人教版高中数学必修五第1章 解三角形1.3正弦定理和余弦定理的应用【优能辅导】（教师版）

正弦定理和余弦定理的应用





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教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的应用，高度，距离，角度的准确判断
教学难点：构造三角形，利用正、余弦定理进行解相关的边长、角度。





与实际应用问题有关的名词、术语
①铅直平面：与水平面垂直的平面
②坡角：坡面与水平面的夹角
③坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比
④仰角：在同一铅直平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角
⑤俯角：在同一铅直平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
⑥视角：从某点看物体的最高点与最低点的两条视线的夹角
⑦方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南方向，方向角小于
⑧方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角
解三角形应用问题步骤
准确理解题意，分清已知和所求，尤其是要理解应用题中的相关名词和术语；
根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，即将实际问题抽象成数学问题；
分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过运用正弦定理或余弦定理正确求解；
检验求得的解是否具有实际意义，并对所求的解进行取舍。


类型一：测量距离、高度问题
例1.为了测量某湖泊的两侧间的距离，给出下列数据，其中不能唯一确定两点间的距离的是（）

A.角和边 B.角和边 C.边 和角 D.边和角
解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的答案是不唯一的，所以选D
答案：D
练习1. 在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为(　　)
A．m　 B．m C．200m　 D．200m
解析：如图，设AB为山高，CD为塔高，则AB＝200，
∠ADM＝30°，∠ACB＝60°∴BC＝＝，AM＝DMtan30°＝BCtan30°＝.
∴CD＝AB－AM＝.
答案：A
练习2：要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为(　　)

A．10m　 B．20m C．20m　 D．40m
解析：设AB＝xm，则BC＝xm，BD＝xm，在△BCD中，由余弦定理，得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos120°，
∴x2－20x－800＝0，∴x＝40(m)．
答案：D
例2：一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过h，该船实际航程为________．
解析：如图，水流速和船速的合速度为v，

在△OAB中：
OB2＝OA2＋AB2－2OA·AB·cos60°，
∴OB＝v＝2km/h.
即船的实际速度为2km/h，则经过h，其路程为2×＝6 km.
答案：6 km
练习3：在灯塔上面相距50m的两点A、B，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离________．
解析：由题意，作出图形如图所示，

设出事渔船在C处，根据在A处和B处测得的俯角分别为45°和60°，
可知∠CBD＝30°，∠BAC＝45°＋90°＝135°，
∴∠ACB＝180°－135°－30°＝15°，
又AB＝50，在△ABC中，由正弦定理，得＝，
∴AC＝＝＝25(＋)(m)．
∴出事渔船离灯塔的距离CD＝AC
＝＝25(＋1)(m)．
练习4：两船同时从A港出发，甲船以每小时20n mile的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以每小时12n mile的速度向北偏西40°方向航行，一小时后，两船相距________n mile.
解析：如图，△ABC中，AB＝20，AC＝12，
∠CAB＝40°＋80°＝120°，
由余弦定理，得BC2＝202＋122－2×20×12·cos120°＝784，∴BC＝28(n mile)．
答案：28
规律总结：求距离、高度时，牢牢抓住各已知边及角，理解名词、术语的应用。
类型二：测量角度问题、三角形综合题
例3：在某测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的(　　)
A．北偏西35°　 B．北偏东55° C．北偏东35°　 D．南偏西55°
解析：根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．

α＝55°，则β＝α＝55°.
所以B在A的南偏西55°.
答案：D
练习5：已知两座灯塔和与海洋观察站的距离相等，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（）
A.北偏东 B.北偏西 C.南偏东 D.南偏西
答案：B
练习6：某观察站与两灯塔的距离分别为300米和500米，测得灯塔在观察站北偏东 处，灯塔在观察站南偏东处，则两灯塔间距离为（）
A.400米 B.500米 C.800米 D.700米
答案：D
例4：在中，三个内角的对边分别为若的面积为，且，则 （）
A. B. C. D.
解析： 由
即 又，所以
又
答案：C
练习7：在中，三个内角的对边分别为若的面积为，且，则 （）
A.2 B.3 C.-2 D.-3
答案：A
练习8：在中，三个内角的对边分别为若的面积为，且，则 （）
A.3 B.4 C.5 D.6
答案：B

1. 在某测量中，A在B的北偏东45°，则B在A的(　　)
A．北偏西35° 　B．北偏东55° C．北偏东35°　 D．南偏西45°
答案：D
2. 在某测量中，A在B的南偏西45°，则B在A的(　　)
A．北偏西35° 　B．北偏东45° C．北偏东35°　 D．南偏西45°
答案：B
3.在100m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为(　　)
A.m B. 200m C. m D.400m
答案：A
4. 要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝60m，则电视塔的高度为(　　)

A．10m　 B．20m C．20m　 D．60m
答案：D
5. 如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为，设α为坡角，那么等于(　　)
A． 　B． C． 　D．
答案：D
6. 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C的南偏东70°，则灯塔A在灯塔B的(　　)
A．北偏东20°　 B．北偏西20° C．南偏东20°　 D．南偏西20°
答案：B


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基础巩固
某人向正东走 Km，向右转，然后朝旋转后的方向走3km后，他离最开始的出发点的距离恰好为 km，那么的值为__________
答案：
2. 两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)
A．a km　 B．a km C．a km　 D．2a km
答案：B
3. 有一长为10 m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸(　　)
A．5 m　 B．10 m C．10 m　 D．10m
答案：C
4. 江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距(　　)
A．10m　 B．100m C．20m　 D．30m
答案：D
5. 如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为(　　)
A．50m　 B．50m C．25m　 D．m
答案：A
6.一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是______ km.(精确到0.1 km)
答案：5.2
7. 如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为(　　)

A．20(＋)n mile/h B．20(－)n mile/h C．20(＋)n mile/h D．20(－)n mile/h
答案：B
能力提升

8. 某海岛周围38n mile有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30n mile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．
答案：如图所示，由题意在△ABC中，AB＝30，
∠BAC＝30°，

∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°，
由正弦定理，得BC＝＝＝
＝15(＋)．
在Rt△BDC中，CD＝BC＝15(＋1)>38.
∴此船无触礁的危险．
9. 甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以a n mile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是a n mile/h，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？
答案：如图，设经过t h两船在C点相遇，
则在△ABC中，
BC＝at，AC＝at，B＝180°－60°＝120°，
由＝，
得sin∠CAB＝＝＝.
∵0°<∠CAB<90°，
∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°.
即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
10. 在某海滨城市附近海面有一台风．据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θ(cosθ＝)方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
答案：如图所示，设在时刻t(h)台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为(10t＋60)km.若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则OQ≤10t＋60.
由余弦定理，得
OQ2＝PQ2＋PO2－2·PQ·PO·cos∠OPQ，
由于PO＝300，PQ＝20t，
∴cos∠OPQ＝cos(θ－45°)＝cosθcos45°＋sinθsin45°
＝×＋×＝，
故OQ2＝(20t)2＋3002－2×20t×300×
＝202t2－9600t＋3002，
因此202t2－9600t＋3002≤(10t＋60)2，
即t2－36t＋288≤0，解得12≤t≤24.
答：12h后该城市开始受到台风的侵袭．
11. 在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔走10m，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．
答案：
解法一：∵∠PAB＝θ，∠PBC＝2θ，
∴∠BPA＝θ，∴BP＝AB＝30.
又∵∠PBC＝2θ，∠PCD＝4θ，
∴∠BPC＝2θ，∴CP＝BC＝10.
在△BPC中，根据正弦定理，得＝，
即＝ ，
∴＝ .
由于sin2θ≠0，∴cos2θ＝.
∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.
解法二：在△BPC中，根据余弦定理，得
PC2＝PB2＋BC2－2PB·BC·cos2θ，
把PC＝BC＝10，PB＝30代入上式得，
300＝302＋(10)2－2×30×10cos2θ，
化简得：cos2θ＝ .
∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.
解法三：如下图，过顶点C作CE⊥PB，交PB于E，

∵△BPC为等腰三角形，
∴PE＝BE＝15.
在Rt△BEC中，cos2θ＝＝＝.
∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.

12. 碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20n mile的B处．现在“白云号”以每小时10n mile的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8n mile的速度由A处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．
答案：如右图，设经过t h，“蓝天号”渔轮行驶到C处，“白云号”货轮行驶到D处，
此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD．则根据题意，知在△ACD中，
AC＝8t，AD＝20－10t，∠CAD＝60°.由余弦定理，得
CD2＝AC2＋AD2－2×AC×ADcos60°
＝(8t)2＋(20－10t)2－2×8t×(20－10t)×cos60°
＝244t2－560t＋400＝244(t－)2＋400－244×()2，
∴当t＝时，CD2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．
答：经过h后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．
13. 如图所示，表示海中一小岛周围3.8 n mile内有暗礁，一船从A由西向东航行望见此岛在北75°东．船行8 n mile后，望见这岛在北60°东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险．

答案：在△ABC中，AC＝8，∠ACB＝90°＋60°＝150°，∠CAB＝90°－75°＝15°，∴∠ABC＝15°.
∴△ABC为等腰三角形，BC＝AC＝8，在△BCD中，∠BCD＝30°，BC＝8，∴BD＝BC·sin30°＝4>3.8.故该船没有触礁危险．













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