人教版高中数学必修五第1章 解三角形1.3正弦定理和余弦定理的应用【个性化辅导】（学生版）
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学必修五第1章 解三角形1.3正弦定理和余弦定理的应用【个性化辅导】（学生版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1013.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-08-09 18:30:25 | ||
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文档简介
正弦定理和余弦定理的应用
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教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的应用，高度，距离，角度的准确判断
教学难点：构造三角形，利用正、余弦定理进行解相关的边长、角度。
与实际应用问题有关的名词、术语
①铅直平面：与_______的平面
②坡角：坡面与水平面的夹角
③坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比
④仰角：在同一铅直平面内，视线在水平线_______时与水平线的夹角
⑤俯角：在同一铅直平面内，视线在水平线__________时与水平线的夹角
⑥视角：从某点看物体的最高点与最低点的两条视线的________
⑦方向角：从指定方向线到目标方向线的__________（指定方向线是指正北或正南方向，方向角小于
⑧方位角：从正北方向________转到目标方向线的水平角
解三角形应用问题步骤
准确理解题意，分清已知和所求，尤其是要理解应用题中的相关名词和术语；
根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，即将实际问题抽象成数学问题；
分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过运用正弦定理或余弦定理正确求解；
检验求得的解是否具有实际意义，并对所求的解进行取舍。
类型一：测量距离、高度问题
例1.为了测量某湖泊的两侧间的距离，给出下列数据，其中不能唯一确定两点间的距离的是（）
A.角和边 B.角和边 C.边 和角 D.边和角
练习1. 在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )
A．m B．m C．200m D．200m
练习2：要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为( )
A．10m B．20m C．20m D．40m
例2：一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过h，该船实际航程为________．
练习3：在灯塔上面相距50m的两点A、B，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离________．
练习4：两船同时从A港出发，甲船以每小时20n mile的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以每小时12n mile的速度向北偏西40°方向航行，一小时后，两船相距________n mile.
规律总结：求距离、高度时，牢牢抓住各已知边及角，理解名词、术语的应用。
类型二：测量角度问题、三角形综合题
例3：在某测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的( )
A．北偏西35° B．北偏东55° C．北偏东35° D．南偏西55°
练习5：已知两座灯塔和与海洋观察站的距离相等，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（）
A.北偏东 B.北偏西 C.南偏东 D.南偏西
练习6：某观察站与两灯塔的距离分别为300米和500米，测得灯塔在观察站北偏东 处，灯塔在观察站南偏东处，则两灯塔间距离为（）
A.400米 B.500米 C.800米 D.700米
例4：在中，三个内角的对边分别为若的面积为，且，则 （）
A. B. C. D.
练习7：在中，三个内角的对边分别为若的面积为，且，则 （）
A.2 B.3 C.-2 D.-3
练习8：在中，三个内角的对边分别为若的面积为，且，则 （）
A.3 B.4 C.5 D.6
1. 在某测量中，A在B的北偏东45°，则B在A的( )
A．北偏西35° B．北偏东55° C．北偏东35° D．南偏西45°
2. 在某测量中，A在B的南偏西45°，则B在A的( )
A．北偏西35° B．北偏东45° C．北偏东35° D．南偏西45°
3.在100m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )
A.m B. 200m C. m D.400m
4. 要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝60m，则电视塔的高度为( )
A．10m B．20m C．20m D．60m
5. 如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为，设α为坡角，那么等于( )
A． B． C． D．
6. 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C的南偏东70°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东20° B．北偏西20° C．南偏东20° D．南偏西20°
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基础巩固
某人向正东走 Km，向右转，然后朝旋转后的方向走3km后，他离最开始的出发点的距离恰好为 km，那么的值为__________
2. 两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km B．a km C．a km D．2a km
3. 有一长为10 m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸( )
A．5 m B．10 m C．10 m D．10m
4. 江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )
A．10m B．100m C．20m D．30m
5. 如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为( )
A．50m B．50m C．25m D．m
6.一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是______ km.(精确到0.1 km)
7. 如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )
A．20(＋)n mile/h B．20(－)n mile/h C．20(＋)n mile/h D．20(－)n mile/h
能力提升
8. 某海岛周围38n mile有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30n mile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．
9. 甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以a n mile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是a n mile/h，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？
10. 在某海滨城市附近海面有一台风．据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θ(cosθ＝)方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
11. 在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔走10m，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．
12. 碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20n mile的B处．现在“白云号”以每小时10n mile的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8n mile的速度由A处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．
13. 如图所示，表示海中一小岛周围3.8 n mile内有暗礁，一船从A由西向东航行望见此岛在北75°东．船行8 n mile后，望见这岛在北60°东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险．
2
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教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的应用，高度，距离，角度的准确判断
教学难点：构造三角形，利用正、余弦定理进行解相关的边长、角度。
与实际应用问题有关的名词、术语
①铅直平面：与_______的平面
②坡角：坡面与水平面的夹角
③坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比
④仰角：在同一铅直平面内，视线在水平线_______时与水平线的夹角
⑤俯角：在同一铅直平面内，视线在水平线__________时与水平线的夹角
⑥视角：从某点看物体的最高点与最低点的两条视线的________
⑦方向角：从指定方向线到目标方向线的__________（指定方向线是指正北或正南方向，方向角小于
⑧方位角：从正北方向________转到目标方向线的水平角
解三角形应用问题步骤
准确理解题意，分清已知和所求，尤其是要理解应用题中的相关名词和术语；
根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，即将实际问题抽象成数学问题；
分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过运用正弦定理或余弦定理正确求解；
检验求得的解是否具有实际意义，并对所求的解进行取舍。
类型一：测量距离、高度问题
例1.为了测量某湖泊的两侧间的距离，给出下列数据，其中不能唯一确定两点间的距离的是（）
A.角和边 B.角和边 C.边 和角 D.边和角
练习1. 在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )
A．m B．m C．200m D．200m
练习2：要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为( )
A．10m B．20m C．20m D．40m
例2：一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过h，该船实际航程为________．
练习3：在灯塔上面相距50m的两点A、B，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离________．
练习4：两船同时从A港出发，甲船以每小时20n mile的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以每小时12n mile的速度向北偏西40°方向航行，一小时后，两船相距________n mile.
规律总结：求距离、高度时，牢牢抓住各已知边及角，理解名词、术语的应用。
类型二：测量角度问题、三角形综合题
例3：在某测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的( )
A．北偏西35° B．北偏东55° C．北偏东35° D．南偏西55°
练习5：已知两座灯塔和与海洋观察站的距离相等，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（）
A.北偏东 B.北偏西 C.南偏东 D.南偏西
练习6：某观察站与两灯塔的距离分别为300米和500米，测得灯塔在观察站北偏东 处，灯塔在观察站南偏东处，则两灯塔间距离为（）
A.400米 B.500米 C.800米 D.700米
例4：在中，三个内角的对边分别为若的面积为，且，则 （）
A. B. C. D.
练习7：在中，三个内角的对边分别为若的面积为，且，则 （）
A.2 B.3 C.-2 D.-3
练习8：在中，三个内角的对边分别为若的面积为，且，则 （）
A.3 B.4 C.5 D.6
1. 在某测量中，A在B的北偏东45°，则B在A的( )
A．北偏西35° B．北偏东55° C．北偏东35° D．南偏西45°
2. 在某测量中，A在B的南偏西45°，则B在A的( )
A．北偏西35° B．北偏东45° C．北偏东35° D．南偏西45°
3.在100m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )
A.m B. 200m C. m D.400m
4. 要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝60m，则电视塔的高度为( )
A．10m B．20m C．20m D．60m
5. 如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为，设α为坡角，那么等于( )
A． B． C． D．
6. 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C的南偏东70°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东20° B．北偏西20° C．南偏东20° D．南偏西20°
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基础巩固
某人向正东走 Km，向右转，然后朝旋转后的方向走3km后，他离最开始的出发点的距离恰好为 km，那么的值为__________
2. 两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km B．a km C．a km D．2a km
3. 有一长为10 m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸( )
A．5 m B．10 m C．10 m D．10m
4. 江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )
A．10m B．100m C．20m D．30m
5. 如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为( )
A．50m B．50m C．25m D．m
6.一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是______ km.(精确到0.1 km)
7. 如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )
A．20(＋)n mile/h B．20(－)n mile/h C．20(＋)n mile/h D．20(－)n mile/h
能力提升
8. 某海岛周围38n mile有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30n mile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．
9. 甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以a n mile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是a n mile/h，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？
10. 在某海滨城市附近海面有一台风．据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θ(cosθ＝)方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
11. 在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔走10m，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．
12. 碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20n mile的B处．现在“白云号”以每小时10n mile的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8n mile的速度由A处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．
13. 如图所示，表示海中一小岛周围3.8 n mile内有暗礁，一船从A由西向东航行望见此岛在北75°东．船行8 n mile后，望见这岛在北60°东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险．
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