人教版高中数学必修四第2章平面向量2.1-2.2平面向量的概念及线性运算（教师版）【优能辅导含答案】

平面向量的基本概念与线性运算


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1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；
2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．
3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.






*创设情境 兴趣导入
如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？

图7－1
平面向量的概念：
1、平面向量：在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．
平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作．



图7－2
向量的模长：向量的大小叫做向量的模．向量a, 的模依次记作，．
3、 零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．
4、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．
5、 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．
规定：0与任一向量平行．
6、 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
7、相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．
平面向量的基本运算：
一般地，a＋b叫做a, b的一个线性组合（其中,均为系数）．如果l ＝a＋ b，则称l可以用a，b线性表示．
向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．
三角形法则：
位移叫做位移与位移的和，记作=+．

一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A(如图7－6)，依次作=a, =b，则向量叫做向量a与向量b的和，记作a＋b ，即
a＋b =＋= （7．1）
求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．
2、平行四边形法则：如图7－9所示， ABCD为平行四边形，由于=，根据三角形法则得

＋=＋=

这说明，在平行四边形ABCD中， 所表示的向量就是与的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：
（1）a＋0 = 0＋a = a； a＋（?a）= 0；
（2）a＋b=b＋a；
（3）（a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
3、平面向量减法法则：
与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即
a ?b = a＋(?b)．
设a，b ，则
．
即 = （7．2）
观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、 b，其差a－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点．

一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为
（7．3）
若0，则当＞0时，a的方向与a的方向相同，当＜0时，a的方向与a的方向相反．
由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当时，有
（7．4）
一般地，有
0a= 0, 0 = 0 ．　　　　
数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a, b及任意实数，向量数乘运算满足如下的法则：






题型1　平面向量的基本概念
例1　给出下列六个命题：
① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
② 若|a|＝|b|，则a＝b；
③ 若＝，则A、B、C、D四点构成平行四边形；
④ 在?ABCD中，一定有＝；
⑤ 若m＝n，n＝p，则m＝p；
⑥ 若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中错误的命题有________．(填序号)
答案：①②③⑥
解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a、b不一定相等，故②不正确；＝，可能有A、B、C、D在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a∥b，b∥c时，若b＝0，则a与c不一定平行，故⑥不正确．
例2 在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．
（1）找出与向量相等的向量；
（2）找出向量的负向量；
（3）找出与向量平行的向量．
分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．
解 由平行四边形的性质，得
（1）=；
（2）=,；
（3）//,//，//．
练习：
1． 如图，ABC中，D、E、F分别是三边的中点，试写出
（1）与相等的向量；（2）与共线的向量．

2．如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出
（1）与相等的向量； （2）的负向量； （3）与
题型2　向量的线性表示
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h，求该船的实际航行速度．
解 如图7－10所示，表示船速，为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，是船的实际航行速度，显然
==13．
又，利用计算器求得?[1]?．
即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约．
*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k，两条绳子与垂线的夹角为，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力与的大小．
分析 由于两条同样的绳子与竖直垂线所成的角都是，所以．解决问题不考虑其它因素，只考虑受力的平衡，所以.
解 利用平行四边形法则，可以得到
，
所以
．
练习：
如图，已知a，b，求a＋b．
2．填空（向量如图所示）：
（1）a＋b =_____________ ,答案：
（2）b＋c =_____________ ,答案：
（3）a＋b＋c =_____________ ．答案：
3．计算：
（1）＋＋； （2）＋＋．
答案：（1）（2）
例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a－b．

解 如图7－14（2）所示，以平面上任一点O为起点，作=a，=b，连接BA，则向量为所求的差向量，即= a－b ．
练习：
1．填空：（1）=_______________，答案：
（2）=______________，答案：
（3）=______________．答案：

2．如图，在平行四边形ABCD中，设= a,= b，试用a, b表示向量、、．
解：a+b，=b-a,=a－b
例6 在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图7－16，＝a ，＝b，试用a, b表示向量、．
分析 因为,，所以需要首先分别求出向量与.
解 ：＝a＋b,＝b ?a，
因为O分别为AC，BD的中点，所以
（a＋b）＝a＋b，
＝＝（b ?a）＝?a+b．
练习：
1． 计算：（1）3（a ?2 b）－2（2 a＋b）；
（2）3 a ?2（3 a ?4 b）＋3（a ?b）．
解：（1）3（a ?2 b）－2（2 a＋b）=3a -6b-4a-2b=4 b-a
（2）3 a ?2（3 a ?4 b）＋3（a ?b）=-11b
2．设a, b不共线，求作有向线段，使＝（a＋b）．
解：如图所示。

例7　平行四边形OADB的对角线交点为C，＝，＝，＝a，＝b，用a、b表示、、.

解：＝a－b，＝＝a－b，＝＋＝a＋b.＝a＋b，＝＋＝＋＝＝a＋b.＝－＝a－b.
练习：
练习：在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，试用a，b表示.

解：＝＋＝＋λ＝＋(＋)＝＋(－)＝(1－λ)＋＝(1－λ)a＋b.
又＝＋＝＋m＝＋(＋)
＝(1－m)＋＝a＋(1－m)b，
∴ 解得λ＝m＝，
∴ ＝a＋b.
题型3　共线向量
例8　设两个非零向量a与b不共线．
(1) 若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；
(2) 试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
(1) 证明：∵ ＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴ ＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5.
∴ ，共线．
又它们有公共点B，∴ A、B、D三点共线．
(2) 解：∵ ka＋b与a＋kb共线，
∴ 存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a、b是两不共线的非零向量，
∴ k－λ＝λk－1＝0.
∴ k2－1＝0.∴ k＝±1.
练习：
已知a、b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ、μ∈R)，当A、B、C三点共线时λ、μ满足的条件为________．
答案：λμ＝1
解析：由＝λa＋b，＝a＋μb(λ、μ∈R)及A、B、C三点共线得＝t，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1.
题型4　向量共线的应用
例4　如图所示，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．

答案：

解析：如图所示，设M是AC的中点，则
＋＝2.
又＋＝－2，
∴ ＝－，
即O是BM的中点，
∴ S△AOB＝S△AOM＝S△AOC，
即＝.
练习：
如图，△ABC中，在AC上取一点N，使AN＝AC；在AB上取一点M，使得AM＝AB；在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN；在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值．

解：∵＝－＝(－)
＝(＋)＝，
＝－＝＋λ，
又∵＝，∴＋λ＝，
即λ＝，∴λ＝.

一、选择题
1．在下列判断中，正确的是(　　)
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
A．①②③ B．②③④
C．①②⑤ D．①③⑤
[答案]　D
[解析]　由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③、⑤正确，④不正确，所以答案是D.
2．向量(＋)＋(＋)＋等于(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　C
[解析]　原式＝＋＋＋＋＝＋0＝.
3．若a、b为非零向量，则下列说法中不正确的是(　　)
A．若向量a与b方向相反，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．若向量a与b方向相反，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与a的方向相同
D．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与b的方向相同
[答案]　B
[解析]　∵a与b方向相反，且|a|<|b|时，a＋b与a的方向相反，a＋b与b的方向相同，故B不正确．
4．已知下列各式：①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋.其中结果为零向量的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　C
[解析]　＋＋＝0，＋＋＋＝＋＋＋＝0，＋＋＋＝＋，故选C.
二、填空题
5．等腰梯形ABCD两腰上的向量与的关系是________．
[答案]　||＝||
[解析]　由等腰梯形可知，两腰长度相等，故两腰上的向量与满足||＝||.
6．如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，则＋＋＝________.

[答案]　
[解析]　＋＋＝＋＝.
三、解答题
7．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：

(1)分别写出，相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
[解析]　(1)＝，＝.
(2)与共线的向量为：，，.
(3)||＝||＝||＝||＝||＝||＝
||＝||.
(4)不相等．
8.梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，M、N分别是CD和AB的中点，若=a，=b，试用a、b表示和，则=________，=______.
解法一：连结CN，N为AB的中点.
∵AN∥CD，且AN=CD，
∴ANCD为平行四边形，有=－b.
又由于=0，∴=b－a，
－=a－b.
解法二：梯形ABCD中，有=0，
即有a＋＋（－a）＋（－b）=0，可得=b－a.
在四边形ADMN中，有=0，
即有b＋a＋＋（－a）=0，可得=a－b.
答案：b－a　a－b

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基础巩固
一、选择题
1．把平面上一切单位向量平移到共同始点，那么这些向量的终点构成的图形是(　　)
A．一条线段　　　　　　　　 B．一段圆弧
C．两个孤立的点 D．一个圆
[答案]　D
[解析]　图形是一个以始点为圆心，以1为半径的圆．
2．把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量的终点将落在(　　)
A．同一个圆上 B．同一个点上
C．同一条直线上 D．以上都有可能
[答案]　B
[解析]　由相等向量的定义知B正确．
4．有下列说法：
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④共线向量一定在同一直线上．
其中，正确说法的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　B
[解析]　对于①，时间没有方向，不是向量，故①错；对于②，零向量的模为0，故②错；③正确；对于④，共线向量不一定在同一直线上，故④错．
5．下列说法错误的是(　　)
A．作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量
B．向量可以用有向线段表示，但有向线段并不是向量
C．只有零向量的模等于0
D．零向量没有方向
[答案]　D
[解析]　零向量的方向是任意的，故选项D说法错误．
6．如图所示，圆O上有三点A、B、C，则向量、、是(　　)
A．有相同起点的相等向量
B．单位向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
[答案]　C
[解析]　模都等于半径，但方向不同．
9．a、b、a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则(　　)
A．a＝b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．以上都不对
[答案]　C
[解析]　由向量加法的平行四边形法则知，若a＋b平分a与b的夹角，则四边形是菱形，因此|a|＝|b|.
10．△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，则下面结论正确的是(　　)

A．＝＋ B．＋＝0
C．＋＋≠0 D．＋＋≠0
[答案]　D
[解析]　＝＋，又≠，故排除A；＝，故＋≠0，排除B；＋＋＝0，排除C；故选D.
12．在四边形ABCD中，＝＋，则四边形ABCD一定是(　　)
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．平行四边形
[答案]　D
[解析]　在四边形ABCD中，＝＋，
又＝＋，∴＝，
∴四边形ABCD是平行四边形．

二、填空题
12．若D、E、F分别是△ABC的三边AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量为________．
[答案]　、
[解析]　三角形的中位线平行且等于底边的一半，＝＝＝.
16．根据右图填空：
b＋c＝________；
a＋d＝________；
b＋c＋d＝________；
f＋e＝________；
e＋g＝________.
[答案]　a　f　f　b　δ
[解析]　由向量加法的多边形法则可知．

三、解答题
17．某人从A点出发，向东走到B点，然后，再向正北方向走了60m到达C点．已知||＝120m，求的方向和A、B的距离．
[解析]　依题意，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
||＝＝60(m)．
所以的方向是A点的东偏北30°，||＝60.

18．两个力F1和F2同时作用在一个物体上，其中F1＝40N，方向向东，F2＝40N，方向向北，求它们的合力．
[解析]　如图所示，表示F1，表示F2，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则表示合力F.
易知F＝80N，合力F与F1的夹角为60°.


能力提升
一、选择题
1．若a为任一非零向量，b为其单位向量，下列各式：
①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤＝b.
其中正确的是(　　)
A．①④⑤ B．③
C．①②③⑤ D．②③⑤
[答案]　D
[解析]　|a|与|b|大小关系不能确定，故①错，a与其单位向量平行②正确．a≠0，∴|a|>0，③正确．|b|＝1，故④错．由定义知⑤正确．
2．如图四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是(　　)

A．||＝|| B．与共线
C．＝ D．与共线
[答案]　C
[解析]　当ABCD与其他两个菱形不共面时，BD与EH异面，故选C.
3．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中错误的是(　　)

A．图中所标出的向量中与相等的向量只有1个(不含本身)
B．图中所标出的向量中与的模相等的向量有4个(不含本身)
C．的长度恰为长度的倍
D．与不共线
[答案]　D
[解析]　易知△ABC和△ACD均为正三角形．对于A，向量＝；
对于B，||＝||＝||＝||＝||；
对于C，△BAD是顶角为120°的等腰三角形，则||＝||；
对于D，∥成立，故D是错误的．
4．四边形ABCD中，若与是共线向量，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形 B．梯形
C．平行四边形或梯形 D．不是平行四边形也不是梯形
[答案]　C
[解析]　因为与为共线向量，所以∥，但||与||可能相等，也可能不相等．
1．已知向量a表示“向东航行1km”向量b表示“向南航行1km”则a＋b表示(　　)
A．向东南航行km B．向东南航行2km
C．向东北航行km D．向东北航行2km
[答案]　A
[解析]　如图所示，故选A.

2．在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列各式中不成立的是(　　)
A．a＋b＝c B．a＋d＝b
C．b＋d＝a D．|a＋b|＝|c|
[答案]　C
[解析]　如图，

a＋b＝c，|a＋b|＝|c|，a＋d＝b，b＋d≠a，故选C.
3．已知正方形ABCD的边长为1，＝a、＝b、＝c，则|a＋b＋c|等于(　　)
A．0 B．3
C． D．2
[答案]　D
[解析]　∵＋＝，∴|a＋b＋c|＝|2c|，
∵|c|＝，∴|a＋b＋c|＝2，故选D.
4．下列命题中正确的个数为(　　)
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a、b之一的方向相同；
②在△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；
④若a、b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案]　B
[解析]　①中a＋b有可能是0；
③中A、B、C共线时不成立；
④|a＋b|≤|a|＋|b|.只有②成立．
二、填空题
5．若||＝||，且＝，则四边形ABCD的形状为________．
[答案]　菱形
[解析]　∵四边形ABCD中，＝，∴AB∥CD，且||＝||，∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵||＝||，∴四边形ABCD为菱形．
6．已知A、B、C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
[答案]　0
[解析]　∵A、B、C是不共线的三点，∴向量与向量不共线，又向量m与平行，与共线，故m＝0.5．
已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________.
[答案]　3
[解析]　设以，为邻边的平行四边形为OADB，
∵∠AOB＝90°，∴四边形OADB为矩形，
∴OD＝3.即|a＋b|＝3.
6．已知在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，若||＝2，则|＋|＝________.
[答案]　2
[解析]　|＋|＝|＋|＝||＝2.

三、解答题
8．一位模型赛车手摇控一辆赛车，沿直线向正东方向前行1m，逆时针方向旋转α度，继续沿直线向前行进1m，再逆时针旋转α度，按此方法继续操作下去．
(1)按1?100的比例作图说明当α＝60°时，操作几次赛车的位移为零．
(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个．
[解析]　(1)如图所示，操作6次赛车的位移为零．

(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零；按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形，故有n(180°－α)＝(n－2)·180°，所以n＝(n为不小于3的整数)，即α应为360°的约数，如α＝30°，则n＝12，即操作12次可回到起点；又α＝15°，则n＝24，即操作24次可回到起点．
9．如图所示，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的点，已知＝，＝，试推断向量与是否为相等向量，说明你的理由．

[解析]　∵＝∴||＝||，从而D是AB的中点．
∵＝，∴与是平行向量，从而DF∥BE，即DF∥BC.∴F是AC的中点．
由三角形中位线定理知，DF＝BC，
又||＝||，即DF＝BE，
从而E为BC的中点．
于是DE∥AC，且DE＝AC.
∵F是AC的中点，∴AF＝AC，
∴DE綊AF，故＝.
7．如图所示，在△ABC中，P、Q、R分别为BC、CA、AB边的中点，求证＋＋＝0.

[解析]　解法一：＝＋，＝＋，＝＋.
又∵P、Q、R分别为BC、CA、AB的中点，
∴＝，＝，＝，
∴＋＋＝(＋＋)＋＋＋＝(＋＋)＝0.
解法二：＝(＋)，＝(＋)，＝(＋)，
∴＋＋＝(＋＋＋＋＋)＝0.
8．轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40n mile(海里)到达B处，再由B处沿正北方向行驶40n mile到达C处．求此时轮船关于A港的相对位置．
[解析]　如右图，、分别表示轮船的两次位移，则表示轮船的和位移，＝＋.
在△ADB中，∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，||＝40，
所以||＝20，||＝20.
在△ADC中，∠ADC＝90°，||＝60，
所以||＝
＝＝40(n mile)．
因为||＝2||，所以∠CAD＝60°.
答：轮船此时位于A港东偏北60°，且距A港40n mile的C处．
9．已知下图中电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力F1＝24N；绳BO与墙壁垂直，所受拉力F2＝12N.求F1和F2的合力．

[解析]　如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝.
在△OCA中，|F1|＝24，||＝12，∠OAC＝60°，
∴∠OCA＝90°.∴||＝12.
∴F1与F2的合力为12N，与F2成 90°角竖直向上．
教师备选题目：

1. 如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________．(用向量a和b表示)

答案：a＋b
解析：因为＝＋＝＋＝a＋b，
又＝2，所以＝＝＝a＋b.
2. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．

答案：2
解析：＋＝＝2，则λ＝2.
3. 设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝DC，若＝λ1＋λ2(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．
答案：
解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＝λ1＋λ2，故λ1＝－，λ2＝，则λ1＋λ2＝.
4. 已知点P在△ABC所在的平面内，若2＋3＋4＝3，则△PAB与△PBC的面积的比值为__________．
答案：
解析：由2＋3＋4＝3，得2＋4＝3＋3，∴ 2＋4＝3，即4＝5.
∴ ＝，＝＝.

1. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．
答案：2
解析：因为四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，所以＋＝，又O为AC的中点，所以＝2，所以＋＝2，因为＋＝λ，所以λ＝2.
2. 已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且＝x＋y，则x＋y＝________．
答案：1
解析：∵ A，B，C三点共线，∴ ＝λ，即－＝λ－λ，∴ ＝(1－λ)＋λ，即x＝1－λ，y＝λ，∴ x＋y＝1.
3. 设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．
答案：
解析：易知DE＝＋＝＋(－)＝－＋，所以λ1＋λ2＝.
4. 已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．
(1) 求＋＋；
(2) 若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.
(1) 解：因为＋＝2，又2＝－，所以＋＋＝－＋＝0.
(2) 证明：因为＝(a＋b)，且G是△ABO的重心，所以＝＝(a＋b)．由P、G、Q三点共线，得∥，所以有且只有一个实数λ，使＝λ.又＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b，＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b，所以a＋b＝
λ.
又a、b不共线，所以消去λ，整理得3mn＝
m＋n，故＋＝3.





a

A

B

图7－7

A

C

B

a

b

a+b

a

b

图7－9


A

D

C

B

a

A

a-b

B

b

O

图7－13

A

D

C

B

图7－5

O

F

A

D

B

E

C

（练习题1．1．1第2题图）

第1题图

E

F

A

B

C

D

O

（图1－8）

第2题图

A

B

D

C

图7－10



F1

F2

k



图7－11

（图1－15）

b

b

a

a

（1）

（2）

第1题图

B

b

O

a

A

b

a

（1）

（2）

图7－14

图7－16

图7－16



21



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