人教版高中数学必修五第2章数列2.3等比数列的前n项和公式（教师版）

等比数列的前n项和公式



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教学重点： 掌握等比数列前项和通项公式及性质，理解等比数列前项和公式与函数的关系
教学难点： 等比数列前项和通项公式的性质的应用




等比数列前项和通项公式
设等比数列的前项和为，则
当时，
当时，
等比数列前项和公式的性质
等比数列中，连续项的和（如）仍组成等比数列（注意：公比）
是公比不为1的等比数列
（为公比）
若等比数列的项数为，则偶/奇 ；若等比数列的项数为 ，则 奇/偶



等比数列前项和公式与函数的关系
当 时，是关于的正比例函数（常数项为0的一次函数）；当时，是的一个指数式与一个常数的和，其中指数式的系数和常数项互为相反数，且
当时，数列的图像是正比例函数的图像上的一群孤立的点；当时，数列的图像是函数的图像上的一群孤立的点。
若 表示数列的前项和，且则数列是等比数列。


类型一：等比数列前项和通项公式
在等比数列中，若求
解析：由以及已知条件得
答案：
练习1. 在等比数列中，若，求和
答案：
练习2. 在等比数列中，若求
答案：
例2.等比数列中，已知求和公比
解析：当时，符合题意；当时，由已知得 解得或（舍）
答案：
练习3.已知数列满足则的前10项和等于
答案：
练习4.设公比为的等比数列的前项和为若则为____
答案：
类型二： 等比数列前项和公式的性质
例3.等比数列的前项和为，若则 ___________
解析：是等比数列，仍成等比数列，又
答案：70
练习5. 等比数列的前项和为，已知则 （）
A. B. C. D.
答案：A
练习6.已知等比数列的前项和则实数的值是（）
A.-3 B.3 C.-1 D. 1
答案：A
类型三： 等比数列前项和公式与函数关系
例4.若等比数列中，前 项和，则（）
A.-2 B.2 C.1 D.-1
解析：由题意知，为公比不为1的等比数列，因为故故选D
答案：D


练习7.设为等比数列的前项和，已知求
答案：当时，
当时，
练习8.已知等比数列的前项和为则的值为_______
答案：
例5.数列的前 项和等于（）
A. B. C. D.
解析：不妨设该数列为，其前项和为，则
答案：D
练习9.已知数列满足则 ____________
答案：
练习10. ________________
答案：

1. 已知等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为(　　)
A．514　　　 B．513 C．512 D．510
答案：D
2. 等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于(　　)
A．6　 B．5 C．4 D．3
答案：C
3. 已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a的值等于(　　)
A．－4　 B．－1 C．0 D．1
答案：B


4．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为(　　)
1 2
1
a
b
c

A．1　 B．2 C．3 D．4
答案：A
5. 若Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2，则{an}是(　　)
A．等比数列，但不是等差数列
B．等差数列，但不是等比数列
C．等差数列，但也是等比数列
D．既不是等差数列，又不是等比数列
答案：B
6. 设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)
A．6　 B．7 C．8 D．9
答案：A
7. 等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝(　　)
A．7　 B．8 C．15 D．16
答案：C
8. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　)
A．13　 B．35 C．49 D．63
答案：C



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基础巩固
1. 在数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，则a1，a3，a5(　　)
A．成等差数列　 B．成等比数列 C．倒数成等差数列 D．不确定
答案：B
2. 等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为(　　)
A．81 　B．120 C．168 D．192
答案：B
3. 已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为(　　)
A．或5　 B．或5 C． D．
答案：C
4. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝27，则S9＝(　　)
A．81　 B．72 C．63 D．54
答案：C
5. 设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________.
答案：15
6. 若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝______，前n项和Sn＝______.
答案：2，　2n＋1－2
7. 设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．
答案：－
8. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.
答案：24
9. 已知等差数列{an}的公差不为0，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求a1＋a4＋a7＋a10＋…＋a3n－2.
答案：(1)设公差为d，由题意，得
a＝a1·a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)，
又a1＝25，解得d＝－2或d＝0(舍去)．
∴an＝a1＋(n－1)d＝25＋(－2)×(n－1)＝27－2n.
(2)由(1)知a3n－2＝31－6n，
∴数列a1，a4，a7，a10，…，是首项为25，公差为－6的等差数列．
令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2
＝＝－3n2＋28n.
10. 在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3·a5＝64，求数列{an}的前8项和．
答案：解法一：设数列{an}的公比为q，根据通项公式an＝a1qn－1，由已知条件得
a6－a4＝a1q3(q2－1)＝24， ①
a3·a5＝(a1q3)2＝64，
∴a1q3＝±8.
将a1q3＝－8代入①式，得q2＝－2，没有实数q满足此式，故舍去．
将a1q3＝8代入①式，得q2＝4，∴q＝±2.
当q＝2时，得a1＝1，所以S8＝＝255；
当q＝－2时，得a1＝－1，所以S8＝＝85.
解法二：因为{an}是等比数列，所以依题意得
a＝a3·a5＝64，
∴a4＝±8，a6＝24＋a4＝24±8.
因为{an}是实数列，所以＞0，
故舍去a4＝－8，而a4＝8，a6＝32，从而a5＝±＝±16.
公比q的值为q＝＝±2，
当q＝2时，a1＝1，a9＝a6q3＝256，
∴S8＝＝255；
当q＝－2时，a1＝－1，a9＝a6q3＝－256，
∴S8＝＝85.




能力提升

11. 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝·(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是(　　)
A．5月、6月 B．6月、7月 C．7月、8月 D．8月、9月
答案：C
12. 已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝(　　)
A．n(2n－1)　 B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2
答案：C
13. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　)
A．2　 B． C． D．3
答案：B
14. 等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值为(　　)
A．1　 B．－ C．1或－ D．－1或
答案：　C
15. 已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是(　　)
A．7　 B．9 C．63 D．7或63
答案：D
16. 已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　)
A．16(1－4－n)　 B．16(1－2－n) C．(1－4－n) D．(1－2－n)
答案：C
17. 等比数列{an}中，若前n项的和为Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________.
答案：(4n－1)
18. 已知数列{an}的前n项和Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S22－S11＝________.
答案：－65
19. 等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1等于(　　)
A．　 B． C．20 D．110
答案：B

20. 已知数列{an}的首项a1＝2，且an＝4an－1＋1(n≥2)，则a4为(　　)
A．148　 B．149 C．150 D．151
答案：B
21．已知a，b，c成等比数列，a，x，b成等差数列，b，y，c也成等差数列，则＋的值__________．
答案：2
22. 将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2　3
4　5　6
7　8　9　10
……
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．

答案：
23. 设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.
答案：(1)设公比为q(q>0)，
∵a1＝2，a3＝a2＋4，
∴a1q2－a1q－4＝0，
即q2－q－2＝0，解得q＝2，
∴an＝2n.
(2)由已知得bn＝2n－1，
∴an＋bn＝2n＋(2n－1)，
∴Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)
＝＋
＝2n＋1－2＋n2.



24. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列．
(2)求数列{an}的前n项和．
答案：(1)∵an＋1＝2an＋2n，
∴＝＋1，即bn＋1＝bn＋1，
∴bn＋1－bn＝1.
故数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)知bn＝n，∴an＝n·2n－1.
Sn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1，
2Sn＝1×21＋2×22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，
两式相减得－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n
＝－n·2n
＝2n－1－n·2n，
∴Sn＝(n－1)2n＋1.
25. 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
答案：(1)∵S1，S3，S2成等差数列，2S3＝S1＋S2，
∴q＝1不满足题意．
∴＝a1＋，
解得q＝－.
(2)由(1)知q＝－，
又a1－a3＝a1－a1q2＝a1＝3，
∴a1＝4.
∴Sn＝
＝[1－(－)n]．
26. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝，S6＝.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝6n－61＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
答案：(1)∵S6≠2S3，∴q≠1.
∴，
解得q＝2，a1＝.
∴an＝a1qn－1＝2n－2.
(2)bn＝6n－61＋log22n－2
＝6n－61＋n－2＝7n－63.
bn－bn－1＝7n－63－7n＋7＋63＝7，
∴数列{bn}是等差数列．
又b1＝－56，∴Tn＝nb1＋n(n－1)×7
＝－56n＋n(n－1)×7
＝n2－n.
27. 设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S4＝1，S8＝17，求Sn.
答案：设{an}公比为q，由S4＝1，S8＝17，知q≠1，
∴，
两式相除并化简，得q4＋1＝17，即q4＝16.
∴q＝±2.
∴当q＝2时，a1＝，Sn＝＝(2n－1)；
当q＝－2时，a1＝－，Sn＝
＝[(－2)n－1]．
28. 已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n＝1,2，….
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和Sn.
答案：(1)∵an＋1＝，
∴＝＝＋·，
∴－1＝，
又a1＝，∴－1＝，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)知－1＝·＝，
即＝＋1，∴＝＋n.
设Tn＝＋＋＋…＋， ①
则Tn＝＋＋…＋＋， ②
①－②得Tn＝＋＋…＋－
＝－＝1－－，
∴Tn＝2－－.又1＋2＋3＋…＋n＝.
∴数列的前n项和
Sn＝2－＋＝－.

















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