人教版高中数学必修五第2章数列2.2等差数列的概念、性质（教师版）

等差数列的概念、性质




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教学重点： 掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系；
教学难点： 通项公式的求解及等差数列的判定。




等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母来表示。用递推关系系表示为或
等差数列的通项公式
若为等差数列，首项为，公差为，则
等差中项
如果三个数组成等差数列，那么叫做和的等差中项
通项公式的变形
对任意的，在等差数列中，有：

两式相减，得 其中的关系可以为
等差数列与函数的关系
由等差数列的通项公式可得，这里是常数，是自变量，是的函数，如果设则与函数对比，点在函数的图像上。
等差数列的性质及应用
（1）
（2）若则（都是正整数）
（3）若成等差数列，则也成等差数列（都是正整数）
（4）（都是正整数）
（5）若数列成等差数列，则
（6）若数列成等差数列，则数列（为常数）仍为等差数列
（7）若和均为等差数列，则也是等差数列

类型一： 等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解
例1.数列是首项，公差的等差数列，若 则
A.672 B.673 C.662 D.663
解析：由题意得令，解得
答案：B
练习1. 数列是首项，公差的等差数列，若 则
A.669 B.673 C.662 D.663
答案：A
练习2. 数列是首项，公差的等差数列，若 则
A.669 B.668 C.662 D.663
答案：B
例2.一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差为（）
A.-2 B.-3 C.-4 D.-6
解析：由题意知 所以有 解得
答案：C
练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差为（）
A.-2 B.-3 C.-4 D.-5
答案：D
练习4.等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：B
例3.已知数列满足 其中设
求证：数列是等差数列
求数列的通项公式
解析：（1） 所以数列是等差数列
（2）
答案：（1）略
（2）
练习5.已知数列满足令
求证：数列是等差数列
求数列与的通项公式
答案：（1）数列是公差为1的等差数列
（2） ，
练习6.在等差数列中，已知 求
答案：
例4.已知数列是等差数列，则的值分别为____________
解析：为8与2的等差中项，得 ；2为的等差中项得；由为2与的等差数列，得
答案：5，-1，-4
练习7. 已知数列是等差数列，则的值分别为____________
答案：5，-1
练习8. 已知数列是等差数列，则的值分别为____________
答案：5，11,14
类型二：等差数列的性质及与函数的关系
例5.等差数列中，已知，则=（）
A.2014 B.2015 C.2013 D.2016
解析：，且为等差数列，故选B
答案：B
练习9.在等差数列中，若则的值为 （）
A.24 B.22 C.20 D.18
答案：A
练习10.已知等差数列中，则 _____
答案：2016
例6.已知数列中，且是的一次函数，则 =________
解析：是 的一次函数，所以设代入解得
答案：0
练习11.若成等差数列，则二次函数的零点个数为（）
A.0 B.1 C.2 D.1或2
答案：D
练习12.已知无穷等差数列中，首项 公差，依次取出序号被4除余3的项组成数列
求和
求的通项公式
中的第503项是的第几项
答案：数列是数列的一个子集列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于是等差数列，所以也是等差数列
（1） 数列中序号被4除余3的项是中的第3项，第7项，第11项，…
（2）设中的第项是的第项即 则
（3） ，设它是中的第项，则，则，即中的第503项是中的第2011项

1. 在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　)
A．5 B．6 C．8 D．10
答案：A
2. 在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101的值为(　　)
A．49 B．50 C．51 D．52
答案：D
3. 如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(　　)
A．14 B．21 C．28 D．35
答案：C
4. 已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　)
A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 C．a3＋a100≤0 D．a51＝0
答案：D
5. 等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为(　　)
A．30 B．27 C．24 D．21
答案：B


6. 等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第(　　)项(　　)
A．60 B．61 C．62 D．63
答案：　B



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基础巩固
1. 在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝(　　)
A．11 B．12 C．13 D．14
答案：C
2. 若数列{an}是等差数列，且a1＋a4＝45，a2＋a5＝39，则a3＋a6＝(　　)
A．24 B．27 C．30 D．33
答案：D
3. 已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12等于(　　)
A．15 B．30 C．31 D．64
答案：A
4. 等差数列中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝420，则a2＋a10等于(　　)
A．100 B．120 C．140 D．160
答案：B
5. 已知a＝，b＝，则a，b的等差中项为(　　)
A.　 B. C.　　 D.
答案：A
6. 在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.
答案：　74
7. 等差数列{an}中，公差为，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a2＋a4＋a6＋…＋a100＝_______.
答案：　85


8. 在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为(　　)
A．14 B．15 C．16 D．17
答案：C
9. 在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6＝________.
答案：42
10. 等差数列{an}的前三项依次为x,2x＋1,4x＋2，则它的第5项为__________．
答案：4
11. 已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项．
答案：设此数列为{an}，则首项a1＝6，公差d＝3－6＝－3，
∴an＝a1＋(n－1)d＝6－3(n－1)＝－3n＋9.
∴a100＝－3×100＋9＝－291.


能力提升

12. 等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是(　　)
A．d> B．d< C.答案：D
13. 设等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，则n是(　　)
A．48 B．49 C．50 D．51
答案：C
14. 已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，又数列{}是等差数列，则a11等于(　　)
A．0　　 B. C. D．－1
答案：B
15. 若a≠b，两个等差数列a，x1，x2，b与a，y1，y2，y3，b的公差分别为d1、d2，则等于(　　)
A.　　 B. C.　 　D.
答案：C
16. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
答案：
17. 等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0(　　)
A．无实根 B．有两个相等实根 C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根
答案：A
18. 在a和b之间插入n个数构成一个等差数列，则其公差为(　　)
A.　 　B. C.　 　D.
答案：C
19. 在等差数列{an}中，已知am＋n＝A，am－n＝B，，则am＝__________.
答案：(A＋B)
20．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________．
答案：4,6,8
21. 在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.
答案：20
22. 已知数列{an}是等差数列，且a1＝11，a2＝8.
(1)求a13的值；
(2)判断－101是不是数列中的项；
(3)从第几项开始出现负数？
(4)在区间(－31,0)中有几项？
答案：(1)由题意知a1＝11，d＝a2－a1＝8－11＝－3，
∴an＝a1＋(n－1)d＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14.
∴a13＝－3×13＋14＝－25.
(2)设－101＝an，则－101＝－3n＋14，
∴3n＝115，n＝＝38?N＋.
∴－101不是数列{an}中的项．
(3)设从第n项开始出现负数，即an<0，
∴－3n＋14<0，∴n>＝4.
∵n∈N＋，∴n≥5，
即从第5 项开始出现负数．
(4)设an∈(－31,0)，即－31∴－31<－3n＋14<0，
∴4∴n＝5,6,7，…，14，共10项.
23. 已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
答案：设首项为a1，公差为d，
由已知得，解得 ，
∴an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
令an＝153，即4n－27＝153，得n＝45∈N*，
∴153是所给数列的第45项．
24. 已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2，且n∈N*)确定．
(1)求证：{}是等差数列；
(2)当x1＝时，求x100的值．
答案：(1)∵xn＝f(xn－1)＝(n≥2，n∈N*)，
∴＝＝＋，
∴－＝(n≥2，n∈N*)．
∴数列{}是等差数列．
(2)由(1)知{}的公差为，
又x1＝，∴＝＋(n－1)·＝n＋.
∴＝＋＝35，即x100＝.


25. 四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．
答案：设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，据题意得，
(a－3d)2＋(a－d)2＋(a＋d)2＋(a＋3d)2＝94
?2a2＋10d2＝47.①
又(a－3d)(a＋3d)＝(a－d)(a＋d)－18?8d2＝18?d＝±代入①得a＝±，故所求四个数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1.
26. 已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a3＋a9.
答案：解法一：a2＋a6＋a10＝a1＋d＋a1＋5d＋a1＋9d＝3a1＋15d＝1，
∴a1＋5d＝.
∴a3＋a9＝a1＋2d＋a1＋8d＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝.
解法二：∵{an}为等差数列，
∴2a6＝a2＋a10＝a3＋a9，∴a2＋a6＋a10＝3a6＝1，
∴a6＝，∴a3＋a9＝2a6＝.
27. 在△ABC中，若lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，且三个内角A，B，C也成等差数列，试判断三角形的形状．
答案：∵A，B，C成等差数列，
∴2B＝A＋C，又∵A＋B＋C＝π，∴3B＝π，B＝.
∵lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，
∴2lgsinB＝lgsinA＋lgsinC，
即sin2B＝sinA·sinC，
∴sinAsinC＝.
又∵cos(A＋C)＝cosAcosC－sinAsinC，cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC，
∴sinAsinC＝，
∴＝[cos(A－C)－cos]，
∴＝cos(A－C)＋，
∴cos(A－C)＝1，
∵A－C∈(－π，π)，∴A－C＝0，
即A＝C＝，A＝B＝C.
故△ABC为等边三角形．











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