解析] 至少有一部电话打入的概率是0.4＋0.5－0.2＝0.7.
4．某环靶由中心圆Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、圆环Ⅲ构成，某射手命中区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35,0.30，0.25，则该射手射击一次不命中环靶的概率为( )
A．0.1 B．0.65
C．0.70 D．0.75
[答案] A
[解析] 该射手射击一次不命中环靶的概率是1－0.35－0.30－0.25＝0.1.
5．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 将骰子(均匀的)连掷三次共有6×6×6＝216(种)可能结果，点数依次成等差数列的情况有(6,5,4)，(6,4,2)，(5,4,3)，(5,3,1)，(4,3,2)，(3,2,1)，(1,3,5)，(1,2,3)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,4,5)，(4,5,6)，(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，(4,4,4)，(5,5,5)，(6,6,6)，共18种可能情况，所以所求概率为＝.
6．从数字1,2,3中任取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数大于21的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 从数字1,2,3中任取两个不同数字组成一个两位数，基本事件为12,13,21,23,31,32共6个．其中大于21的有23,31,32共3个，∴所求概率为＝.
二、填空题
7．从甲口袋中摸出一白球的概率为，从乙口袋中摸出一白球的概率为，从两口袋中各摸出一球，都是白球的概率为，则从两口袋中各摸出一球，至少有一个白球的概率为________．
[答案]
[解析] “至少有一个白球”是事件A＝“从甲口袋中摸出的是白球”和B＝“从乙口袋中摸出的是白球”的并事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
8．甲、乙两人对同一目标各进行一次射击，两人击中目标的概率都是0.8，两人都未击中的概率为0.04，则目标被两人同时击中的概率为________．
[答案] 0.64
[解析] 目标被击中即甲击中或乙击中，P(甲)＝0.8，P(乙)＝0.8，
∴P(甲或乙)＝P(甲)＋P(乙)－P(甲且乙)＝1－0.04＝0.96，∴P(甲且乙)＝0.64.
三、解答题
9．100个产品中有93个产品长度合格，90个产品重量合格，其中长度、重量都合格的有85个．现从中任取一产品，记A为：“产品长度合格”，B为：“产品重量合格”，求产品的长度、重量至少有一项合格的概率．
[解析] P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝.而A∪B为：“产品的长度、重量至少有一项合格”
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝0.98.
能力提升
一、选择题
1．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A＝{出现的点数是1,2}，事件B＝{出现的点数是2,3,4}，则事件{出现的点数是2}可以记为( )
A．A∪B B．A∩B
C．A?B D．A＝B
[答案] B
[解析] A∪B＝{出现的点数是1,2,3,4}，A∩B＝{出现的点数是2}，故选B.
2．对于任意事件M和N，有( )
A．P(M∪N)＝P(M)＋P(N) B．P(M∪N)>P(M)＋P(N)
C．P(M∪N)[答案] D
[解析] 本题主要考查对概率加法公式的理解．当M和N是互斥事件时，P(M∪N)＝P(M)＋P(N)；当M和N不是互斥事件时，P(M∪N)二、填空题
3．100张卡片上分别写有1,2,3，…，100，计算下列事件的概率．
(1)任取其中1张，这张卡片上写的是偶数的概率为________；
(2)任取其中1张，这张卡片上写的数是5的倍数的概率为________；
(3)任取其中1张，这张卡片上写的数是偶数且是5的倍数的概率为________；
(4)任取其中1张，这张卡片上写的数是偶数或是5的倍数的概率为________．
[答案] (1) (2) (3) (4)
[解析] 从100张卡片中任取一张，共有100种取法．
(1)其中偶数有50个，故取得偶数的概率为.
(2)其中是5的倍数的有20个，故是5的倍数的概率是＝.
(3)既是偶数又是5的倍数的有10个，故既是偶数又是5的倍数的概率为.
(4)记事件A为“取出偶数”，事件B为“取出的数是5的倍数”，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对成品任意抽查一件抽得正品的概率为________．
[答案] 0.96
[解析] 本题主要考查对立事件的概率．记“抽出的产品为正品”为事件A，“抽出的产品为乙级品”为事件B，“抽出的产品为丙级品”为事件C，则事件A、B、C彼此互斥，且A与B∪C是对立事件，所以P(A)＝1－P(B∪C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.
三、解答题
5．从1,2,3，…，10中任选一个数，求下列事件的概率：
(1)它是偶数；
(2)它能被3整除；
(3)它是偶数且能被3整除的数；
(4)它是偶数或能被3整除．
[解析] 基本事件空间Ω＝{1,2,3,4，…，10}，总基本事件个数m＝10.
(1)设“是偶数”为事件A，即A＝{2,4,6,8,10}，
∴P(A)＝＝.
(2)设“能被3整除”为事件B，即B＝{3,6,9}，
∴P(B)＝.
(3)设“是偶数且能被3整除”为事件C，即C＝{6}，
∴P(C)＝.
(4)设“是偶数或能被3整除”为事件D，即D＝A∪B，根据概率的加法公式得
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)
＝P(A)＋P(B)－P(C)
＝＋－＝.
1
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1. 理解事件的交（或积）的含义，会用概率的加法公式。
2. 能在实际问题中应用概率的一般加法公式。
1．事件的交(或积)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生 ，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或称积事件)，记作A∩B(或AB)．
(1)用集合形式表示，如图．
(2)事件A与事件B的交事件等于事件B与事件A的交事件，即A∩B＝B∩A.
例如：在投掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数大于3}，B＝{出现的点数小于5}，则A∩B＝{出现的点数为4}．
2．概率的一般加法公式
设事件A、B是Ω中两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
如图所示，设事件Ω的基本事件总数为n，事件A、B包含的基本事件的个数分别为m1、m2，事件A∩B包含的基本事件数为m，易知A∪B中包含的基本事件数为m1＋m2－m，
∴P(A∪B)＝
＝＝＋－
＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
(1)当A、B为互斥事件时，∵P(A∩B)＝0，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(2)应用公式时，一定要把握好A与B的公共基本事件数．即A∩B的基本事件数．
类型一 概率的加法公式
例1：甲、乙等四人参加4×100米接力，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率．
[解析] 设事件A为“甲跑第一棒”，事件B为“乙跑第四棒”，则P(A)＝，P(B)＝.计算P(A∩B)，记x为甲跑的棒数，y为乙跑的棒数，记为(x，y)，
则共有可能结果12种：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，而甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种可能(1,4)，故P(A∩B)＝.所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
[答案]
练习：(1)甲、乙两人各射击一次，命中率各为0.8和0.5，两人同时命中的概率为0.4，求甲、乙两人至少有一人命中的概率；
(2)加工某一零件共需经过两道工序，各道工序互不影响，次品率为2%和3%，已知同为次品的情况为0.06%，求加工出来的零件的次品率；
(3)甲、乙两人随机地入住A、B、C、D四个房间，求甲、乙至少一人入住第一个房间A的概率．
[答案] (1)至少有一人命中，可看成是甲命中和乙命中这两个事件的并事件．
设事件A为“甲命中”，事件B为“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9.
(2)若加工出来的零件为次品，则至少有一道工序产生次品，如设事件A为“第一道工序出现次品”，事件B为“第二道工序出现次品”，则“加工出来的零件是次品”为事件A∪B.所以，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝2%＋3%－0.06%＝4.94%.
(3)设事件A为“甲住A”，事件B为“乙住A”，则P(A)＝，P(B)＝.事件A∩B为“甲、乙均住A”，其概率P(A∩B)＝.所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
类型二 概率的一般加法公式在实际中的应用
例2：一栋楼上住有50户人家，其中有电脑的有43户，有钢琴的有36户，这两样都没有的只有1户人家，试求下列事件的概率．
(1)有电脑的；
(2)有钢琴的；
(3)既有电脑又有钢琴的；
(4)有电脑或钢琴的．
[解析] “有电脑或钢琴的”可看作事件“有电脑”和“有钢琴”的并事件，或者看作两样都没有的对立事件．
(1)由于楼上共50户，有电脑的43户，故所求事件的概率为＝0.86.
(2)有钢琴的36户，故所求事件的概率为＝0.72.
(3)既有钢琴又有电脑的共43＋36＋1－50＝30户，故所求事件的概率为＝0.6.
(4)有电脑或钢琴的概率为：P＝0.86＋0.72－0.6＝0.98.
或用对立事件求解：由于这二者都没有的只有一户，故所求事件的概率P＝1－＝1－0.02＝0.98.
练习1：两人独立地解决同一个问题，甲解决这个问题的概率是P1，乙解决这个问题的概率是P2，两人同时解决的概率是P3，则这个问题解决的概率是( )
A．P1＋P2－P3 B．P1＋P2－P1P2－P3 C．P1＋P2＋P3－P1P2 D．P1P2＋P1＋P2－P3
[答案] A
练习2：一人抛掷两枚骰子，问向上一面数字至少出现一个5或6的概率．
[答案] 解法一：同时抛掷两枚骰子可能结果可列表表示如下：
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
共有36个结果，至少含一个数字5或6的结果有20个，
∴所求概率P＝＝.
解法二：利用对立事件求解，至少含有一个数字5或6的对立事件是没有数字5和6，没有数字5和6的结果从表中可数出共16个，∴所求概率P＝1－＝.
解法三：记事件A＝“向上一面含数字5的”，
B＝“向上一面含数字6的”，∴P(A)＝，P(B)＝，P(A·B)＝，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A·B)＝＋－＝.
1．随机投掷两枚硬币，事件A＝“至少一次正面朝上”，事件B＝“至少一次反面朝上”，则P(A∪B)＝( )
A． B． C．1 D．0
[答案] C
2．已知事件A、B，则下列式子正确的是( )
A．P(A∪B)＝P(A)＋P(B) B．P(A∩B)＝P(A)－P(B)
C．P(A∩B)
3．某公司所属三个分厂的职工情况为：第一分厂有男职工4 000人，女职工1 600人；第二分厂有男职工3 000人，女职工1 400人；第三分厂有男职工800人，女职工500人，如果从该公司职工中随机抽选一人，求该职工为女职工或第三分厂职工的概率．
[答案] 设A表示抽中女职工的事件，则
P(A)＝＝；
B表示抽中第三分厂职工的事件，
则P(B)＝＝；
C表示抽中第三分厂女职工的事件，则有C＝A∩B，
其概率为P(C)＝P(A∩B)＝＝.
抽中女职工或第三分厂职工的概率，即为P(A∪B)，有
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝≈0.381.
4. 同时抛掷红、黄两颗骰子，事件A＝“红骰子点数大于3”，事件B＝“蓝骰子点数大于3”，求事件A∪B＝“至少有一颗骰子点数大于3”的概率．
[答案] 基本事件空间Ω＝{(x，y)|x∈N，y∈N, 1≤x≤6,1≤y≤6}中共包含等可能发生的基本事件总数为36个(可用平面直角坐标系中的点表示)A中元素有3×6＝18个，B中元素个数有3×6＝18个，A∩B＝{(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}中共9个基本事件，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
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基础巩固
一、选择题
1．某小组有5名同学，其中男生3名，现选举2名代表，至少有一名女生当选的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 记3名男生分别为A1，A2，A3,2名女生分别为B1，B2，从5名同学中任选2名的所有情况为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)共10种，至少有1名女生当选的情况有7种，故所求概率P＝.
2．下列命题中是错误命题的个数为( )
①对立事件一定是互斥事件；
②A、B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
③若事件A、B、C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 互斥不一定对立，对立必互斥①正确；
只有A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，∴②错误；
事件A、B、C两两互斥，则有P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)，但A∪B∪C不一定是必然事件，例如基本事件空间是由两两互斥的事件A、B、C、D组成且事件D与A∪B∪C为对立事件，P(D)≠0时，③不对．
3．某单位电话总机室内有两部外线电话：T1和T2，在同一时间内，T1打入电话的概率是0.4，T2打入电话的概率是0.5，两部同时打入电话的概率是0.2，则至少有一部电话打入的概率是( )
A．0.9 B．0.7
C．0.6 D．0.5
[答案] B
[解析] 至少有一部电话打入的概率是0.4＋0.5－0.2＝0.7.
4．某环靶由中心圆Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、圆环Ⅲ构成，某射手命中区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35,0.30，0.25，则该射手射击一次不命中环靶的概率为( )
A．0.1 B．0.65
C．0.70 D．0.75
[答案] A
[解析] 该射手射击一次不命中环靶的概率是1－0.35－0.30－0.25＝0.1.
5．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 将骰子(均匀的)连掷三次共有6×6×6＝216(种)可能结果，点数依次成等差数列的情况有(6,5,4)，(6,4,2)，(5,4,3)，(5,3,1)，(4,3,2)，(3,2,1)，(1,3,5)，(1,2,3)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,4,5)，(4,5,6)，(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，(4,4,4)，(5,5,5)，(6,6,6)，共18种可能情况，所以所求概率为＝.
6．从数字1,2,3中任取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数大于21的概率是( )
A． B．
C． D．
[答案] D
[解析] 从数字1,2,3中任取两个不同数字组成一个两位数，基本事件为12,13,21,23,31,32共6个．其中大于21的有23,31,32共3个，∴所求概率为＝.
二、填空题
7．从甲口袋中摸出一白球的概率为，从乙口袋中摸出一白球的概率为，从两口袋中各摸出一球，都是白球的概率为，则从两口袋中各摸出一球，至少有一个白球的概率为________．
[答案]
[解析] “至少有一个白球”是事件A＝“从甲口袋中摸出的是白球”和B＝“从乙口袋中摸出的是白球”的并事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
8．甲、乙两人对同一目标各进行一次射击，两人击中目标的概率都是0.8，两人都未击中的概率为0.04，则目标被两人同时击中的概率为________．
[答案] 0.64
[解析] 目标被击中即甲击中或乙击中，P(甲)＝0.8，P(乙)＝0.8，
∴P(甲或乙)＝P(甲)＋P(乙)－P(甲且乙)＝1－0.04＝0.96，∴P(甲且乙)＝0.64.
三、解答题
9．100个产品中有93个产品长度合格，90个产品重量合格，其中长度、重量都合格的有85个．现从中任取一产品，记A为：“产品长度合格”，B为：“产品重量合格”，求产品的长度、重量至少有一项合格的概率．
[解析] P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝.而A∪B为：“产品的长度、重量至少有一项合格”
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝0.98.
能力提升
一、选择题
1．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A＝{出现的点数是1,2}，事件B＝{出现的点数是2,3,4}，则事件{出现的点数是2}可以记为( )
A．A∪B B．A∩B
C．A?B D．A＝B
[答案] B
[解析] A∪B＝{出现的点数是1,2,3,4}，A∩B＝{出现的点数是2}，故选B.
2．对于任意事件M和N，有( )
A．P(M∪N)＝P(M)＋P(N) B．P(M∪N)>P(M)＋P(N)
C．P(M∪N)
[解析] 本题主要考查对概率加法公式的理解．当M和N是互斥事件时，P(M∪N)＝P(M)＋P(N)；当M和N不是互斥事件时，P(M∪N)
3．100张卡片上分别写有1,2,3，…，100，计算下列事件的概率．
(1)任取其中1张，这张卡片上写的是偶数的概率为________；
(2)任取其中1张，这张卡片上写的数是5的倍数的概率为________；
(3)任取其中1张，这张卡片上写的数是偶数且是5的倍数的概率为________；
(4)任取其中1张，这张卡片上写的数是偶数或是5的倍数的概率为________．
[答案] (1) (2) (3) (4)
[解析] 从100张卡片中任取一张，共有100种取法．
(1)其中偶数有50个，故取得偶数的概率为.
(2)其中是5的倍数的有20个，故是5的倍数的概率是＝.
(3)既是偶数又是5的倍数的有10个，故既是偶数又是5的倍数的概率为.
(4)记事件A为“取出偶数”，事件B为“取出的数是5的倍数”，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对成品任意抽查一件抽得正品的概率为________．
[答案] 0.96
[解析] 本题主要考查对立事件的概率．记“抽出的产品为正品”为事件A，“抽出的产品为乙级品”为事件B，“抽出的产品为丙级品”为事件C，则事件A、B、C彼此互斥，且A与B∪C是对立事件，所以P(A)＝1－P(B∪C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.
三、解答题
5．从1,2,3，…，10中任选一个数，求下列事件的概率：
(1)它是偶数；
(2)它能被3整除；
(3)它是偶数且能被3整除的数；
(4)它是偶数或能被3整除．
[解析] 基本事件空间Ω＝{1,2,3,4，…，10}，总基本事件个数m＝10.
(1)设“是偶数”为事件A，即A＝{2,4,6,8,10}，
∴P(A)＝＝.
(2)设“能被3整除”为事件B，即B＝{3,6,9}，
∴P(B)＝.
(3)设“是偶数且能被3整除”为事件C，即C＝{6}，
∴P(C)＝.
(4)设“是偶数或能被3整除”为事件D，即D＝A∪B，根据概率的加法公式得
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)
＝P(A)＋P(B)－P(C)
＝＋－＝.
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