人教版高中数学必修五第3章不等式3.1不等关系与不等式（教师版）

不等关系与不等式


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教学重点： 掌握实数的大小比较方法、不等式的性质的运用
教学难点： 理解不等式性质的证明范围




不等式
用数学符号 连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系。
含有不等号的式子，叫做不等式。
实数的大小关系
实数集与数轴上的点集一一对应；
数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大；
对于任意两个实数和，在三种关系中有且仅有一种关系成立；
在数学中，两个实数的大小可以通过作差比较

不等式的性质
对称性：如果，那么；如果 ，那么；
传递性：如果且，则；
加法法则：如果 ，则；
乘法法则：如果，则；如果，则



类型一： 不等式表示不等关系及实数的大小比较
例1.用不等号表示下列关系
（1）与的和是非负数
（2）实数不小于
解析：（1） （2）
答案：（1） （2）
练习1.（1）实数小于5，但不小于-2
（2）与的差的绝对值大于2，且小于或等于6
答案：（1） （2）
练习2.已知分别对应数轴上的两点，且在原点右侧，在原点左侧，则下列不等式成立的是（）
A. B. C. D.
答案：D
例2.比较与的大小
解析：当 或 即或时，，此时；当时，，此时
答案：或时，；当时，
练习3.比较与（为不相等的正数）的大小
答案：
练习4.已知，则 _________ （填）
答案：
类型二： 不等式性质的证明应用
例3.已知求证
解析：又又即
答案：见解析

练习5.已知求证
答案：
练习6.已知求证
答案：
类型三： 利用不等式的性质求取值范围
例4.已知
求的范围；
求的范围。
解析：（1）


设

答案：（1）（2）
练习7.已知满足
求的范围
求的范围
答案：（1） （2）
练习8.若满足则的取值范围____________
答案：
练习9.设变量满足则的取值范围_____________
答案：
练习10.已知 则的取值范围是___________
答案：


1. 实数m不超过，是指(　　)
A．m>　 B．m≥ C．m< D．m≤
答案：D
2. 设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　)
A．M>N　 B．M＝N C．M答案：A
3. 已知a＝2－，b＝－2，c＝5－2，那么下列各式正确的是(　　)
A．a答案：A
4. 已知a、b、c、d均为实数，有下列命题
①若ab＜0，bc－ad＞0，则－＞0；
②若ab＞0，－＞0，则bc－ad＞0；
③若bc－ad＞0，－＞0，则ab＞0.
其中正确命题的个数是(　　)
A．0　 B．1 C．2 D．3
答案：　C
5. 若aA．>　 B．2a>2b C．|a|>|b| D．()a>()b
答案：B
6. 设a＋b<0，且a>0，则(　　)
A．a2<－ab答案：A

7. 已知a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是(　　)
A．a2＞a＞－a2＞－a　 B．－a＞a2＞－a2＞a C．－a＞a2＞a＞－a2 D．a2＞－a＞a＞－a2
答案：B



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基础巩固
1. 已知aA．b2－4ac>0　 B．b2－4ac＝0
C．b2－4ac<0 D．b2－4ac的正负不确定
答案：A
2. 已知P＝，Q＝a2－a＋1，则P、Q的大小关系为(　　)
A．P>Q　 B．PC．P≤Q D．无法确定
答案：C
3. 已知|a|<1，则与1－a的大小关系为(　　)
A．<1－a　 B．>1－a
C．≥1－a D．≤1－a
答案：C
4. 若a>b>0，则下列不等式中总成立的是(　　)
A．>　 B．a＋>b＋
C．a＋>b＋ D．>
答案：C
5. 已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>aD．以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的不等式命题________．

答案：?③，?②，?①中任选两个即可．
6. 实数a、b、c、d满足下列两个条件：①d>c；②a＋d答案：a7. 设m＝2a2＋2a＋1，n＝(a＋1)2，则m、n的大小关系是________．
答案：m≥n
8. 若(a＋1)2>(a＋1)3(a≠－1)，则实数a的取值范围是________．
答案：a<0且a≠－1
9. 某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂，已知甲型卡车每辆每天往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．
答案：设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意，得
，即
10. (1)已知c＞a＞b＞0.求证：＞.
(2)已知a、b、m均为正数，且a＜b，求证：＞.
答案：(1)∵c＞a＞b＞0∴c－a＞0，c－b＞0，
?＜
?＞.
(2)证法一：－＝，
∵0＜a＜b，m＞0，∴＞0，∴＞.
证法二：＝＝1＋＝1－＞
1－＝.
证法三：∵a、b、m均为正数，∴要证＞，
只需证(a＋m)b＞a(b＋m)，
只需证ab＋bm＞ab＋am，
只要证bm＞am，
要证bm＞am，只需证b＞a，又已知b＞a，
∴原不等式成立.



能力提升

11. 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有多少种？(　　)
A．5种　 B．6种 C．7种 D．8种
答案：C
12. 如图，在一个面积为200 m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上面叙述的不等关系正确的是(　　)

A．a＞4b　 B．(a＋4)(b＋4)＝200
C． D．

答案：C
13. 已知a、b为非零实数，且aA．a2答案：C
14. 若－<α<β<，则α－β的取值范围是(　　)
A．(－π，π)　 B．(0，π) C．(－π，0) D．{0}
答案：　C
15. 已知函数f(x)＝x3，x1、x2、x3∈R，x1＋x2<0，x2＋x3<0，x3＋x1<0，那么f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值(　　)
A．一定大于0　 B．一定小于0
C．等于0 D．正负都有可能
答案：B
16. 若＜＜0，给出下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2.其中正确的有(　　)
A．1个　 B．2个 C．3个 D．4个
答案：B
17. 若a>0，b>0则＋________(填上适当的等号或不等号)．
答案：>
18. 设a＞b＞0，m＞0，n＞0，则p＝，q＝，r＝，s＝的大小顺序是________________．
答案：p＜r＜s＜q
19. 若a>b，则a3与b3的大小关系是________．
答案：a3>b3
20. 若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是________．
答案：x＜y
21. 已知a、b为正实数，试比较＋与＋的大小．
答案：解法一：(＋)－(＋)＝(－)＋(－)＝＋＝
＝.
∵a、b为正实数，∴＋>0，>0，(－)2≥0.
∴≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．
∴＋≥＋，当且仅当a＝b时取等号．
解法二：(＋)2＝＋＋2，
(＋)2＝a＋b＋2，
∴(＋)2－(＋)2＝＋＋2－(a＋b＋2)＝
＝
＝.
∵a、b为正实数，∴≥0，
∴(＋)2≥(＋)2.
又∵＋>0，＋>0，
∴＋≥＋，当且仅当a＝b时取等号
22. 设f(x)＝1＋logx 3，g(x)＝2logx 2，其中x>0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．
答案：f(x)－g(x)＝(1＋logx3)－2logx2
＝logx(3x)－logx4＝logx.
(1)当x>时，logx>0，故f(x)>g(x)；
(2)当x＝时，logx＝0，故f(x)＝g(x)；
(3)当1所以f(x)(4)当00，
所以f(x)>g(x)．
综上知：当x>或0g(x)；
当1当x＝时，f(x)＝g(x)．

23. 如果30＜x＜42,16＜y＜24.分别求x＋y、x－2y及的取值范围．
答案：　46＜x＋y＜66；－48＜－2y＜－32；
∴－18＜x－2y＜10；
∵30即＜＜.
24. 已知a＞0，b＞0，a≠b，n∈N且n≥2，比较an＋bn与an－1b＋abn－1的大小．
答案：(an＋bn)－(an－1b＋abn－1)＝an－1(a－b)＋bn－1(b－a)＝(a－b)(an－1－bn－1)，
(1)当a＞b＞0时，an－1＞bn－1，∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0，
(2)当0＜a＜b时，an－1＜bn－1，∴(a－b)(an－1－bn－1)＞0，
∴对任意a＞0，b＞0，a≠b，总有(a－b)(an－1－bn－1)＞0.∴an＋bn＞an－1b＋abn－1.
25. 某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
答案：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝xn，
y1－y2＝x＋xn－xn
＝x－xn＝x(1－)．
当n＝5时，y1＝y2；当n>5时，y1当n<5时，y1>y2.
因此，当此单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．






















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