人教版高中数学必修五第2章数列2.3等比数列的概念、性质（学生版）

等比数列的概念、性质




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教学重点： 掌握并理解等比数列的概念及性质，通项公式的求解，等比数列与指数函数的关系
教学难点： 理解等比数例性质及与指数函数的关系


等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第_______项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_________，公比通常用__________表示。
等比数列的通项公式
____________________
等比中项
如果三个数组成等比数列，那么叫做和的等比中项，其中___________
等比数列的性质
（1）公比为的等比数列的各项同乘以一个不为零的数，所得数列仍是等比数列，公比仍为
（2）若，则__________________
（3）若等比数列的公比为，则是以_________为公比的等比数列
（4）等比数列中，序号成等差数列的项构成等比数列
（5）若与均为等比数列，则也为等比数列

等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式 当且时，是一个指数函数，设则，等比数列可以看成是函数，因此，等比数列各项所对应的点是函数的图像上的一群孤立的点。
根据指数函数的性质，我们可以得到等比数列的增减性的下列结论：
等比数列递增 或
等比数列递减 或
等比数列为常数列
等比数列为摆动数列


类型一： 等比数列的判定及通项公式的求解
例1. 对任意等比数列，下列说法一定正确的是（）
A.数列不可能是等比数列
B.数列（为常数） 一定是等比数列
C.若，则一定是等差数列
D.数列是等比数列，其公比与数列的公比相等
练习1.对任意等比数列，下列说法一定正确的是（）
A. 成等比数列
B. 成等比数列
C. 成等比数列
D. 成等比数列
练习2.已知数列中，
证明：数列 是等比数列
求
例2.已知等比数列中，且，求

练习3.已知等比数列中，，求
练习4.若等比数列满足 则公比为 （）
A.2 B.4 C.8 D.16
类型二： 等比数列的性质
例3. 在等比数列中，且则 （）
A.27 B.16 C.81 D.36
练习5.已知各项均为正数的等比数列中， 则 （）
A. B. C. D.
练习6.已知数列为等比数列，若 则 的值为（）
A.10 B.20 C.60 D.100
例4.若等比数列的各项均为正数，且 则
解析：因为等比数列中， 所以由 可解得 所以
练习7.若等比数列满足 则 ________________
练习8.在各项均为正数的等比数列中，若 则的值是_________
类型三：等比数列与指数函数的关系；等差数列与等比数列的结合
例5.已知等比数列中，求
练习9.已知是等差数列，公差 且成等比数列，则 （）
A. B. C. D.
练习10.设为公比的等比数列，若 和是方程的两根，则 ______________
例6. 设等差数列的公差不为0，若 是 与的等比中项，则 （）
A.2 B.4 C.6 D.8
练习11.各项均为正数的等比数列的公比且成等差数列，则的值为（）
A. B. C. D.或
练习12.已知成等比数列，如果和都成等差数列，则 __________

1. 公差不为零的等差数列{an}，a2，a3，a7成等比数列，则它的公比为(　　)
A．－4 B．－ C. D．4
2. 若2a，b,2c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．0或2
3. 若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
4. 在等比数列{an}中，a4＋a5＝10，a6＋a7＝20，则a8＋a9等于(　　)
A．90　　 B．30 C．70 D．40
5. 对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
6. 等比数列{an}各项为正数，且3是a5和a6的等比中项，则a1·a2·…·a10＝(　　)
A．39 B．310 C．311 D．312
7. 在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则的值为(　　)
A．9 B．1 C．2 D．3


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基础巩固
1. 已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
2. 在等比数列{an}中，an>an＋1，且a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则等于(　　)
A.　 　B. C. D．6
3. 已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于(　　)
A．－ B．－2 C．2　 D.
4. 已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝(　　)
A．64 B．81 C．128 D．243
5. 如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　)
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝±3，ac＝9
6. 已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝__________.
7. 已知等比数列前3项为，－，，则其第8项是________．
8. 已知等比数{an}中，a1＝，a7＝27，求an.
9. 在各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．
10. 已知等比数列{an}的公比q＝－，则等于________．
11. 已知数列{an}为等比数列．
(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an；
(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q.

能力提升
12. 设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于(　　)
A．210 B．220 C．216 D．215
13. 如果数列{an}是等比数列，那么(　　)
A．数列{a}是等比数列
B．数列{2an}是等比数列
C．数列{lgan}是等比数列
D．数列{nan}是等比数列
14. 在等比数列{an}中，公比为q，则下列结论正确的是(　　)
A．当q>1时，{an}为递增数列
B．当0C．当n∈N＋时，anan＋2>0成立
D．当n∈N＋时，anan＋2an＋4>0成立
15. 等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an＝(　　)
A．(－2)n－1 B．－(－2)n－1 C．(－2)n D．－(－2)n
16. 各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为(　　)
A.　 　B. C.　　 D.或


17. 在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为(　　)
A．16 B．27 C．36 D．81
18. 若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x>1时，logax，logbx，logcx(　　)
A．依次成等差数列
B．依次成等比数列
C．各项的倒数依次成等差数列
D．各项的倒数依次成等比数列
19. 在8和5 832之间插入5个数，使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是__________．
20. 从盛满20 L纯酒精的容器里倒出1升后用水添满，再倒出1 L混合溶液，再用水添满，这样连续进行，一共倒5次，这时容器里有纯酒精约__________L(结果保留3位有效数字)．
21. 已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c(　　)
A．成等差数列不成等比数列
B．成等比数列不成等差数列
C．成等差数列又成等比数列
D．既不成等差数列又不成等比数列
22. 公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.
23. 在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是__________．
24. {an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11.
25. 设{an}是各项均为正数的等比数列，bn＝log2an，若b1＋b2＋b3＝3，b1·b2·b3＝－3，求此等比数列的通项公式an.
26. 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．

27. 在等比数列{an}中，
(1)若a4＝27，q＝－3，求a7；
(2)若a2＝18，a4＝8，求a1和q；
(3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
28. 在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.
(1)求an；
(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.
29. 设数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3…)．
求证：数列{}是等比数列．













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