人教版高中数学必修五第2章数列2.2等差数列前n项和公式（教师版）

等差数列的前项和




__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________

教学重点： 掌握等差数列前项和通项公式及性质，数列最值的求解，与函数的关系
教学难点： 数列最值的求解及与函数的关系


数列的前项和
一般地，我们称为数列的前项和，用表示；记法： 显然，当时，有 所以与的关系为
①
②
等差数列的前项和公式
等差数列前项和公式性质
等差数列中，依次项之和仍然是等差数列，即 成等差数列，且公差为
是等差数列
等差数列中，若，则；若 则
若和均为等差数列，前项和分别是和，则有
项数为的等差数列，有有偶 -奇 =，奇 /偶 =
等差数列前项和公式与函数的关系
等差数列前项和公式可以写成 若令


类型一： 数列及等差数列的求和公式
例1.已知数列的前项和 求
解析：当时，；当时，当时，上式成立所以
答案：
练习1. 已知数列的前项和求
答案：
练习2：已知数列的前项和求
答案：
例2.已知等差数列的前项和为 ，求及
解析：，整理得 解得或（舍去）
答案：
练习3. 已知等差数列的前项和为，，求

答案：
练习4. 已知等差数列的前项和为，求
答案：
例3.在等差数列中，前项和为
若求和公差
若求满足的所有的值
解析：（1）由等差数列前项和公式有
（2）由所以即 解得或
答案：（1）
（2）或
练习5.设 是等差数列的前项和，则___________
答案：
练习6.在等差数列中，则的前5项和 ______________
答案：15
类型二： 等差数列前项和公式的性质
例4.在等差数列中，
若，求
若共有项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前项和 ，求
若求
解析：（1）由等差数列的性质，知
（2）由题意得，知 由等差数列的性质知又 ，即

因为数列是等差数列，所以成等差数列，首项为，设其公差为，则为该数列的前10项和，解得，又为该数列的前11项和，故
答案：（1）
（2）
（3）
练习7.设 是等差数列的前项和，若，则等于（）
A. B. C. D.
答案：C
练习8. 已知等差数列的公差， 则 （）
A.2014 B.2013 C.1007 D.1006
答案：C
例5.已知等差数列和的前项和分别为和，且则=（）
A. B. C. D.
解析：当为奇数时，等差数列的前项和 同理令得
答案：C
练习9.已知是等差数列，为其前项和，若则的值为______
答案：110
练习10.已知等差数列的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为35，则这个数列的项数为______________
答案：20
类型三：等差数列前项和公式的最值及与函数的关系
例6.已知数列的前项和为
这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式
求使得最小的值
解析：（1）因为当时也适合上式，所以这个数列的通项公式为又因为 所以 是等差数列
（2）因为是正整数，所以当或时最小，最小值为-112
答案：（1）是；
（2）当或时最小，最小值为-112
练习11.已知等差数列的前项和为，为数列的前项和，求数列的通项公式
答案：
练习12.等差数列中，若，求=_____________
答案：
例7.已知等差数列中，求使该数列前项和取得最小值的的值
解析：设等差数列的公差为，则由题意得
即 有最小值；又或时， 取最小值
答案：或时， 取最小值

练习13.已知等差数列中，则使前项和取得最小值的值为（）
A.7 B.8 C.7或8 D.6或7
答案：C
练习14.数列满足，则使得其前项和取得最大值的等于（）
A.4 B.5 C.6 D.7
答案：B

1. 四个数成等差数列，S4＝32，a2a3＝13，则公差d等于(　　)
A．8　　 B．16 C．4 D．0
答案：A
2. 设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是(　　)
A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值．
答案：C
3. 已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，Sn是等差数列{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是(　　)
A．21 B．20 C．19 D．18
答案：B
4. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列{}的前100项和为(　　)
A.　 　B. C.　　 D.
答案：A
5. 在等差数列{an}中，若S12＝8S4，且d≠0，则等于(　　)
A.　　 B. C．2　　 D.
答案：A
6. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝(　　)
A．8 B．7 C．6 D．5
答案：D
7. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于(　　)
A．8 B．10 C．12 D．14
答案：C



_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________

基础巩固
1. 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝(　　)
A．38 B．20 C．10 D．9
答案：C
2.数列{an}是等差数列，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于(　　)
A．160 B．180 C．200 D．220
答案：B
3.等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是(　　)
A．S7 B．S8 C．S13 D．S15
答案：C
4. 已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
答案：C
5. 在等差数列{an}中，a1＞0，d＝，an＝3，Sn＝，则a1＝________，n＝________.
答案：2　，3
6. 设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________.
答案：25
7. 设{an}是公差为－2的等差数列，若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，则a3＋a6＋a9＋…＋a99的值为________．
答案：－82
8.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
答案：8
9. 已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列{}的前n项和．
答案：(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知可得，解得a1＝1，d＝－1.
由{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)由(1)知＝
＝(－)，
从而数列{}的前n项和为
(－＋－＋…＋－)
＝.
10. 设{an}是等差数列，前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.
(1)求通项an；
(2)若Sn＝242，求n的值．
答案：(1)设公差为d，
则a20－a10＝10d＝20，
∴d＝2.
∴a10＝a1＋9d＝a1＋18＝30，
∴a1＝12.
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋2(n－1)＝2n＋10.
(2)Sn＝＝
＝n2＋11n＝242，
∴n2＋11n－242＝0，
∴n＝11.




能力提升

11. 在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝15，a100＋b100＝139，则数列{an＋bn}的前100项的和为(　　)
A．0 B．4 475 C．8 950 D．10 000
答案：C
12. 等差数列{an}中，a1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是(　　)
A．a8 B．a9 C．a10 D．a11
答案：D
13. 一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于(　　)
A．12 B．16 C．9 D．16或9
答案：C
14. 已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为(　　)
A．24 B．26 C．27 D．28
答案：B
15. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝4a3，a7＝－2，则a9＝(　　)
A．－6 B．－4 C．－2 D．2
答案：A
16. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于(　　)
A.　 　B. C.　　 D.
答案：A
17. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A、B、C三点共线(该直线不过点O)，则S200＝(　　)
A．100 B．101 C．200 D．201
答案：A
18. 已知等差数列{an}的前n项和为18，若S3＝1，an＋an－1＋an－2＝3，则n＝________.
答案：27
19. 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－8，则通项公式an＝________.
答案：

20. 设{an}是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n项和最大时，n等于(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
答案：　A
21. 等差数列{an}中，d<0，若|a3|＝|a9|，则数列{an}的前n项和取最大值时，n的值为______________．
答案：5或6
22. 设等差数列的前n项和为Sn.已知a3＝12，S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．
答案：(1)依题意，
即
由a3＝12，得a1＋2d＝12. ③
将③分别代入②①，得，
解得－(2)由d<0可知{an}是递减数列，因此若在1≤n≤12中，使an>0且an＋1<0，则Sn最大．
由于S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，可得
a6>0，a7<0，
故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．
23. 已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
答案：(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.
由a1＝1，a3＝－3可得1＋2d＝－3.解得d＝－2.
从而，an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
(2)由(1)可知an＝3－2n.
所以Sn＝＝2n－n2.
进而由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35.
又k∈N*，故k＝7为所求．
24. 在等差数列{an}中：
(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；
(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.
答案：(1)解法一：由已知条件得
，
解得.
∴S10＝10a1＋×d
＝10×3＋×4＝210.
解法二：由已知条件得，
∴a1＋a10＝42，
∴S10＝＝5×42＝210.
解法三：由(a5＋a10)－(a4＋a9)＝2d＝58－50，
得d＝4
由a4＋a9＝50，得2a1＋11d＝50，∴a1＝3.
故S10＝10×3＋＝210.
(2)S7＝＝7a4＝42，∴a4＝6.
∴Sn＝＝＝＝510.
∴n＝20.
25.已知等差数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn.
答案：a1＝S1＝101，
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋n)－[－(n－1)2＋(n－1)]
＝－3n＋104.
又n＝1也适合上式．
∴数列通项公式an＝－3n＋104.
由an＝－3n＋104≥0，得n≤，
即当n≤34时，an>0；
当n≥35时，an<0.
①当n≤34时，
Tn＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n.
②当n≥35时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a34－(a35＋a36＋…＋an)
＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)
＝2S34－Sn
＝n2－n＋3 502.
故Tn＝.




4