命题动向：通过近五年的高考试题分析，在高考的解答题中，对概率与随机变量及其分布相结合的综合问题的考查既是热点又是重点，是高考必考的内容，并且常常与统计相结合，常常设计成包含概率计算、概率分布表、随机变量的数学期望与方差、统计图表的识别等知识为主的综合题．以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，考查学生应用基础知识和基本方法分析问题和解决问题的能力．
题型1 求离散型随机变量的均值与方差
例1 (2018·天津高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
解 (1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
所以，随机变量X的分布列为
随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A＝B∪C，且B与C互斥，
由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，
故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝.
所以，事件A发生的概率为.
[冲关策略] 离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其分布列然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率的对应．
变式训练1 某厂有4台大型机器，在一个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为.
(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%?
(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值．
解 (1)1台机器是否出现故障可看作1次试验，在1次试验中，机器出现故障设为事件A，则事件A的概率为.
该厂有4台机器，就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X，则X～B，
∴P(X＝0)＝C×4＝，∴P(X＝1)＝C××3＝，P(X＝2)＝C×2×2＝，
P(X＝3)＝C×3×＝，P(X＝4)＝C×4＝.
∴X的分布列为
设该厂有n名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X≤n，即X＝0，X＝1，X＝2，…，X＝n，这n＋1个互斥事件的和事件，则
∵<90%≤，∴该厂至少需要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%.
(2)设该厂每月可获利Y万元，则Y的所有可能取值为18,13,8，P(Y＝18)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝，P(Y＝13)＝P(X＝3)＝，P(Y＝8)＝P(X＝4)＝，
∴Y的分布列为
则E(Y)＝18×＋13×＋8×＝(万元)．
故该厂每月获利的均值为万元．
题型2 概率与统计的综合问题
例2 (2019·桂林模拟)从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z)，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z<95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
(2)由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．
①利用该正态分布，求P(87.8②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
附：≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ解 (1)由频率估计概率，产品为正品的概率为(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67，
所以随机变量ξ的分布列为
所以E(ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝50.4.
(2)由频率分布直方图知，抽取产品的该项质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
＝70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02＝100，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
①因为Z～N(100,150)，
从而P(87.8②由①知，一件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的概率为0.6827，
依题意知X～B(500,0.6827)，
所以E(X)＝500×0.6827＝341.35.
[冲关策略] 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．
变式训练2 为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行．市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示：
(1)若甲单位数据的平均数是122，求x；
(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天)，记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1，ξ2，令η＝ξ1＋ξ2，求η的分布列和期望．
解 (1)由题意知
＝122，
解得x＝8.
(2)由题得ξ1的所有可能取值为0,1,2，ξ2的所有可能取值为0,1,2，因为η＝ξ1＋ξ2，所以随机变量η的所有可能取值为0,1,2,3,4.因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3，乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4，所以
P(η＝0)＝＝；
P(η＝1)＝＝；
P(η＝2)＝＝；
P(η＝3)＝＝；
P(η＝4)＝＝；
所以η的分布列为
E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
题型3 概率与线性回归的综合问题
例3 (2019·湖南模拟)某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现负责老师统计了连续5天售出矿泉水的箱数和捐款箱中的收入情况，列表如下：
学校计划将所得的捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：综合考核前20名的特困生获一等奖学金500元；综合考核21～50名的特困生获二等奖学金300元；综合考核50名以后的特困生不获得奖学金．(1)若x与y成线性相关，则某天售出9箱矿泉水时，预计捐款箱中的收入为多少元？
(2)甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为，已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲、乙两名学生所获得奖学金之和X的分布列及数学期望．
附：回归方程＝x＋，其中＝，＝－.
解 (1)由表得＝×(7＋6＋6＋5＋6)＝6，＝×(165＋142＋148＋125＋150)＝146，
＝
＝＝20，
＝－＝146－20×6＝26，
所以线性回归方程为＝20x＋26，当x＝9时，＝20×9＋26＝206，所以y的估计值为206元．
(2)由题意得，X的可能取值为0,300,500,600,800,1000，则
P(X＝0)＝×＝；
P(X＝300)＝2××＝；
P(X＝500)＝2××＝；
P(X＝600)＝×＝；
P(X＝800)＝2××＝；
P(X＝1000)＝×＝.
则X的分布列为
所以E(X)＝0×＋300×＋500×＋600×＋800×＋1000×＝600.
[冲关策略] 本题主要考查概率与回归方程等知识，考查学生的数据处理能力和应用意识，注意分析数据，定型求解，正确计算是关键．
变式训练3 据某市地产数据研究院的数据显示，2018年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．
(1)地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y(万元/平方米)与月份x之间具有较强的线性相关关系，试建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01)，政府若不调控，依据相关关系预测12月份该市新建住宅销售均价；
(2)地产数据研究院在2018年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为x，求x的分布列和数学期望．
参考数据：xi＝25，yi＝5.36， (xi－)(yi－)＝0.64.
回归方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－.
解 (1)由题意
计算可得：＝5，＝1.072， (xi－)2＝10，
∴＝＝0.064，＝－＝0.752，
∴从3月到7月，y关于x的回归方程为y＝0.06x＋0.75，
当x＝12时，代入回归方程得y＝1.47.即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米．
(2)X的取值为1,2,3，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)＝，
X的分布列为
E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
题型4 概率与独立性检验的综合问题
例4 (2019·云南模拟)为了解当代中学生喜欢文科、理科的情况，某中学一课外活动小组在学校高一年级文、理分科时进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数据按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科意向”学生，低于60分的称为“理科意向”学生．
(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关？
(2)将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科意向”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望E(ξ)和方差D(ξ)．
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考临界值：
解 (1)由频率分布直方图可得分数在[60,80)之间的学生人数为0.0125×20×200＝50，在[80,100]之间的学生人数为0.0075×20×200＝30，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为
又K2＝≈16.498>6.635，
所以有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关．
(2)易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科意向”的概率为P＝＝.
依题意知ξ～B，
所以P(ξ＝i)＝Ci3－i(i＝0,1,2,3)，
所以ξ的分布列为
所以期望E(ξ)＝np＝，方差D(ξ)＝np(1－p)＝.
[冲关策略] 此类题目虽然涉及的知识点较多，但每个知识点考查程度相对较浅，考查深度有限，所以解决此类问题，最主要的是正确掌握概率与统计案例的基本知识，并能对这些知识点进行有效的融合，把统计图表中的量转化为概率及分布列求解中的有用的量是解决此类问题的关键所在．
变式训练4 微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是由腾讯开发的一个类似计步数据库的微信公众号．手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞．现从小明的微信好友中随机选取40人(男、女各20人)，记录他们某一天行走的步数，并将数据整理如下表：
(1)若某人一天行走的步数超过8000步被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”，根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
(2)在小明这40位好友中，从该天行走的步数超过10000步的人中随机抽取3人，设抽取的女性有X人，求X的分布列及数学期望E(X)．
附：K2＝，
解 (1)2×2列联表如下：
∴K2＝≈2.506<2.706，
∴没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关．
(2)由已知得，小明这40位好友中，该天行走的步数超过10000步的人中男性有6人，女性有2人，现从中抽取3人，抽取的女性人数X服从超几何分布，
X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列如下：
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
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高考大题冲关系列(6) 高考中概率、随机变量及分布列的热点题型
本课结束
