人教版高中数学必修四第2章平面向量2.4平面向量数量积（教师版）【优能辅导含答案】

平面向量的数量积


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1掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.
2平面向量数量积的应用.



一、平面向量数量积的物理背景及定义：
以物理学中的做功为背景引入
问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？
力做的功：W = |F|?|s|cos?，?是F与s的夹角






1、两个非零向量夹角的概念：
已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角
说明：
（1）当θ＝０时，与同向；
（2）当θ＝π时，与反向；
（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0?≤?≤180?

2、平面向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos?叫与的数量积，记作?，即有? = ||||cos?，（０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为0
3、两个向量的数量积的性质：
设、为两个非零向量，是与同向的单位向量
①? = ? =||cos?
②? ?? = 0
③ ? = ||2或
④cos? =
⑤|?| ≤ ||||
4、向量数量积满足的运算率：
①；
②；
③
向量数量积的坐标运算
1、已知两个向量，,则.
2、设，则.
3、平面内两点间的距离公式 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为
、，那么.
4、向量垂直的判定 两个非零向量，，则 .
5、两向量夹角的余弦 cos? = （）.
6、向量在轴上的正射影：
作图

定义：||cos?叫做向量在所在轴上的正射影
正射影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时正射影为正值；当?为钝角时正射影为负值；当?为直角时正射影为0；当? = 0?时正射影为||；当? = 180?时正射影为?||


类型一、平面向量数量积的运算：
例题1 已知下列命题:
①; ②; ③; ④
其中正确命题序号是 ②、④ .
点评: 掌握平面向量数量积的含义,平面数量积的运算律不同于实数的运算律.
例题2 已知; (2) ;(3) 的夹角为,分别求.
解(1)当 时, =或=.
(2)当时, =.
(3)当的夹角为时, =.
练习：已知,求
解:=
点评: 熟练应用平面向量数量积的定义式求值,注意两个向量夹角的确定及分类完整.
类型二、夹角问题：
例题3 (2005年北京)若,且,则向量与向量的夹角为 ( )
A. B. C. D.
解:依题意 故选C
练习：① 已知,求向量与向量的夹角.
② 已知,夹角为,则 .
解: ① ,故夹角为.
②依题意得.
练习:已知是两个非零向量,同时满足,求的夹角.
法一 解:将两边平方得 ,
则, 故的夹角.为.
法二: 数形结合
点评:注意两个向量夹角共起点,灵活应用两个向量夹角的两种求法.
类型三、向量模的问题
例题4 已知向量满足,且的夹角为,求.
解: ,且的夹角为
;
练习 :
①(2005年湖北)已知向量,若不超过5,则的取值范围 ( )
A. B. C. D.
②(2006年福建) 已知的夹角为,, ,则 等于( )
A 5 B. 4 C. 3 D. 1
解: ① , 故选C
②, ,解得,故选B
点评:涉及向量模的问题一般利用,注意两边平方是常用的方法.
类型四、平面向量数量积的综合应用
例题5已知向量.
若 ; (2)求的最大值 .
解:(1)若,则,.
(2) ==

,的最大值为.
例题6已知向量,且满足,
求证 ; (2)将与的数量积表示为关于的函数;
(3)求函数的最小值及取得最小值时向量与向量的夹角.
解:(1)
, 故
(2) ,

故.
(3) ,此时当最小值为.
,量与向量的夹角


一、选择题
1．若a·c＝b·c(c≠0)，则(　　)
A．a＝b
B．a≠b
C．|a|＝|b|
D．a在c方向上的正射影的数量与b在c方向上的正射影的数量必相等
[答案]　D
[解析]　∵a·c＝b·c，
∴|a|·|c|cos＝|b|·|c|cos，
即|a|cos＝|b|cos，故选D.
2．若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b的夹角等于(　　)
A．150° B．120°
C．60° D．30°
[答案]　B
[解析]　cosθ＝＝＝－.∴θ＝120°.
3．若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为(　　)
A．2 B．
C．2 D．4
[答案]　C
[解析]　a在b方向上的投影为|a|cos＝4×cos30°＝2.
4．|m|＝2，m·n＝8，＝60°，则|n|＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
[答案]　D
[解析]　∵＝cos，
∴＝，∴|n|＝8.
5．向量a的模为10，它与x轴的夹角为150°，则它在x轴上的投影为(　　)
A．－5 B．5
C．－5 D．5
[答案]　A
[解析]　a在x轴上的投影为|a|·cos150°＝－5.
6．若向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b·b＋a·b等于(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案]　C
[解析]　b·b＋a·b＝|b|2＋|a|·|b|cos＝4＋1＝5.
二、填空题
7．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝____.
[答案]　3
[解析]　a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2××cos30°
＝2××＝3.
8．若|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为135°，则a在b方向上的投影为________．
[答案]　－3
[解析]　∵|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为135°，
∴a在b方向上的投影为|a|cos135°＝6×(－)＝－3.
三、解答题
9．已知正六边形P1P2P3P4P5P6的边长为2，求下列向量的数量积．
(1)·；
(2)·；
(3)·；
(4)·.
[解析]　(1)∵<，P1P3>＝，||＝2.
∴·＝||·||cos
＝2×2×＝6.
(2)∵<，>＝，||＝4，
∴·＝2×4×cos＝4.
(3)∵<，>＝，
∴·＝0.
(4)∵<，>＝，
∴·＝2×2×cos＝－2.



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基础巩固
一、选择题
1．已知a＝(2,1)、b＝(1，－2)，则向量a与b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
[答案]　D
[解析]　由a·b＝2×1＋1×(－2)＝0，∴a⊥b.
2．已知点A(1,2)、B(2,3)、C(－2,5)，则·等于(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
[答案]　B
[解析]　＝(1,1)，＝(－3,3)，·＝1×(－3)＋1×3＝0.
3．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)、B(4,1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
[答案]　C
[解析]　＝(3，－1)，＝(－1，－3)，
·＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，
且||＝||＝.∴△ABC为等腰直角三角形．
4．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
[答案]　A
[解析]　∵a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，
∴λa＋b＝(－3λ－1,2λ)
a－2b＝(－3,2)－2(－1,0)＝(－1,2)，
由(λa＋b)⊥(a－2b)，
得4λ＋3λ＋1＝0，∴λ＝－.
5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝(　　)
A． B．
C．5 D．25
[答案]　C
[解析]　∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2
＝5＋20＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.
6． 已知向量a＝(k,3)、b＝(1,4)、c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝(　　)
A．－ B．0
C．3 D．
[答案]　C
[解析]　本题考查了平面向量的坐标运算与向量的垂直，因为2a－3b＝(2k－3，－6)，又因为(2a－3b)⊥c，所以，(2a－3b)·c＝0，即(2k－3，－6)·(2,1)＝0，∴4k－6－6＝0，解得k＝3，本题根据条件也可以转化为2a·c－3b·c＝0化简求解．
二、填空题
7． 已知向量a＝(－4,3)、b＝(－3,4)，b在a方向上的投影是________．
[答案]　
[解析]　b在a方向上的投影为|b|cos〈b，a〉＝＝＝.
8．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
[答案]　
[解析]　a＋c＝(3,3m)，∵(a＋c)⊥b，
∴(a＋c)·b＝0，即(3,3m)·(m＋1,1)＝0，
∴3(m＋1)＋3m＝0,6m＋3＝0，∴m＝－，
∴a＝(1，－1)，∴|a|＝.
三、解答题
9．已知A(2,3)、B(5,1)、C(9,7)、D(6,9)四点，试判断四边形ABCD的形状．
[解析]　∵＝(3，－2)，＝(3，－2)，∴＝.
又＝(4,6)，∴·＝3×4－2×6＝0，
∴⊥.∵||＝＝，||＝＝2，∴||≠||，
故四边形ABCD是矩形．
能力提升
一、选择题
1． 已知向量a＝(1，)、b＝(3，m)，若向量a、b的夹角为，则实数m＝(　　)
A．2 B．
C．0 D．－
[答案]　B
[解析]　本题考查向量的坐标运算及数量积．
a·b＝3＋m＝|a|·|b|·cos
＝2××.解得，m＝.
2．已知m＝(1,0)、n＝(1,1)，且m＋kn恰好与m垂直，则实数k的值为(　　)
A．1 B．－1
C．1或－1 D．以上都不对
[答案]　B
[解析]　m＋kn＝(1,0)＋k(1,1)＝(1＋k，k)，
∵m＋kn与m垂直，
∴(1＋k)×1＋k×0＝0，得k＝－1.
3．若向量a＝(1,2)、b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于(　　)
A．－ B．
C． D．
[答案]　C
[解析]　本题考查了向量的坐标运算．
∵a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，则cos<2a＋b，a－b>＝＝，∴?2a＋b，a－b?＝.
4．已知a＝(2,4)，则与a垂直的单位向量的坐标是(　　)
A．或
B．或
C．或
D．或
[答案]　D
[解析]　设与a垂直的单位向量的坐标是(x，y)，
则，解得，或.
二、填空题
5． 设向量a＝(3,3)、b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.
[答案]　±3
[解析]　因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.
6． 平面向量a＝(1,2)、b＝(4,2)、c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
[答案]　2
[解析]　本题考查了平面向量的坐标运算、数量积等基础知识c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，由题意有：＝
即：＝，代入得：
＝，解得m＝2.
三、解答题
7．设a＝(4，－3)、b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．
[解析]　a＋tb＝(4，－3)＋t(2,1)＝(4＋2t，t－3)，
(a＋tb)·b＝(4＋2t，t－3)·(2,1)＝5t＋5，
|a＋tb|＝＝，
由(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos45°，
得5t＋5＝，
即t2＋2t－3＝0，解得t＝－3或t＝1.
经检验知t＝－3不符合题意，舍去．所以t＝1.
8．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)分别确定λ的取值范围，使得：
(1)a与b夹角为90°；
(2)a与b夹角为钝角；
(3)a与b夹角为锐角．
[解析]　设＝θ，
(1)由a⊥b得λ＝－.
(2)cosθ＝，由cosθ<0且
cosθ≠－1得λ<－.
(3)由cosθ>0且cosθ≠1，得λ>－，且λ≠2.
9．已知a＝(3,4)、b＝(4,3)，求x、y的值使(xa＋yb)⊥a，且|xa＋yb|＝1.
[解析]　∵a＝(3,4)，b＝(4,3)，∴xa＋yb＝(3x＋4y,4x＋3y)．
又(xa＋yb)⊥a，∴(xa＋yb)·a＝0，
∴3(3x＋4y)＋4(4x＋3y)＝0，
即25x＋24y＝0， ①
又|xa＋yb|＝1，∴|xa＋yb|2＝1，
∴(3x＋4y)2＋(4x＋3y)2＝1.
整理得25x2＋48xy＋25y2＝1，
即x(25x＋24y)＋24xy＋25y2＝1. ②
由①②有24xy＋25y2＝1， ③
将①变形代入③可得y＝±.
当y＝时，x＝－，
当y＝－时，x＝.
所以或.




?

C



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