人教版高中数学必修四第1章三角函数1.3三角函数的诱导公式（教师版）【优能辅导含答案】

三角函数的诱导公式


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1.理解四组诱导公式及其探究思路
2.学会利用四组诱导公式求解任意角的三角函数值，会进行简单
的化简与证明。



（一）诱导公式
诱导公式一:

（其中）




诱导公式二：

（其中）






诱导公式三:

（其中）





诱导公式四：

（其中）

作用：实现正弦（切）函数和余弦（切）函数的互化。
口决：奇变偶不变，符号看象限．


类型一：利用诱导公式求值
例1 (直接应用) 求下列各三角函数值
（1）； （2）.
解：（1）原式.
（2）原式
.
点评：对于负角的三角函数求值，可先用诱导公式化为正角的三角函数.若转化得到的正角大于，则再利用诱导公式化为范围内的角的三角函数；若这时的角是范围内的角，再利用有关的诱导公式化为范围内的角的三角函数.口诀：负化正，大化小，化到锐角再求值.
练习：求的值. （答案：）
例2 (变式应用) 求的值
思路：负角三角函数正角三角函数～角三角函数锐角三角函数求值.
解：原式

点评：解决这类问题要注意观察角的特点，然后把角化为，，等形式，最后再利用诱导公式求解.
练习：求. （答案：）
提示：按口诀：“负化正，大化小，化到锐角再求值”进行求值即可.
例3 (综合应用) 已知，且为第四象限角，求的值.
导思：（1）角与角有什么关系？
（2）与有什么关系？
（3）已知如何求？应注意什么问题？
解：由题意知为第三象限角，故
，故.
点评：本题主要考查诱导公式的灵活运用和同角三角函数的基本关系.本题的易错点是开平方运算中的符号问题，即的范围的确定，应注意到已知条件中的隐含信息.
练习：若，且为第三象限角，求的值.
（答案：）

类型二：利用诱导公式化简三角函数式
例3(直接应用) 化简.
解：原式.
练习：化简：； （答案：）

例4 (变式应用) 求值.
解：当为奇数时，原式
.
当为偶数时，原式
.
点评：因为诱导公式对于加的奇数倍和偶数倍是不同的，故用诱导公式求值时，若遇到的整数倍，必须对整数分奇数和偶数进行讨论.
例5 (综合应用) 已知为第三象限角，且.
（1）化简；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值.
导思：（1）负角的三角函数如何化简？
（2）与、有关的三角函数名称变不变？符号又该如何确定？
解：（1）由题意.
（2）用诱导公式化简，得，故由题意得，
故，故.
（3）因，故
.

一、选择题
1．已知sin(α－)＝，则cos的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
[答案]　B
[解析]　∵sin＝
∴cos＝cos
＝－sin＝－，
故选B.
2．已知sin110°＝a，则cos20°的值为(　　)
A．a B．－a
C． D．－
[答案]　A
[解析]　sin110°＝sin(90°＋20°)＝cos20°＝a.
3．已知点P(sin(π＋θ)，sin(－θ))在第三象限，则角θ所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案]　A
[解析]　sin(π＋θ)＝－sinθ，
sin(－θ)＝sin[π＋(－θ)]
＝－sin(－θ)＝－cosθ，
∵点P在第三象限，∴－sinθ<0，－cosθ<0，∴sinθ>0，cosθ>0，
∴θ是第一象限角．
4．已知tanθ＝2，则＝(　　)
A．2 B．－2
C．0 D．
[答案]　B
[解析]　原式＝＝
∵tanθ＝2，∴原式＝＝－2，故选B.
5．化简··＋sin(－θ)的结果为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．
[答案]　A
[解析]　原式＝··－sinθ
＝cosθ·(－tan2θ)(－cotθ)－sinθ＝sinθ－sinθ＝0.
6．计算sin·cos·tan的值是(　　)
A．－ B．
C．－ D．
[答案]　A
[解析]　sin·cos·tan
＝sin(π＋)·cos(4π＋)·tan(π＋)
＝－sin·cos·tan
＝－××1＝－.
二、填空题
7．化简tan1°·tan2°·tan3°·…·tan89°＝________.
[答案]　1
[解析]　∵tank°·tan(90°－k°)＝tank°·cotk°＝1，
∴tan1°·tan2°…tan89°＝(tan1°·tan89°)(tan2°·tan88°)…(tan44°·tan46°)·tan45°＝1.
8．设φ(x)＝sin2＋cos2＋cot(19π－x)，则φ＝________.
[答案]　1－
[解析]　∵φ(x)＝cos2x＋sin2x＋cot(－x)＝1－cotx，
∴φ＝1－cot＝1－.
三、解答题
9．已知角α终边上一点P(－4,3)，
求的值．
[解析]　
＝
＝
＝＝tanα，
由题意得tanα＝－.
∴＝－.



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基础巩固
一、选择题
1． sin600°＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
[答案]　C
[解析]　sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240°
＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－.
2．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
[答案]　B
[解析]　由题意，知cosθ＝＝，
∴cos(π－θ)＝－cosθ＝－.
3．设A、B、C是一个三角形的三个内角，则在①sin(A＋B)－sinC；②cos(A＋B)＋cosC；③tan(A＋B)＋tanC；④cot(A＋B)－cotC(C≠)，这四个式子中值为常数的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案]　C
[解析]　∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.
∴sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC，
cot(A＋B)＝cot(π－C)＝－cotC，故选C.
原题四个式子中①②③式为常数．
4．下列各三角函数值：
①sin1 125°；
②tan·sin；
③；
④sin1－cos1.
其中为负值的个数是(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案]　B
[解析]　1 125°＝1 080°＋45°，则1 125°是第一象限的角，所以sin1 125°>0；因＝2π＋π，则π是第三象限角，所以tanπ>0，sinπ<0，故tanπ·sinπ<0；因3弧度的角在第二象限，则sin3>0.tan3<0，故<0；因<1<，则sin1－cos1>0.∴②③为负数．因此选B.
5．化简的结果是(　　)
A．sin3－cos3 B．cos3－sin3
C．±(sin3－cos3) D．以上都不对
[答案]　A
[解析]　
＝
＝＝|cos3－sin3|.
∵<3<π，∴sin3>0>cos3.
∴原式＝sin3－cos3.
6．记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝(　　)
A． B．－
C． D．－
[答案]　B
[解析]　解法一：∵cos(－80°)＝k，∴cos80°＝k，∴sin80°＝，
∴tan80°＝，∴tan100°＝－tan80°＝－.
解法二：由cos(－80°)＝k，得cos80°＝k>0，∴0又sin280°＋cos280°＝1，∴tan280°＋1＝.
∴tan280°＝－1＝.∴tan80°＝.
∴tan100°＝－tan80°＝－.
二、填空题
7．已知cos(π＋α)＝－，则tan(α－9π)＝________.
[答案]　±
[解析]　cos(π＋α)＝－cosα＝－，
cosα＝，∴tanα＝±，
tan(α－9π)＝－tan(9π－α)
＝－tan(π－α)＝tanα＝±.
8．已知角α的终边上一点P(3a,4a)，a<0，则cos(540°－α)＝________.
[答案]　
[解析]　cosα＝＝＝－，
cos(540°－α)＝cos(180°－α)＝－cosα＝.
三、解答题
9．求下列三角函数式的值：
(1)sin(－840°)cos1 470°－cos(－420°)sin(－930°)；
(2)sin(－60°)＋cos225°＋tan135°.
[解析]　(1)sin(－840°)·cos1470°－cos(－420°)sin(－930°)
＝－sin840°cos1 470°＋cos420°sin930°
＝－sin(2×360°＋120°)cos(4×360°＋30°)＋cos(360°＋60°)sin(2×360°＋210°)
＝－sin120°cos30°＋cos60°sin210°
＝－sin(180°－60°)cos30°＋cos60°sin(180°＋30°)＝－sin60°cos30°－cos60°sin30°
＝－×－×＝－1.
(2)原式＝－sin60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°)
＝－－cos45°－tan45°
＝－－－1
＝－.
能力提升

一、选择题
1．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于(　　)
A． B．
C． D．－
[答案]　A
[解析]　sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，
∴sinα＋cosα＝m，
而sin(180°＋α)·cos(180°－α)
＝(－sinα)·(－cosα)＝sinαcosα
＝＝.
2．若tan(7π＋α)＝a，则的值为(　　)
A． B．
C．－1 D．1
[答案]　B
[解析]　tan(7π＋α)＝tanα＝a，
原式＝＝
＝＝ .
3．化简(n∈Z)得到的结果是(　　)
A．0 B．－2secα
C．2cscα D．2secα
[答案]　B
[解析]　原式＝＝－2secα.
4．已知sin(π－α)＝log8，且α∈，则tan(2π－α)的值为(　　)
A．－ B．
C．± D．
[答案]　B
[解析]　∵log8＝log232－2＝－，∴sinα＝－，
又∵α∈，∴cosα＝＝.
∴tanα＝－，∴tan(2π－α)＝－tanα＝.
二、填空题
5．sin＋2sin＋3sin等于________．
[答案]　0
[解析]　原式＝－sin＋2sin＋3sin
＝－sin－2sin＋3sin＝0.
6．求值：＝________.
[答案]　
[解析]　原式＝
＝
＝
＝＝.
三、解答题
7．已知tan(π＋α)＝－，求下列各式的值．
(1)；
(2)sin(α－7π)·cos(α＋5π)．
[解析]　tan(π＋α)＝－?tanα＝－，
(1)原式＝＝
＝＝－.
(2)原式＝－sinα·(－cosα)
＝sinα·cosα＝＝
＝＝－.
8．化简：.
[解析]　原式＝
＝
＝
＝·＝1.
9．已知cos(75°＋α)＝，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．
[解析]　∵cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]
＝－cos(75°＋α)＝－，
sin(α－105°)＝－sin[180°－(75°＋α)]
＝－sin(75°＋α)，
∵cos(75°＋α)＝>0，
又∵α为第三象限角，∴α＋75°为第四象限角，
∴sin(75°＋α)＝－
＝－＝－，
∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)
＝－＋＝.
备选题目：
1.
A． B． C． D．
答案：A
2. 的值等于
A. B. C. D.
答案：C
3.已知，且，则=
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
答案：A
4. =
A. B. C. D.
答案：D
5. 已知，是第一象限角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
6. 已知，且为第二象限的角，则 .
答案：
7. 已知，则的值是 ．
答案：





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