人教版高中数学必修五第2章数列拓展2数列的通项公式求解方法（教师版）

数列的通项公式求解方法



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教学重点： 掌握数列通项公式的求解方法；
教学难点： 掌握并理解由递推关系求数列的通项公式。




用归纳法求通项公式；
利用与的关系求通项公式；
累加法：若已知且的形式；
累乘法：若已知且的形式；
构造法：若已知且的形式 （其中p，q均为常数）；
迭代法：将代入得到与的关系，…，寻求规律求出通项公式；
7.倒数法：一般地形如、等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。


类型一： 归纳法求数列的通项公式
例1. 已知点的序列，其中，，是线段的中点，是线段的中点，…，是线段的中点，…
写出与之间的关系式（）。
设，计算，由此推测的通项公式，并加以证明。
解析：（1）∵ 是线段的中点， ∴
（2），
=，
=，
猜想，下面用数学归纳法证明
当n=1时，显然成立；
假设n=k时命题成立，即
则n=k+1时，=
=
∴ 当n=k+1时命题也成立，
∴ 命题对任意都成立。
答案：见解析
练习1. 根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，…（2）
答案：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：
（2）
练习2：（1）（2）
答案：（1） （2）.
类型二：利用与的关系求通项公式
例2. 已知各项均为正数的数列{}的前n项和为满足＞1且6= n∈ 求{}的通项公式。

解析：由=解得=1或=2，由已知＞1，因此=2又由=得
=0 ∵＞0 ∴
从而{}是首项为2，公差为3的等差数列，故{}的通项为=2+3(n-1)=3n-1.
答案：=2+3(n-1)=3n-1.
练习3. 已知各项全不为0的数列{}的前k项和为，且=(k∈)其中=1，求数列{}的通项公式。
答案：当k=1时，=及=1得=2； 当k≥2时，
由==得=2∵≠0∴=2
从而=1+(m-1)2=2m-1 =2+(m-1)2=2m (m∈) 故=k (k∈).
练习4. 数列{}的前n项和为，=1， ( n∈),求{}的通项公式。
答案：由=1，=2，当n≥2时==得=3，因此{}是首项为=2，q=3的等比数列。故= (n≥2),而=1不满足该式
所以=。
类型三： 由递推关系求数列的通项公式
例3. 已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。
解析：易知∵ ……
各式相加得∴
答案：
练习5. 若在数列中，，，求通项
答案：由得，所以，，…，，
将以上各式相加得：，又所以 =
练习6. 已知数列满足，，求
答案：由条件知：
分别令，代入上式得个等式累加之，即

所以 ，
例4. 在数列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表达式
解析：首先由易求的递推公式：
将上面n—1个等式相乘得：

答案：见解析
练习7. 在数列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表达式。
答案：由(n+1)·=n·得，
=··…= 所以



例5.设数列满足求
解析：原条件变形为两边同乘以得.
∵
∴
答案：
练习8. 设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式
答案：两边取对数得：，，设，则 是以2为公比的等比数列，.，，，∴
例6. 已知数列满足， ，求
解析：将两边同除，得
设，则．令
．条件可化成，数列是以为首项，
为公比的等比数列．．因,
．
答案：
练习9.设数列：，求.
答案：

1. 该数列{}的前n项和 (n=1、2、3……) 求{}的通项公式。
答案：由 (n=1、2、3……)…①得=
所以=2 再= （n=2、3…）…②
将①和②相减得：==
整理得 （n=2、3…）因而数列{}是首项为,q=4
的等比数列。即==，因而。
2. 数列的首项为，为等差数列且．若则，，则
A．0 B．3 C．8 D．11
答案：B
3. 若在数列中，，，求通项
答案：=
4. 在数列中，，（），求通项
答案：=…=…=
5. 已知数列满足，求数列的通项公式。
答案：
6. 已知数列满足：求
答案：作方程 当时，
数列是以为公比的等比数列.
于是


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基础巩固
1. 已知数列满足，求数列的通项公式
答案：由题知：



2. 在数列{}中，=1， (n=2、3、4……) ，求{}的通项公式
答案：∵
这n-1个等式累加得：=
故 且也满足该式 ∴ ().
3. 在数列{}中，=1， (),求
答案：n=1时, =1以上n-1个等式累加得
==，故 且也满足该式 ∴ ()。
4. 在数列{}中，=1，，求
答案：由已知得 ，分别取n=1、2、3……(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以时，故
且=1也适用该式 ∴ ().
5. 已知数列{}满足=，，求
答案：由已知得，分别令n=1，2，3，….(n-1),代入
上式得n-1个等式累乘，即=
所以，又因为也满足该式，所以。
6. 已知数列满足，求数列的通项公式
答案：
7. 已知数列满足，求的通项公式
答案：
8. 已知数列满足，求数列的通项公式
答案：
9. 已知数列满足，求数列的通项公式
答案：两边除以，得，
则，故

因此，
则
10. 已知数列满足，求数列的通项公式
答案：
11. 已知数列满足，求数列的通项公式
答案：
12. 已知数列满足，，求数列的通项公式
答案：因为，所以。在式两边取常用对数得 ⑩
设
将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则
，故
代入式，得
由及式，
得，
则，
所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此
则。
13. 已知数列满足，求数列的通项公式
答案：因为，所以

又，所以数列的通项公式为。
14. 已知数列满足，求数列的通项公式
答案：由及，得

由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。
（1）当时，，所以等式成立。
（2）假设当时等式成立，即，则当时，


由此可知，当时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。
15. 已知数列满足，求数列的通项公式
答案：令，则
故，代入得

即
因为，故
则，即，
可化为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得
。
能力提升

16. 已知数列满足，求数列的通项公式
答案：
17. 已知数列满足，，求
答案：
18. 已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.
答案：，
19. 已知数列满足（n∈），且有条件≥2）.
答案：
20. 在数列中，
答案：
21. 两个数列它们的每一项都是正整数，且对任意自然数、、成等差数列，、、成等比数列，
答案：
22. 已知数列{}满足=1，= ()，求数列{}的通项公式。
答案：=
23. 设数列{}的首项，=，n=2、3、4……求{}的通项公式。
答案：=+1
24. 已知数列{}中，=2，= 求{}的通项公式。
答案：=












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