命题动向：三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具．高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题．对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的形式出现，难度中等．备考中注意与平面向量的加法、减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的定义相结合来寻找解题突破口，三角函数与数列相交汇时，常常用到数列的基本性质．
题型1 三角函数图象与性质的综合
例1 (2017·山东高考)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
解 (1)因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sinωx－cosωx－cosωx
＝sinωx－cosωx＝
＝sin.
由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z.又0＜ω＜3，所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为x∈，所以x－∈，
当x－＝－，即x＝－时，
g(x)取得最小值－.
[冲关策略] 解决此类问题，一般先由图象或三角公式确定三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b等)的解析式，然后把ωx＋φ看成一个整体研究函数的性质．
变式训练1 (2019·揭阳模拟)已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解 (1)f(x)＝4cosωx·sin
＝2sinωx·cosωx＋2cos2ωx
＝(sin2ωx＋cos2ωx)＋
＝2sin＋.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，从而有＝π，
故ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
题型2 解三角形与数列的综合问题
例2 (2018·衡中模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2B＋cosB＝1－cosAcosC.
(1)求证：a，b，c成等比数列；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
解 (1)证明：在△ABC中，cosB＝－cos(A＋C)．
由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cosAcosC，
∴－sin2B－(cosAcosC－sinAsinC)＝－cosAcosC，
化简，得sin2B＝sinAsinC.由正弦定理，得b2＝ac，
∴a，b，c成等比数列．
(2)由(1)及题设条件，得ac＝4.
则cosB＝＝≥＝，
当且仅当a＝c时，等号成立．
∵0
∴S△ABC＝acsinB≤×4×＝.
∴△ABC面积的最大值为.
[冲关策略] 纵观近年的高考试题，许多新颖别致的三角函数解答题就是以数列为出发点设计的．在这类试题中数列往往只是起到包装的作用，实质是考查考生利用三角函数的性质、三角恒等变换与正、余弦定理来解决问题的能力．解决这类问题的基本思路是脱掉数列的外衣，抓住问题的实质，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化．
变式训练2 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知acos2＋ccos2＝b.
(1)求证：a，b，c成等差数列；
(2)若B＝，S＝4，求b.
解 (1)证明：由正弦定理，
得sinAcos2＋sinCcos2＝sinB，
即sinA·＋sinC·＝sinB，
∴sinA＋sinC＋sinAcosC＋cosAsinC＝3sinB，
即sinA＋sinC＋sin(A＋C)＝3sinB.
∵sin(A＋C)＝sinB，
∴sinA＋sinC＝2sinB，即a＋c＝2b，
∴a，b，c成等差数列．
(2)∵S＝acsinB＝ac＝4，∴ac＝16.
又b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，
由(1)得a＋c＝2b，∴b2＝4b2－48，
∴b2＝16，即b＝4.
题型3 三角变换与解三角形的综合
例3 (2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
解 (1)在△ABC中，由正弦定理得＝，得bsinA＝asinB，
又bsinA＝acos，
∴asinB＝acos，即sinB＝cos
＝cosBcos＋sinBsin＝cosB＋sinB，
∴tanB＝，
又B∈(0，π)，∴B＝.
(2)在△ABC中，a＝2，c＝3，B＝，由余弦定理得b＝＝，由bsinA＝acos，得sinA＝，
∵a∴sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝×－×＝.
[冲关策略] 三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．
变式训练3 (2019·长春模拟)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsinA.
(1)求B的大小；
(2)求cosA＋sinC的取值范围．
解 (1)∵a＝2bsinA，
根据正弦定理得sinA＝2sinBsinA，
∵sinA≠0，∴sinB＝，
又△ABC为锐角三角形，∴B＝.
(2)∵B＝，
∴cosA＋sinC＝cosA＋sin＝cosA＋sin＝cosA＋cosA＋sinA＝sin.
由△ABC为锐角三角形知，A＋B>，
∴∴∴cosA＋sinC的取值范围为.
题型4 三角函数与平面向量的综合
例4 (2019·龙岩模拟)已知向量a＝(，1)，b＝(sin2x,2sin2x－1)，x∈R.
(1)若a∥b，且x∈[0，π]，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b(x∈R)，若将函数f(x)的图象上的所有点向左平移个单位得到函数g(x)的图象．当x∈时，求函数g(x)的值域．
解 (1)因为a∥b，所以(2sin2x－1)－sin2x＝0，即sin2x＝－cos2x.
若cos2x＝0，则sin2x＝0，与sin22x＋cos22x＝1矛盾，故cos2x≠0.所以tan2x＝－，又x∈[0，π]，所以2x∈[0,2π]，所以2x＝或2x＝，即x＝或x＝，即x的值为或.
(2)因为f(x)＝a·b＝(，1)·(sin2x，－cos2x)＝sin2x－cos2x＝2sin，
所以g(x)＝2sin＝2sin，
当x∈时，2x＋∈，所以sin∈，所以2sin∈[－1,2]，
即当x∈时，函数g(x)的值域为[－1,2]．
[冲关策略] (1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
变式训练4 (2018·合肥模拟)已知a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，－cosx)，函数f(x)＝a·b＋.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．
解 (1)f(x)＝a·b＋
＝(sinx，cosx)·(cosx，－cosx)＋
＝sinx·cosx－cos2x＋
＝sin2x－cos2x＝sin.
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
即函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)由(1)及已知条件可知(x1，f(x1))与(x2，f(x2))关于x＝对称，则x1＋x2＝，
∴cos(x1－x2)＝cos
＝cos＝cos
＝sin＝f(x1)＝.
题型5 解三角形与平面向量的综合
例5 (2019·昆明模拟)已知角A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其所对边，向量m＝，n＝，m⊥n.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，cosB＝，求b的长．
解 (1)已知m⊥n，所以m·n＝·＝sinA－(cosA＋1)＝0，
即sinA－cosA＝1，即sin＝.
因为0所以A－＝，所以A＝.
(2)在△ABC中，A＝，a＝2，cosB＝，
sinB＝＝＝.
由正弦定理知＝，
所以b＝＝＝.
[冲关策略] 解决解三角形与平面向量综合问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决．
变式训练5 (2019·成都模拟)锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ctanB是btanA和btanB的等差中项．
(1)求角A的大小；
(2)若m＝(sinB，sinC)，n＝(cosB，cosC)，求m·n的取值范围．
解 (1)由题意知btanA＋btanB＝2ctanB，
∴sinB＋sinB＝2sinC·，
∵sinB≠0，∴sinAcosB＋cosAsinB＝2sinCcosA，
∴sinC＝2sinCcosA，∵sinC≠0，∴cosA＝，
又0(2)m·n＝sinBcosB＋sinCcosC＝sin2B＋sin2C
＝sin2B＋sin＝sin，
∵∴∴
(共36张PPT)
高考大题冲关系列(2)
三角函数的综合问题
本课结束
