人教版高中数学必修四第1章三角函数1.1任意角和弧度制（教师版）【优能辅导含答案】

任意角和弧度制


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1.理解1弧度的角、弧度制的定义.?
2.掌握角度与弧度的换算公式
3.熟记特殊角的弧度数


(1)角的概念：
1 任意角
正角：按顺时针方向形成的角
负角：按逆时针方向形成的角
2 象限角
定义：角的顶在原点始边与x轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。
与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k为任意整数）
（1）在直角坐标系内讨论角：
注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与角终边相同的角的集合：
（3）区间角的表示：
①象限角：

象限角 象限角的集合表示
第一象限角的集合 Z
第二象限角的集合 Z
第三象限角的集合 Z
第四象限角的集合 Z

②写出图中所表示的区间角：
由的终边所在的象限， 来判断所在的象限，来判断所在的象限






(二)弧度制
1 弧度角的规定.
它的单位是rad 读作弧度
如图：?AOB=1rad
?AOC=2rad
周角=2?rad


定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。与圆的半径无关以弧度为单位来度量角的制度叫弧度制。

（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
（2）角?的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）
（3）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
弧度制与角度制的换算公式：弧度制=角度制*π/180o
角度制=弧度制*180o/π
2π=360o
弧度数α与弧长L与半径R的关系：L=Rα（可用来求弧长与半径）
（4）弧长公式：L=Rα；扇形面积公式：
弧长公式：，扇形面积公式：（初中）

2 弧度制与角度制的换算：
因为周角的弧度数是2，角度是360°，所以有



把上面的关系反过来写

之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 2

类型一：角的概念问题
1. 终边相同的角的表示
例1 若角是第三象限的角，则角的终边在第______象限.
答案：二.
解析：因为是第三象限的角，故Z，则Z，故的终边在第二象限.
练习：与角终边相同的角可表示为_____________.
【答案：Z）】
2. 象限角的表示
例2 已知角是第二象限角，问（1）角是第几象限的角？（2）角终边的位置.
思路：先根据已知条件得出角的范围，再通过讨论值来确定象限角.
解析：（1）因为是第二象限的角，故Z，故Z.当为偶数时，在第一象限；当为奇数时，在第三象限，故为第一或第三象限角.
（2）由Z，得
Z，故角终边在下半平面.
点评：已知所在象限，求N所在象限的问题，一般都要分几种情况进行讨论.
结论：
第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
第一、三象限 第一、三象限 第二、四象限 第二、四象限

类型二：弧度制与弧长公式
1.角度制与弧度制的互化
例3　把下列各角的度数化为弧度数：
⑴　　　⑵　　　⑶　　　⑷
　　解　因为，所以
　　⑴　
⑵　
⑶　
⑷　
练习：把下列各角的弧度数化为度数：
⑴　　　⑵　　　⑶　　　⑷
解　因为 ＝，所以
⑴　＝×＝；
⑵　＝；
⑶　＝×＝；
⑷　＝×＝．
例4 （1）设，用弧度制表示，并指出它所在的象限；
（2）设，用角度制表示，并在～内找出与它有相同终边的所有角.
导思：（1）角度与弧度应如何进行互化？（2）确定角为第几象限角的依据是什么？（3）怎样找终边相同的角？依据是什么？
解析：（1），故在第一象限.
（2），与它终边相同的角可表示为Z），由，得，故或，即在～范围内与有相同终边的所有角是和.
点评：角度与弧度进行互化，关键是对转化公式的理解和应用；判断一个角所在的象限，关键是在内找到与该角终边相同的角.
练习：（1）设，用弧度制表示，并指出它所在的象限；
（2）设，用角度制表示，并在～内找出与它有相同终边的所有角.
解析：（1），故在第二象限.
（2），故在～范围内与有相同终边的角是.
2.求弧长与扇形面积
例5 已知一扇形中心角为，所在圆半径为.
（1）若，cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；
（2）若扇形的周长为一定值，当为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值.
导思：（1）扇形的弧长公式是什么？（2）怎样由扇形面积来求弓形的面积？（3）如何用扇形的周长表示扇形面积？（4）怎样求最大值？能用二次函数来求吗？能用基本不等式来求吗？
解析：（1）设弧长为，弓形面积为，则cm，
故cm2.
（2）解法一：由扇形周长，得，
故.
当时，有最大值且最大值为.此时，
故.故当时，该扇形有最大面积.
解法二：由扇形周长，得，
故，
当且仅当，即时，扇形面积最大为.
点评：在应用扇形弧长和面积公式时，如果圆心角用角度表示，则应先化为弧度；注意不要把弓形面积与扇形面积相混淆.
练习：设扇形的周长为cm，面积为cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________.
解：，即，解得，故，从而.

1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）
A．30° B．-30° C．630° D．-630°
答案：B
2、－1120°角所在象限是 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案：D
3、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是 （ ）
A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360°
答案：D
4、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．
答案：
5、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ）
A．｛α∣90°<α<180°｝
B．｛α∣90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝
C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝
D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝
答案：D
6、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C
答案：B
7、下列结论正确的是（ ）
Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B．第一象限的角必是锐角
C．不相等的角终边一定不同
D．=
答案：D
8、若是第四象限的角，则是 ．
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
答案：C
9、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．
答案：与；
10、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．
答案：


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基础巩固
一、选择题
1．已知α＝－3，则角α 的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案]　C
[解析]　1rad＝()°，则α＝－3rad＝－()°≈－171.9°，∴α是第三象限角．
2．与－终边相同的角的集合是(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　D
[解析]　与－终边相同的角α＝2kπ－，k∈Z，
∴α＝(2k－6)π＋6π－
＝(2k－6)π＋，(k∈Z)．
3．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B＝(　　)
A．?
B．{α|0≤α≤π|
C．{α|－4≤α≤4|
D．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}
[答案]　D
[解析]　k≤－2或k≥1时A∩B＝?；k＝－1时A∩B＝[－4，－π]；k＝0时，A∩B＝[0，π]；故A∩B＝[－4，－π]∪[0，π]．故选D.
4．一条弧所对的圆心角是2rad，它所对的弦长为2，则这条弧的长是(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　C
[解析]　所在圆的半径为r＝，弧长为2×＝.
5．某扇形的面积为1cm2，它的周长为4 cm，那么该扇形的圆心角等于(　　)
A．2° B．2
C．4° D．4
[答案]　B
[解析]　设扇形的半径为r，弧长为l，由题意得，
解得.
∴该扇形圆心角α＝＝2(rad)，
故选B.
6．如图中，圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是(　　)

A． B．
C． D．
[答案]　A
[解析]　40°＝40×＝，30°＝30×＝，
∴S＝r2·＋r2·＝.
二、填空题
7．若两个角的差是1°，它们的和是1弧度，则这两个角的弧度数分别是__________．
[答案]　、
[解析]　设两角为α、β则，∴α＝、β＝.
8．正n边形的一个内角的弧度数等于__________．
[答案]　π
[解析]　∵正n边形的内角和为(n－2)π，
∴一个内角的弧度数是.
三、解答题
9．已知α1＝－570°、α2＝750°，β1＝，β2＝－.
(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在象限；
(2)将β1、β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与β1、β2有相同终边的角．
[解析]　(1)∵－570°＝－＝－
＝－4π＋，
∴－570°与终边相同，在第二象限，
∴α1在第二象限．
∵750°＝＝＝4π＋，
∴750°与终边相同，在第一象限，
∴α2在第一象限．
(2)∵β1＝＝(×180)°＝108°，与其终边相同的角为108°＋k·360°，k∈Z，
∴在－720°～0°范围内与β1有相同终边的角是－612°和－252°.
同理，β2＝－420°且在－720°～0°范围内与β2有相同终边的角是－60°.

能力提升

一、选择题
1．扇形的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是 ____弧度．(　　)
A．π B．
C． D．
[答案]　C
[解析]　∵圆心角所对的弦长等于半径，
∴该圆心角所在的三角形为正三角形，
∴圆心角是弧度．
2．在直角坐标系中，若角α与角β终边关于原点对称，则必有(　　)
A．α＝－β B．α＝－2kπ±β(k∈Z)
C．α＝π＋β D．α＝2kπ＋π＋β(k∈Z)
[答案]　D
[解析]　将α旋转π的奇数倍得β.
3．在半径为3cm的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为(　　)
A．cm B．πcm
C．cm D．cm
[答案]　B
[解析]　由弧长公式得，l＝|α|R＝×3＝π(cm)．
4．下列各组角中，终边相同的角是(　　)
A．(2k＋1)π与(4k±1)π，k∈Z B．与kπ＋，k∈Z
C．kπ＋与2kπ±，k∈Z D．kπ±与，k∈Z
[答案]　A
[解析]　2k＋1与4k±1都表示的是奇数，故选A.
二、填空题
5．把－写成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是________．
[答案]　－
[解析]　－＝－－2π＝－4π，
∴使|θ|最小的θ的值是－.
6．用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为________.
[答案]　{θ|－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z}
[解析]　y轴对应的角可用－，表示，所以y轴右侧角的集合为{θ|－＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z}．
三、解答题
7．x正半轴上一点A绕原点依逆时针方向做匀速圆周运动，已知点A每分钟转过θ角(0<θ≤π)，经过2min到达第三象限，经过14min回到原来的位置，那么θ是多少弧度？
[解析]　因为0<θ≤π，所以0<2θ≤2π.
又因为2θ在第三象限，所以π<2θ<.
因为14θ＝2kπ，k∈Z，所以2θ＝，k∈Z.
当k分别取4、5时，2θ分别为、，它们都在内．
因此θ＝rad或θ＝rad.
8．设集合A＝{α|α＝kπ，k∈Z}，B＝{β|β＝kπ，|k|≤10，k∈Z}，求与A∩B的角终边相同的角的集合．
[解析]　设α0∈A∩B，则α0∈A且α0∈B，
所以α0＝k1π，α0＝k2π，所以k1π＝k2π，
即k1＝k2.
因为|k2|≤10，k2∈Z，且k1∈Z，所以k1＝0，±10.
因此A∩B＝{0，－15π，15π}，故与A∩B的角的终边相同的角的集合为{γ|γ＝2kπ或γ＝(2k＋1)π，k∈Z}＝{γ|γ＝nπ，n∈Z}．
9．已知扇形AOB的周长为8cm.
(1)若这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的弧度数和弦长AB.
[解析]　(1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为x(cm)，
依题意有，解得θ＝或6，
即圆心角的大小为弧度或6弧度．
(2)由于扇形的圆心角θ＝，
于是扇形面积S＝x2·＝4x－x2＝－(x－2)2＋4.
故当x＝2cm时，S取到最大值．
此时圆心角θ＝＝2(弧度)，弦长AB＝2·2sin1＝4sin1(cm)．
即扇形的面积取得最大值时圆心角为2弧度，弦长AB为4sin1cm.
备选题目：
1.某蒸汽机上的飞轮直径为，每分钟按顺时针方向旋转转，则飞轮每秒钟转过的弧度数是_________；轮周上的一点每秒钟经过的弧长为_________.
答案： ，
2 . 已知，且，，则角的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：D
3. 下列各角中，与角终边相同的角是
（A） （B）
（C） （D）
答案：C
4. 已知，与角终边相同的角是
（A） （B） （C） （D）
答案：D
5. 若 ，且 ，则角是
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
答案：B
6 .如图，现要在一块半径为圆心角为的扇形金属板上，剪出一个平行四边形，使点在弧上，点在上，点在上，记的面积为，则的最大值为
A. B.
C. D.
答案：D

7 .若，且，则的取值范围是_．
答案：
8 ．已知是圆上两点,弧度,,则劣弧长度是__ ____.
答案：4



o

r

C

2rad

1rad

r

l=2r

o

A

A

B



10