人教版高中数学必修五第2章数列2.1数列的概念（教师版）

数列的概念




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教学重点：掌握数列的概念与表示方法，通项公式的求解，数列的单调性、最值求解
教学难点： 数列的单调性及最值的求解，通项公式的判定




数列：按照一定的次序排列起来的数；
项：数列中的每一个数，首项：排在第一位的数；一般形式写成 简称为 这里是正整数。
2.数列的分类
（1）按项的个数分类
有穷数列：项数有限的数列

无穷数列：项数无限的数列
（2） 递增数列：从第2项起，每一项大于它的前一项的数列
递减数列：从第2项起，每一项小于它的前一项的数列
常数列：各项都相等的数列

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项
3.数列的表示方法
（1）通项公式法
（2）列表法
（3）图像法
4.数列中项的求解与判断
数列的通项公式实质是数列的项与其项数之间的一种函数关系，只不过定义域是正整数集 ，因此可用函数的方法来研究数列的有关问题。
5.数列的单调性
数列的单调性与函数的单调性是类似的，若数列 是递增数列，则任意的都有，此时数列的图像呈上升趋势；若数列是递减数列，则对任意都有，此时数列的图像呈下降趋势。
6.数列中的最大（小）项问题
求数列的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值，另一种方法是利用数列的单调性。

类型一：数列的通项公式
例1.（1）1,3,7,15,31，…
（2）5,55,555,5555，…
解析：（1）观察发现各项分别加上1，变为2,4,8,16,32，…，其通项公式为 ，故原数列的通项公式为
（2）各项乘以变成9,99,999,9999，…，各项加上1，又变成10,100,1000,10000，…，这一数列的通项公式为，由此原数列的通项公式为
答案：（1）
（2）
练习1.
答案：
练习2.
答案：
例2.下列叙述正确的是（）
数列1,3,5,7和数列3,1,5,7是同一个数列
同一个数在数列中可能重复出现
数列的通项公式是定义域为正整数集 的函数
数列的通项公式是唯一的
解析：根据数列的定义，只要次序不同则两数列不同故A错；数列的通项公式是定义域在正整数集或它的有限子集，因此C错；数列-1,1，-1,1，…的通项公式可以写成也可以写成 ，还可以写成分段函数的形式，因此D错；故选B
答案：B
练习3. 下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3……，n})上的函数；
②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；
③数列的项数是无限的；
④数列通项的表示式是唯一的．
其中正确的是(　　)
A．①②　　　 B．①②③ C．②③ D．①②③④
答案：A
练习4. 下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3……，n})上的函数；
②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；
③数列的项数是无限的；
④数列通项的表示式是唯一的．
其中错误的是(　　)
A．①②　　　 B．①②③ C．③④ D．①②③④
答案：C
类型二：数列的项的判断及求解
例3. 数列中的项不能是（）
A.24 B.35 C.42 D.63
解析：因为，所以24是该数列中第4项；同理35是该数列的第5项；63是该数列中的第7项，故答案为C
答案：C
练习5. 数列中的项不能是（）
A.24 B.36 C.42 D.61
答案：A
练习6. 已知an＝n(n＋1)，以下四个数中，哪个是数列{an}中的一项(　　)
A．18 B．21 C．25 答案D．30
答案：D
例4. 在数列 中， ______
解析：
答案：
练习7. 在数列 中， ______
答案：
练习8. 在数列 中， ______
答案：4
类型三：数列的单调性、最值性
例5. 已知数列{an}的通项公式是an＝(n∈N＋)，则数列的最大项是(　　)
A．第12项 B．第13项 C．第12项或第13项 D．不存在
解析：an＝，n＋≥2，
但由于n∈N＋取不到等号，而
∴第12项和第13项都是最大项．
答案：C
练习9.数列中，则的最大值为______
答案：45
练习10.已知数列的通项公式则的最小值为_______
答案：-11
例6. 已知数列{an}的通项公式是an＝，那么这个数列是(　　)
A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列
解析：an＝＝1－，随着n的增大而增大．
答案：A
练习11.已知数列的通项公式为，则这个数列是（）
A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列
答案：A

1. 数列2,0,4,0,6,0，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝[1＋(－1)n]
B．an＝[1＋(－1)n＋1]
C．an＝[1＋(－1)n＋1]
D．an＝[1＋(－1)n]
答案：B
2. 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＝an－1＋(n≥3)，则a5＝(　　)
A.　　 　　 B. C．4 D．5
答案：A
3. 已知数列{an}满足a1＝x，a2＝y，且an＋1＝an－an－1(n≥2)，则a2 007＝(　　)
A．x B．y C．y－x D．－x
答案：　C
4. 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3(　　)
A．不是数列{an}中的项
B．只是数列{an}的第2项
C．只是数列{an}的第6项
D．是数列{an}的第2项或第6项
答案：　D
5. 已知{an}是递增数列，且对任意的自然数n(n≥1)，都有an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围为________．
答案：由{an}为递增数列，得
an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ>0恒成立，
即λ>－2n－1在n≥1时恒成立，
令f(n)＝－2n－1，f(n)max＝－3.
只需λ>f(n)max＝－3即可．
λ>－3



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基础巩固
1. 数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式为(　　)
A．an＝2n－1 B．an＝(－1)n(1－2n) C．an＝(－1)n(2n－1) D．an＝(－1)n(2n＋1)
答案：当n＝1时，a1＝1排除C、D；当n＝2时，a2＝－3排除A，故选B.
2. 数列1,3,7,15，…的通项公式an＝(　　)
A．2n B．2n＋1 C．2n－1 D．2n－1
答案：∵a1＝1，排除A，B；又a2＝3，排除D，故选C.
3. 已知数列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，则a6＝(　　)
A．－3 B．－4 C．－5 D．2
答案：由an＋1＝an＋2＋an得a3＝3，a4＝－2，a5＝－5，a6＝－3.故选A
4. 正项数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a4＝(　　)
A.　　 B. C.　 　D.
答案：B
5. 数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式a1·a2·a3·…·an＝n2给出，则a3＋a5等于(　　)
A.　　 B. C.　　 D.
答案：C
6. 已知数列{an}满足a1＝1，an＝nan－1(n≥2)，则a5＝________.
答案：120
7. 已知数列{an}的通项公式an＝3n－1(n∈N*)，通过公式bn＝构造一个新数列{bn}，那么{bn}的前五项为________________．
答案：，，，，
8. 已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，则是这个数列的第________项．
答案：10
9. 数列－1，，－，，…的一个通项公式为________．
答案：an＝(－1)n
10. 数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
答案：(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16(n＝－9舍)，即150是这个数列的第16项．
(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)，
∴从第7项起各项都是正数.

能力提升

11. 已知数列{an}中，a1＝1，＝2，则此数列是(　　)
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列
答案：B
12. 根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．

答案：n2－n＋1
13. 数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，则a1 000＝(　　)
A．1 B．1 999 C．1 000 D．－1
答案：　A
14. 已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，则a20＝(　　)
A．0 B．－ C.　　 D.
答案：B
15. 已知数列{an}满足a1＝－2，an＋1＝2＋， 则a6＝________.
答案：－
16. 设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝________.
答案：－
17. 已知函数f(x)＝，构造数列an＝f(n)(n∈N＋)，试判断{an}是递增数列还是递减数列？
答案：∵an＝，则an＋1＝.
对任意n∈N＋，(n＋1)(n＋2)>n(n＋1)，
∴<，
于是an＋1－an＝－<0.
∴{an}是递减数列．
18. 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
答案：(1)令n2－5n＋4<0，得
1故数列中有两项是负数．
即a2、a3为负数．
(2)an＝n2－5n＋4＝(n－)2－.
∵n∈N*，∴当n＝2或3时，an最小，最小值为－2.
19. 已知数列1,2，，，，….
(1)写出这个数列的一个通项公式an；
(2)判断数列{an}的增减性．
答案：(1)数列1,2，，，，….可变为，，，，，….观察该数列可知，每一项的分母恰与该项序号n对应，而分子比序号n的3倍少2，
∴an＝.
(2)∵an＝＝3－，∴an＋1＝3－，
∴an＋1－an＝3－－3＋＝－＝>0，
∴an＋1>an.故数列{an}为递增数列．
20. (1)已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出，写出这个数列的前5项；
(2)用上面的数列{an}，通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前5项．
答案：(1)∵a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n≥3)，
∴a3＝a1＋a2＝3，a4＝a2＋a3＝5，a5＝a3＋a4＝8.
(2)∵a6＝a4＋a5＝13，bn＝，∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝，b5＝＝.
21. 观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多的是(　　)

A．40个 B．45个
C．50个 D．55个
答案：B
22. 对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象是(　　)

答案：A










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