人教版高中数学必修五第2章数列2.3等比数列的概念、性质（教师版）

等比数列的概念、性质




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教学重点： 掌握并理解等比数列的概念及性质，通项公式的求解，等比数列与指数函数的关系
教学难点： 理解等比数例性质及与指数函数的关系


等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示。
等比数列的通项公式

等比中项
如果三个数组成等比数列，那么叫做和的等比中项，其中
等比数列的性质
（1）公比为的等比数列的各项同乘以一个不为零的数，所得数列仍是等比数列，公比仍为
（2）若，则
（3）若等比数列的公比为，则是以为公比的等比数列
（4）等比数列中，序号成等差数列的项构成等比数列
（5）若与均为等比数列，则也为等比数列

等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式 当且时，是一个指数函数，设则，等比数列可以看成是函数，因此，等比数列各项所对应的点是函数的图像上的一群孤立的点。
根据指数函数的性质，我们可以得到等比数列的增减性的下列结论：
等比数列递增 或
等比数列递减 或
等比数列为常数列
等比数列为摆动数列


类型一： 等比数列的判定及通项公式的求解
例1. 对任意等比数列，下列说法一定正确的是（）
A.数列不可能是等比数列
B.数列（为常数） 一定是等比数列
C.若，则一定是等差数列
D.数列是等比数列，其公比与数列的公比相等
解析：A项，若数列为非-1的常数列，则是非零的常数列，显然是公比为1的等比数列，故该选项不正确；B项，若，则，此时数列不是等比数列，所以该选项不正确；D项，因为 ，所以若数列为等比数列，则数列是等比数列，其公比为数列的公比的平方，所以该选项不正确，所以选C
答案：C
练习1.对任意等比数列，下列说法一定正确的是（）
A. 成等比数列
B. 成等比数列
C. 成等比数列
D. 成等比数列
答案：D
练习2.已知数列中，
证明：数列 是等比数列
求
答案：（1）数列是首项为2，公比为2的等比数列
（2）
例2.已知等比数列中，且，求
解析：设等比数列的公比为由得即 解得 或（舍去），因此所以的通项公式为
答案：
练习3.已知等比数列中，，求
答案：
练习4.若等比数列满足 则公比为 （）
A.2 B.4 C.8 D.16
答案：B
类型二： 等比数列的性质
例3. 在等比数列中，且则 （）
A.27 B.16 C.81 D.36
解析：设公比为由已知得 因为所以 解得或（舍），故
答案：A
练习5.已知各项均为正数的等比数列中， 则 （）
A. B. C. D.
答案：A
练习6.已知数列为等比数列，若 则 的值为（）
A.10 B.20 C.60 D.100
答案：D
例4.若等比数列的各项均为正数，且 则
解析：因为等比数列中， 所以由 可解得 所以
答案：50
练习7.若等比数列满足 则 ________________
答案：
练习8.在各项均为正数的等比数列中，若 则的值是_________
答案：4
类型三：等比数列与指数函数的关系；等差数列与等比数列的结合
例5.已知等比数列中，求
解析：由知等比数列的公比，设其通项公式为由已知得 解得 或 当时；当时；故或
答案：或
练习9.已知是等差数列，公差 且成等比数列，则 （）
A. B. C. D.
答案：D
练习10.设为公比的等比数列，若 和是方程的两根，则 ______________
答案：18
例6. 设等差数列的公差不为0，若 是 与的等比中项，则 （）
A.2 B.4 C.6 D.8
解析：由题意得又所以即解得或（舍）
答案：B
练习11.各项均为正数的等比数列的公比且成等差数列，则的值为（）
A. B. C. D.或
答案：C
练习12.已知成等比数列，如果和都成等差数列，则 __________
答案：2

1. 公差不为零的等差数列{an}，a2，a3，a7成等比数列，则它的公比为(　　)
A．－4 B．－ C. D．4
答案：D
2. 若2a，b,2c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．0或2
答案：B
3. 若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
答案：B
4. 在等比数列{an}中，a4＋a5＝10，a6＋a7＝20，则a8＋a9等于(　　)
A．90　　 B．30 C．70 D．40
答案：D
5. 对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
答案：D
6. 等比数列{an}各项为正数，且3是a5和a6的等比中项，则a1·a2·…·a10＝(　　)
A．39 B．310 C．311 D．312
答案：B
7. 在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则的值为(　　)
A．9 B．1 C．2 D．3
答案：D


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基础巩固
1. 已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
答案：C
2. 在等比数列{an}中，an>an＋1，且a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则等于(　　)
A.　 　B. C. D．6
答案：　A
3. 已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于(　　)
A．－ B．－2 C．2　 D.
答案：D
4. 已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝(　　)
A．64 B．81 C．128 D．243
答案：A
5. 如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝±3，ac＝9
答案：B
6. 已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝__________.
答案：　3·2n－3
7. 已知等比数列前3项为，－，，则其第8项是________．
答案：－
8. 已知等比数{an}中，a1＝，a7＝27，求an.
答案：由a7＝a1q6，得27＝·q6，
∴q6＝272＝36，∴q＝±3.
当q＝3时，an＝a1qn－1＝×3n－1＝3n－4；
当q＝－3时，an＝a1qn－1＝×(－3)n－1＝－(－3)－3·(－3)n－1＝－(－3)n－4.
故an＝3n－4或an＝－(－3)n－4.
9. 在各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．
答案：4
10. 已知等比数列{an}的公比q＝－，则等于________．
答案：－3
11. 已知数列{an}为等比数列．
(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an；
(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q.
答案：(1)∵a1a2a3＝216，∴a2＝6，
∴a1a3＝36.
又∵a1＋a3＝21－a2＝15，
∴a1、a3是方程x2－15x＋36＝0的两根3和12.
当a1＝3时，q＝＝2，an＝3·2n－1；
当a1＝12时，q＝，an＝12·()n－1.
(2)∵a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，
∴q4＝4，∴q＝±.


能力提升
12. 设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于(　　)
A．210 B．220 C．216 D．215
答案：　B
13. 如果数列{an}是等比数列，那么(　　)
A．数列{a}是等比数列
B．数列{2an}是等比数列
C．数列{lgan}是等比数列
D．数列{nan}是等比数列
答案：A
14. 在等比数列{an}中，公比为q，则下列结论正确的是(　　)
A．当q>1时，{an}为递增数列
B．当0C．当n∈N＋时，anan＋2>0成立
D．当n∈N＋时，anan＋2an＋4>0成立
答案：C
15. 等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝(　　)
A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1 C．(－2)n D．－(－2)n
答案：　A
16. 各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为(　　)
A.　 　B. C.　　 D.或
答案：　C


17. 在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为(　　)
A．16 B．27 C．36 D．81
答案：B
18. 若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，logax，logbx，logcx(　　)
A．依次成等差数列
B．依次成等比数列
C．各项的倒数依次成等差数列
D．各项的倒数依次成等比数列
答案：C
19. 在8和5 832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是__________．
答案：648
20. 从盛满20 L纯酒精的容器里倒出1升后用水添满，再倒出1 L混合溶液，再用水添满，这样连续进行，一共倒5次，这时容器里有纯酒精约__________L(结果保留3位有效数字)．
答案：15.5
21. 已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c(　　)
A．成等差数列不成等比数列
B．成等比数列不成等差数列
C．成等差数列又成等比数列
D．既不成等差数列又不成等比数列
答案：A
22. 公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
答案：　16
23. 在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__________．
答案：3或27
24. {an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11.
答案：　∵{an}为等比数列，
∴a1·a9＝a3·a7＝64，又a3＋a7＝20，
∴a3、a7是方程t2－20t＋64＝0的两个根．
∴a3＝4，a7＝16或a3＝16，a7＝4，
当a3＝4时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20，
∴1＋q4＝5，∴q4＝4.
当a3＝16时，a3＋a7＝a3(1＋q4)＝20，
∴1＋q4＝，∴q4＝.
∴a11＝a3q8＝64或1.
25. 设{an}是各项均为正数的等比数列，bn＝log2an，若b1＋b2＋b3＝3，b1·b2·b3＝－3，求此等比数列的通项公式an.
答案：由b1＋b2＋b3＝3，
得log2(a1· a2·a3)＝3，
∴a1·a2·a3＝23＝8，
∵a＝a1·a3，∴a2＝2，又b1·b2·b3＝－3，
设等比数列{an}的公比为q，得log2()·log2(2q)＝－3.
∴1－(log2q)2＝－3，∴log2q＝±2.
解得q＝4或，
∴所求等比数列{an}的通项公式为
an＝a2·qn－2＝22n－3或an＝25－2n.
26. 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．
答案：设{an}的公差为d.
由S3＝a，得3a2＝a，故a2＝0或a2＝3.
由S1，S2，S4成等比数列得S＝S1S4.
又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，
故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．
若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意；
若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2.
因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1.


27. 在等比数列{an}中，
(1)若a4＝27，q＝－3，求a7；
(2)若a2＝18，a4＝8，求a1和q；
(3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
答案：(1)∵a4＝a1q3，
∴a1＝＝＝－1.
∴a7＝a1q6＝－(－3)6＝－729.
(2)由已知，得，
解得，或.
(3)由已知，得
由①÷②，得＝，
所以q＝，或q＝2.
当q＝时，a1＝－16，a3＝a1q2＝－4；
当q＝2时，a1＝1，a3＝a1q2＝4.
28. 在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.
(1)求an；
(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.
答案：(1)设{an}的公比为q，依题意得
，
解得.
因此，an＝3n－1.
(2)因为bn＝log3an＝n－1，
所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝.
29. 设数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3…)．
求证：数列{}是等比数列．
答案：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn.
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn.
∴＝2.
故{}是以2为公比的等比数列．








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