人教版高中数学必修四第3章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换（学生版）【优能辅导含答案】

简单的三角恒等变换


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1、会利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换；
2、能根据问题的条件进行公式变形，体会在变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法.





一、降幂公式：

1、公式推导：试以表示．
解析：我们可以通过二倍角和来做此题．（二倍角公式中以?代2?，代?）
解：因为，可以得到；
因为，可以得到．
两式相除可以得到．
点评：⑴以上结果还可以表示为：
[ww#w~.z%zst@ep^.com]
并称之为半角公式（不要求记忆），符号由角的象限决定.
⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明.
⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.
二、积化和差公式：

1、公式推导:（１）；
（２）．
证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
；．
两式相加得；
即；
（２）由（１）得①；设，
那么．[来&源~:*zzstep.co@m%]
把的值代入①式中得．




三、本章公式梳理：
?




令



?








例1 已知.








练习： 在锐角三角形ABC中,ABC是它的三个内角,记S=,求证:S<1.






例2 证明=tan(+).






练习：已知α,β∈(0,)且满足:3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值.



例3 求证:






练习：
1.求证:.







2.已知sinβ=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=tanα.






练习：
1.若sinα=,α在第二象限,则tan的值为( )
A.5 B.-5 C. D.
2.设5π<θ<6π,cos=α,则sin等于( )
A. B. C. D.
3.已知sinθ=,3π<θ<,则tan_________________.



例4 化简:.






例5 已知sinx-cosx=,求sin3x-cos3x的值.









练习： 已知sinθ+cosθ=,且≤θ≤,则cos2θ的值是______________.



一、选择题
1． （文）设函数f(x)＝cos2(x＋)－sin2(x＋)，x∈R，则函数f(x)是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
(理) 函数y＝sin2x＋sinxcosx的最小正周期T＝(　　)
A．2π B．π C. D.
2． 设向量a＝(cosα，)的模为，则cos2α＝(　　)
A．－ B．－ C. D.



3．已知tan＝3，则cosα＝(　　)
A. B．－ C. D．－
4．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则△ABC是(　　)
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．既非等腰又非直角的三角形
5． 函数f(x)＝2sin(x－)＋|cosx|的最小正周期为(　　)
A. B．π C．2π D．4π
6． 若sinx＋cosx＝，x∈(0，π)，则sinx－cosx的值为(　　)
A．± B．－ C. D.
7．(文)在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x，y的大小关系是(　　)
A．x≤y B．x＜y
C．x≥y D．x＞y
(理) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果cos(2B＋C)＋2sinAsinB<0，那么a、b、c满足的关系是(　　)
A．2ab>c2 B．a2＋b2C．2bc>a2 D．b2＋c28． 已知a＝(cosx，sinx)，b＝(sinx，cosx)，记f(x)＝a·b，要得到函数y＝sin4x－cos4x的图象，只需将函数y＝f(x)的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
9． 已知向量a＝(cos2α，sinα)，b＝(1,2sinα－1)，α∈，若a·b＝，
则tan的值为(　　)
A. B. C. D.
10． 若≤α≤，则＋等于(　　)
A．－2cos B．2cos
C．－2sin D．2sin
二、填空题
11． 若sin＝，则cos2θ＝________.
12． 函数y＝的最大值与最小值的积是________．
13． 函数y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是________．

14．(文)如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB于点D，且AD＝3DB，设∠COD＝θ，则tan2＝________.

(理)＝________.
三、解答题
15． 已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.
(1)求f()的值；
(2)求f(x)的最大值和最小值．



16．(文)设函数f(x)＝cos＋sin2x.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；
(2)设A、B、C为△ABC的三个内角，若cosB＝，f()＝－，且C为锐角，求sinA的值．







(理)已知角A、B、C为△ABC的三个内角，＝(sinB＋cosB，cosC)，＝(sinC，sinB－cosB)，·＝－.
(1)求tan2A的值；
(2)求的值．








17． 若函数f(x)＝sin2ax－sinaxcosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为.
(1)求m和a的值；
(2)若点A(x0，y0)是y＝f(x)图象的对称中心，且x0∈，求点A的坐标．



(理) 设向量a＝(sinx,1)，b＝(1，cosx)，记f(x)＝a·b，f ′(x)是f(x)的导函数．
(1)求函数F(x)＝f(x)f ′(x)＋f 2(x)的最大值和最小正周期；
(2)若f(x)＝2f ′(x)，求的值．







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基础巩固
一、选择题
1．若cosθ>0，sin2θ<0，则角θ是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．若tanθ＋＝4，则sin2θ＝(　　)
A． B．
C． D．
3．函数f(x)＝cos4x－sin4x的最小正周期是(　　)
A． B．π
C．2π D．4π
4．若tanα＝3，则的值等于(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
5．计算－等于(　　)
A．－2cos5° B．2cos5°
C．－2sin5° D．2sin5°
6．·＝(　　)
A．tanα B．tan2α
C．1 D．
二、填空题
7．若tanθ＝，则cos2θ＋sin2θ＝________.
8．tan－的值等于________．
三、解答题
9．已知cosα＝－，α∈(π，)，求sin2α，cos2α，tan2α的值．






一、选择题
1．设向量a＝(，sinα)，b=(cosα，)，且a∥b，则锐角α为(　　)
A．30° B．60°
C．75° D．45°
2．若α∈，则＋的值为(　　)
A．2cos B．－2cos
C．2sin D．－2sin
3．设a＝(sin17°＋cos17°)，b＝2cos213°－1，c＝， 则(　　)
A．cC．a4．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是(　　)
A． B．
C．－ D．－
二、填空题
5．函数f(x)＝sin2(2x－)的最小正周期是________．
6．已知θ为第三象限角，sin4θ＋cos4θ＝，则sin2θ＝________.
三、解答题
7．若cos(＋x)＝，(1)cosx＋sinx的值；
(2)的值．








8． 已知α∈(，π)，sinα＝.
(1)求sin(＋α)的值；
(2)求cos(－2α)的值．



9． 已知函数f(x)＝cosx·sin(x＋)－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间[－，]上的最大值和最小值．