人教版高中数学必修四第3章三角恒等变换3.1两角和与差的正余弦及正切公式（教师版）【优能辅导含答案】

两角和与差的正余弦、正切公式
及二倍角公式



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1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.
2、灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.




一、 两角和的余弦公式： 的推导：
复习：两点间的距离公式：
设，
推导过程：
设角、角为任意角
如左图在平面直角坐标系中
作,
则
作单位圆，
设角、角的终边分别与单位圆交于点B，点C
再作



由三角函数定义知：
， , ， ，
由已知：;




展开并整理得:

上述公式称为两角和的余弦公式
记为
解：那么，
所以cos（α－β）
=cos==

二、两角和与差的正弦公式：
sin(α+β)=cos［-(α+β)］=cos［(-α)-β］=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ.
sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
3、两角和与差的正切公式：
当cos(α+β)≠0时，tan(α+β)=
如果cosαcosβ≠0,即cosα≠0且cosβ≠0时,分子、分母同除以cosαcosβ得
tan(α+β)=，据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用-β代之，则有
tan(α-β)=

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
tan(α+β)=tan(α-β)=
4、公式汇编：
1．两角和与差的三角函数
；
；
。
2．二倍角公式
；
；
。
3．三角函数式的化简
常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②三角公式的逆用；③切割化弦，异名化同名，异角化同角等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
（1）降幂公式
； ； 。
（2）辅助角公式
，
=公式的推导：

令，则，于是有：

其中由，和共同确定


类型一：正用公式
例1.已知: (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，求 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)的值.
【思路点拨】直接利用两角差的余弦公式.
【解析】由已知可求得 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??).
当 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)在第一象限而 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)在第二象限时，
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??) (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??) (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??).
当 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)在第一象限而 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)在第三象限时，
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??).
当 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)在第二象限而 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)在第二象限时，
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??).
当 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)在第二象限而 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)在第三象限时，
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??).
【点评】例1是对公式的正用．当三角函数值的符号无法确定时，注意分类讨论.
练习：
【变式1】已知 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)， (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，则 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??) .
【答案】 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??).
【变式2】已知 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，则 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??) .
【答案】 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
【变式3】已知 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)和 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)是方程 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)的两个根，求 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)的值.
【答案】 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
【解析】由韦达定理，得 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)， (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
∴ (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??).
【高清课堂：三角恒等变换397881 例1】
【变式4】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
(1) (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
(2) (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
(3) (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
(4) (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
(5) (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数
Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.
【解析】Ⅰ.选择(2)式计算如下 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
Ⅱ.证明: (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
例2．已知 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)， (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??), (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，求 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)的值.
【思路点拨】注意到 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，将 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)， (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)看做一个整体来运用公式.
【解析】 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??), (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
【点评】1、给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，例2中应用了 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)的变换 ，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??), (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??), (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??), (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)等.
2、已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.
练习：
【变式1】已知 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)， (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)是第二象限角，且 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，求 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)的值.
【答案】 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
【解析】由 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)且 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)是第二象限角，得 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
∵ (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
∴ (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??).
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
【变式2】函数 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)的最大值为（ ）
A． (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??) B． (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)　 C． (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??) D． (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
【答案】C；
【解析】∵ (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??).
所以其最大值为2，故选C.

【变式3】已知 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
【答案】 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
【解析】角的关系式： (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)（和差与倍半的综合关系）
∵ (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，∴ (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
∴ (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
∴ (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)＝ (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
【变式4】已知 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)， (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)， (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)， (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，求 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)的值。
【答案】 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
【解析】∵ (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)， ∴ (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
∵ (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)， ∴ (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)。
∴ (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)

类型二：逆用公式
例3.求值：
（1） (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)；
（2） (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)；
（3） (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)；
（4） (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??).
【思路点拨】逆用两角和（差）正（余）弦公式，正切公式.
【解析】
（1）原式= (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)；
（2）原式 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)；
（3）原式 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)；
（4）原式 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??).
【点评】
①把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”。
②辅助角公式： (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，其中角 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)在公式变形过程中自然确定.
练习：
【变式1】化简 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??).
【答案】 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
【变式2】已知 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，那么 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)的值为（ ）
A． (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??) B． (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)　 C． (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??) D． (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
【答案】A；
【解析】∵ (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
∴ (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??).
例4. 求值：
（1） (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)；（2） (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
【思路点拨】要使能利用公式化简，分子分母同乘以第一个角的正弦值.
【解析】
（1）原式= (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)；
（2）原式= (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
【点评】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的2倍；③最大角的2倍与最小角的和与差是?。三个条件缺一不可。另外需要注意2的个数。应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法。
练习：
【变式】求值：
（1） (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)；（2） (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??).
【答案】（1） (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)；（2） (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
【解析】
（1）原式= (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
= (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
= (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
（2） (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
类型三：变用公式
例5．求值：
（1） (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)；（2）
（2） (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
【思路点拨】通过正切公式 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，注意到 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)与 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)之间的联系.
【解析】
（1） (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)原式 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??).
（2） (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??).
【点评】本题是利用了两角和正切公式的变形，找出 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)与 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)三者间的关系，进行转化，即所谓“变用公式”解决问题；变用公式在一些解三角问题中起着重要作用，需灵活掌握.但它是以公式原型为基础，根据题目需要而采取的办法，如： (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)， (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??).
练习：
【变式1】求值： (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)= ．
【答案】1
【变式2】在 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)中， (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??), (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，试判断 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)的形状.
【答案】等腰三角形
【解析】由已知得
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??), (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??),
即 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)， (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)， (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??) (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
又 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??),故 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??),
故 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)是顶角为 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)的等腰三角形.
类型四：三角函数式的化简与求值

例6. 化简：
（1） (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)；(2） (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
【思路点拨】（1）中函数有正弦有正切，一般将切化弦处理；（2）中有平方，而且角度之间也有关系， (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，所以要用二倍角公式降次.
【解析】
（1）原式 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
= (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
（2）原式= (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
【点评】
①三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系。因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察。
②三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式： (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)， (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??).
练习：
【变式1】化简：
（1） (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)；（2） (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)； （3） (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
【答案】
（1）原式= (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)；
（2）原式= (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)；
（3）原式= (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??) (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??) (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
= (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??).
【变式2】若 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，且 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，则 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)___________.
【答案】由 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)， (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，得 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??).

例7．已知 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)， (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，且 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，求 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)的值.
【思路点拨】题设中给出是角的正切值，故考虑 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)正切值的计算，同时通过估算 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)的区间求出正确的值.
【解析】 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
而 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，故 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
又 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)， (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，故 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
从而 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
而 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)， (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，而 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
又 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
【点评】对给值求角问题，一般是通过求三角函数值实现的，先求出某一种三角函数值，再考虑角的范围，然后得出满足条件的角．本例就是给值求角，关键是估算 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)的区间，给值求角一定要将所求角限制在某个单值区间内，这是关键点也是难点．在本例中使用了配角技巧， (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)， (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，这些都要予以注意.
练习：
【变式1】已知 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)， (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)为锐角，则 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)的值是（ ）
A. (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??) B. (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??) C. (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)或 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??) D. (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)
【答案】A
【变式2】已知 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)， (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，求 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)。
【解析】∵ (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
(?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
解得 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??), (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??)，
∴ (?http:?/??/?www.ks5u.com?/??).



一、选择题
1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是(　　)
A．0 B．
C． D．－
[答案]　A
[解析]　cos75°cos15°－sin435°sin15°
＝cos75°cos15°－sin(360°＋75°)sin15°
＝cos75cos15°－sin75°sin15°
＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.
2．在△ABC中，若sinAsinBA．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
[答案]　D
[解析]　∵sinAsinB∴cosAcosB－sinAsinB>0，
∴cos(A＋B)>0，
∵A、B、C为三角形的内角，
∴A＋B为锐角，
∴C为钝角．
3．化简sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)的结果是(　　)
A．sin2x B．cos2y
C．－cos2x D．－cos2y
[答案]　B
[解析]　原式＝cos[(x＋y)－(x－y)]＝cos2y.
4．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于(　　)
A．0 B．
C． D．1
[答案]　D
[解析]　sin15°cos75°＋cos15°sin105°
＝sin15°cos(90°－15°)＋cos15°sin(90°＋15°)
＝sin15°sin15°＋cos15°cos15°
＝cos(15°－15°)＝cos0°＝1.
5．sin－cos的值是(　　)
A．0 B．－
C． D．2
[答案]　B
[解析]　原式＝－2
＝－2·
＝－2cos＝－2×＝－.
6．△ABC中，cosA＝，且cosB＝，则cosC等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
[答案]　B
[解析]　由cosA>0，cosB>0知A、B都是锐角，
∴sinA＝＝，sinB＝＝，
∴cosC＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)
＝－＝.
二、填空题
7．若cosα＝，α∈(0，)，则cos(α＋)＝________.
[答案]　
[解析]　∵cosα＝，α∈(0，)，
∴sinα＝.
∴cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝×－×＝.
8．已知cosx－cosy＝，sinx－siny＝，则cos(x－y)＝________.
[答案]　
[解析]　∵cosx－cosy＝，sinx－siny＝，
∴cos2x－2cosxcosy＋cos2y＝，
sin2x－2sinxsiny＋sin2y＝，
两式相加得2－2cos(x－y)＝，
∴cos(x－y)＝.
三、解答题
9．已知sinα＋sinβ＝sinγ，cosα＋cosβ＝cosγ.
求证：cos(α－γ)＝.
[解析]　sinα＋sinβ＝sinγ?sinα－sinγ＝－sinβ①
cosα＋cosβ＝cosγ?cosα－cosγ＝－cosβ②
①2＋②2得2－2(cosαcosγ＋sinαsinγ)＝1，
即得cos(α－γ)＝.


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基础巩固
1．若sin x＋cos x＝4－m，则实数m的取值范围是(　　)．
A．2≤m≤6 B.－6≤m≤6
C．2解析　∵sin x＋cos x＝2＝2＝2cos＝4－m，
∴cos＝，∴≤1，解得2≤m≤6.
答案　A
2.的值是(　　)．
A. B.
C. D.
解析　＝＝＝
＝＝.
答案　C
3． 若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为(　　)．
A. B.
C. D.
解析　∵0<α<β<，
∴－<α－β<0,0<2α<π，
∴由cos(α－β)＝，得sin (α－β)＝－，
由cos 2α＝，得sin 2α＝.
∴cos(α＋β)＝cos
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
＝×＋3×＝－.
又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
答案　C
4．cos 15°＋sin 15°＝________.
解析　cos 15°＋sin 15°
＝(cos 15°cos 45°＋sin 15°sin 45°)
＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝.
答案　
5． 若cos θ＝－，θ∈，则cos＝________.
解析　∵cos θ＝－，θ∈，
∴sin θ＝－，
∴cos＝cos θcos＋sin θsin
＝－×＋×＝－.
答案　－
6．已知α，β∈，sin＝－，sin＝，则cos＝________.
解析　∵α，β∈，
∴α＋β∈，β－∈，
又sin(α＋β)＝－，sin＝，
∴cos(α＋β)＝＝，
cos＝－ ＝－.
∴cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×＝－.
答案　－
7．已知：sin α＝，cos(α＋β)＝－，0<α<，π<α＋β<π，求cos β的值．
解　因为sin α＝，0<α<，所以cos α＝＝ ＝.因为cos(α＋β)＝－，π<α＋β<π，
所以sin(α＋β)＝－＝－＝－.所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝－1.

8． 若sin x＋cos x＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值为
(　　)．
A．－ B.－
C. D.
解析　sin x＋cos x＝cos xcos＋sin xsin＝cos，故φ的一个可能值为－.
答案　A
9．已知cos ＝，则cos α＋sin α的值为________．
解析　cos＝cos cos α＋sin sin α
＝cos α＋sin α
＝＝，
故cos α＋sin α＝.
答案　
10．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝，求cos(α－β)．
解　∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
∴a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．
∴|a－b|＝
＝
＝＝，
∴2－2cos(α－β)＝，
∴cos(α－β)＝.
能力提升
一、选择题
1. 已知，，则（ ）
Α. B. C. D. 答案：D ，
答案：D ，
2. 函数的最小正周期是（ ）
Α. B. C. D.
答案： D
3. 在△ΑBC中，，则△ABC为（ ）
Α. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定
答案： C 为钝角
4. 设，，,则大小关系（ ）
Α. B.
C. D.
答案： D ，，
5. 函数是（ ）
Α. 周期为的奇函数 B. 周期为的偶函数
C. 周期为的奇函数 D. 周期为的偶函数
答案： C ，为奇函数，
6. 已知，则的值为（ ）
Α. B. C. D.

答案： B

二、填空题

1. 求值：_____________.
答案：


2. 若则 .
答案：


3. 已知那么的值为 ,的值为 .
答案：
4. 的三个内角为、、，当为 时，取得最大值，且这个最大值为 .
答案：

当，即时，得


三、解答题

1. ① 已知求的值 (?http:?/??/?www.ks5u.com?/?search.asp?key=%B9%E3%B6%AB&?).
解：

.
②若求的取值范围.
解：令，则


2. 求值：

解：原式





3. 已知函数
①求取最大值时相应的的集合；
②该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到的图象.
解：
（1）当，即时，取得最大值
为所求






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