人教版高中数学必修五第2章数列拓展1数列的前n项和求解方法（教师版）
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学必修五第2章数列拓展1数列的前n项和求解方法（教师版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-08-09 21:33:41 | ||
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文档简介
数列的前n项和求解方法
__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________
教学重点： 掌握数列前项和的求和方法，公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化求和法、并项求和等方法的应用。
教学难点： 了解数列求和的方法的应用。
一、数列求和基本方法
1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和.
2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.
3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项.
4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n项和公式的方法.
5．反序求和法：将一个数列的倒数第k项（k=1，2，3，…，n）变为顺数第k项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n项和公式的方法.
二．常用结论
（1） 1+2+3+...+n =
（2）1+3+5+...+(2n-1) =
（3）
（4）
（5）
（6）
类型一： 用公式法、倒序相加法求数列的和
例1. 求和：.
解析：法一：
①
则 ②
∴①+②有：
∴
法二：
.
答案：见解析
练习1. 求和.
答案：
∴
∴
∴
例2. 数列的前项和为，已知
（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和。
解析：由得：，即，所以，对成立。
由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立。
（Ⅱ）。
而，
，
答案：见解析
练习2. 设，定义，其中n∈N*.
（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）若，
答案：（1）＝2，，，
∴
∴，∴数列｛an｝上首项为，公比为的等比数列，
（2）
两式相减得：
类型二： 错位相减、裂项相消、分组转化求和、并项求和等方法
例3. 已知数列的通项公式，求它的前n项和.
解析：
=
=
答案：见解析
练习3. 已知数列的通项公式求它的前n项和.
答案：
例4. 已知数列的各项为正数，其前n项和，
（I）求之间的关系式，并求的通项公式；
（II）求证
解析：I）①，而②，
①—②得
的等差数列，
（II）
答案：见解析
练习4. 设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上。
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。
答案：（1）（2）满足要求的最小整数m为10。
1. 求
答案：
2. 求数列，，，…，的前n项的和.
答案：
.
3. 求和.
答案：(1+2+3+…+n)+
=
4. 求和.
答案：当x=±1时，Sn=4n；
当x≠±1时，
=
=
5. 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：=，求数列的前项和.
答案：（Ⅰ）由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.
（Ⅱ）==
=,
所以
=+
6. 已知数列{}的通项公式是项和为
答案：
7. 已知{}的前n项和的值为
答案：67
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
基础巩固
1. 求和：
答案：
2. 已知数列
答案：为等比数列，∴应运用错位求和方法：
3. 求和
答案：
而运用反序求和方法是比较好的想法，
①，
②，
①+②得
4. 若
答案：
5. 设函数
求和：
答案：
①当n为偶数时
=
②当n为奇数时
6. 设正项等比数列的首项，前n项和为，且。（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求的前n项和。
答案：（Ⅰ）由 得
即
可得
因为，所以 解得，因而
（Ⅱ）因为是首项、公比的等比数列，故
则数列的前n项和
前两式相减，得
即
7. 已知数列的前项和为 ，点 在直线上，数列 满足 且其前 项和为.
(1)求数列, 的通项公式；
(2)设 ，数列的前n项的和为 ，求使不等式 对一切 都成立的最大正整数的值
答案：（1），，
（2）
故k的最大正整数值为18。
8. 数列{}的前n项和为，且满足
（I）求与的关系式，并求{}的通项公式；
（II）求和
答案：（I）
（II）
9. 将等差数列{}的所有项依次排列，并如下分组：（），（），（），…，其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，…，第n组有项，记Tn为第n组中各项的和，已知T3=-48，T4=0，
（I）求数列{}的通项公式；
（II）求数列{Tn}的通项公式；
（III）设数列{ Tn }的前n项和为Sn，求S8的值.
答案：（I）设{}的公差为d，则①，②，解①、②得
（II）当时，在前n－1组中共有项数为
∴第n组中的
（III）
能力提升
10. 已知抛物线，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点．
（Ⅰ）令，求证：数列是等比数列．并求数列的前项和为
答案：（1）因为、在抛物线上，故①②，又因为直线的斜率为，即，①②代入可得， 故是以
为公比的等比数列；，
11. 数列{an}中，a1=1，且an+1 =Sn（n≥1，n∈N*），数列{bn}是等差数列，其公差d>0，b1=1，且b3、b7+2、3b9成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{cn}满足cn=，求{cn}的前n项和Tn．
答案：I）由已知有，即，w_w w. k#s5_u.c o*m
∴ {Sn}是以S1=a1=1为首项，2为公比的等比数列．
∴ Sn=．
由 得
∵ b3，b7+2，3b9成等比数列，∴ (b7+2)2=b3·3b9，即 (1+6d+2)2=(1+2d)·3(1+8d)，
解得 d=1或d=(舍)，∴ ．
（II）Tn=a1b1+a2b2+……+anbn=1×1+2×20+3×21+…+n×，
设T=2×20+3×21+…+n×，∴ 2T=2×21+3×22+…+n×，
相减得-T=2+21+22+…+-n·，
即T=(n-1)·，
∴ Tn=1+(n-1)· (n∈N*)．
12. 已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。
答案：I）取，得 ①
取，得 ②
由②①，得 ③
（1）若，由①知
（2）若，由③知 ④
由①、④解得，；或
综上可得，；或；或
（II）当时，由（I）知
当时，有，
所以，即，所以令，则
所以数列是单调递减的等差数列（公差为），从而当时，，
故时，取得最大值，且的最大值为
13. 设数列{}中， 中5的倍数的项依次记为
，
（I）求的值.
（II）用k表示，并说明理由.
（III）求和：
答案：（I）
（II）
（III）
14. 已知数列{}满足：的前n项和
.
答案：当
而
(
①
)
②，
①－②得
15. 已知数列{}的各项分别为的前n项和.
答案：
（1）
（2）当
①
②当时，1）当n为奇数时
2）当n为偶数时
1
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教学重点： 掌握数列前项和的求和方法，公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化求和法、并项求和等方法的应用。
教学难点： 了解数列求和的方法的应用。
一、数列求和基本方法
1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和.
2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.
3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项.
4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n项和公式的方法.
5．反序求和法：将一个数列的倒数第k项（k=1，2，3，…，n）变为顺数第k项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n项和公式的方法.
二．常用结论
（1） 1+2+3+...+n =
（2）1+3+5+...+(2n-1) =
（3）
（4）
（5）
（6）
类型一： 用公式法、倒序相加法求数列的和
例1. 求和：.
解析：法一：
①
则 ②
∴①+②有：
∴
法二：
.
答案：见解析
练习1. 求和.
答案：
∴
∴
∴
例2. 数列的前项和为，已知
（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和。
解析：由得：，即，所以，对成立。
由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立。
（Ⅱ）。
而，
，
答案：见解析
练习2. 设，定义，其中n∈N*.
（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）若，
答案：（1）＝2，，，
∴
∴，∴数列｛an｝上首项为，公比为的等比数列，
（2）
两式相减得：
类型二： 错位相减、裂项相消、分组转化求和、并项求和等方法
例3. 已知数列的通项公式，求它的前n项和.
解析：
=
=
答案：见解析
练习3. 已知数列的通项公式求它的前n项和.
答案：
例4. 已知数列的各项为正数，其前n项和，
（I）求之间的关系式，并求的通项公式；
（II）求证
解析：I）①，而②，
①—②得
的等差数列，
（II）
答案：见解析
练习4. 设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上。
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。
答案：（1）（2）满足要求的最小整数m为10。
1. 求
答案：
2. 求数列，，，…，的前n项的和.
答案：
.
3. 求和.
答案：(1+2+3+…+n)+
=
4. 求和.
答案：当x=±1时，Sn=4n；
当x≠±1时，
=
=
5. 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：=，求数列的前项和.
答案：（Ⅰ）由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.
（Ⅱ）==
=,
所以
=+
6. 已知数列{}的通项公式是项和为
答案：
7. 已知{}的前n项和的值为
答案：67
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基础巩固
1. 求和：
答案：
2. 已知数列
答案：为等比数列，∴应运用错位求和方法：
3. 求和
答案：
而运用反序求和方法是比较好的想法，
①，
②，
①+②得
4. 若
答案：
5. 设函数
求和：
答案：
①当n为偶数时
=
②当n为奇数时
6. 设正项等比数列的首项，前n项和为，且。（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求的前n项和。
答案：（Ⅰ）由 得
即
可得
因为，所以 解得，因而
（Ⅱ）因为是首项、公比的等比数列，故
则数列的前n项和
前两式相减，得
即
7. 已知数列的前项和为 ，点 在直线上，数列 满足 且其前 项和为.
(1)求数列, 的通项公式；
(2)设 ，数列的前n项的和为 ，求使不等式 对一切 都成立的最大正整数的值
答案：（1），，
（2）
故k的最大正整数值为18。
8. 数列{}的前n项和为，且满足
（I）求与的关系式，并求{}的通项公式；
（II）求和
答案：（I）
（II）
9. 将等差数列{}的所有项依次排列，并如下分组：（），（），（），…，其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，…，第n组有项，记Tn为第n组中各项的和，已知T3=-48，T4=0，
（I）求数列{}的通项公式；
（II）求数列{Tn}的通项公式；
（III）设数列{ Tn }的前n项和为Sn，求S8的值.
答案：（I）设{}的公差为d，则①，②，解①、②得
（II）当时，在前n－1组中共有项数为
∴第n组中的
（III）
能力提升
10. 已知抛物线，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点．
（Ⅰ）令，求证：数列是等比数列．并求数列的前项和为
答案：（1）因为、在抛物线上，故①②，又因为直线的斜率为，即，①②代入可得， 故是以
为公比的等比数列；，
11. 数列{an}中，a1=1，且an+1 =Sn（n≥1，n∈N*），数列{bn}是等差数列，其公差d>0，b1=1，且b3、b7+2、3b9成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{cn}满足cn=，求{cn}的前n项和Tn．
答案：I）由已知有，即，w_w w. k#s5_u.c o*m
∴ {Sn}是以S1=a1=1为首项，2为公比的等比数列．
∴ Sn=．
由 得
∵ b3，b7+2，3b9成等比数列，∴ (b7+2)2=b3·3b9，即 (1+6d+2)2=(1+2d)·3(1+8d)，
解得 d=1或d=(舍)，∴ ．
（II）Tn=a1b1+a2b2+……+anbn=1×1+2×20+3×21+…+n×，
设T=2×20+3×21+…+n×，∴ 2T=2×21+3×22+…+n×，
相减得-T=2+21+22+…+-n·，
即T=(n-1)·，
∴ Tn=1+(n-1)· (n∈N*)．
12. 已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值。
答案：I）取，得 ①
取，得 ②
由②①，得 ③
（1）若，由①知
（2）若，由③知 ④
由①、④解得，；或
综上可得，；或；或
（II）当时，由（I）知
当时，有，
所以，即，所以令，则
所以数列是单调递减的等差数列（公差为），从而当时，，
故时，取得最大值，且的最大值为
13. 设数列{}中， 中5的倍数的项依次记为
，
（I）求的值.
（II）用k表示，并说明理由.
（III）求和：
答案：（I）
（II）
（III）
14. 已知数列{}满足：的前n项和
.
答案：当
而
(
①
)
②，
①－②得
15. 已知数列{}的各项分别为的前n项和.
答案：
（1）
（2）当
①
②当时，1）当n为奇数时
2）当n为偶数时
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