人教版高中数学必修五第3章不等式3.2一元二次不等式及其解法（教师版）

一元二次不等式及其解法



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教学重点： 正确理解一元二次不等式的解法；掌握一元二次不等式的不等式的解法；理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系；
教学难点： 理解二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系。




一元二次不等式
一元二次不等式的定义：一般地，含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次等式；
一元二次不等式的解集：使某个一元二次不等式成立的未知数的取值集合叫做这个一元二次不等式的解集；
同解不等式：如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。
一元二次不等式与相应的函数、方程之间的关系
对于一元二次方程设它的解按可分为三种情况，列表如下：

二次函数 （）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R


一元二次不等式的解法步骤
对不等式进行变形，使一端为0，且二次项系数大于0；
计算相应方程的根的判别式；
当时，求出相应的一元二次方程的两根；
根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集。
注：若不等式左侧可因式分解，则可转化为一元一次不等式组求解。（一看，二算，三写）
含参数的一元二次不等式的解法
二次项系数含参数时，根据一元二次不等式的标准形式需要化二次项系数为正，所以要对参数讨论；
解得过程中，若表达式含有参数且参数的取值影响的符号，这时根据的符号确定的需要，对参数进行讨论；
方程的两根表达式中如果有参数，需要对参数讨论才能确定根的大小，这时要对参数进行讨论。
不等式的恒成立问题
结合二次函数的图像和性质用判别式法，当的取值为全体实数时，一般用此法；
从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化为最小值大于零；
能分离变量的尽量把参数和变量分离出来；
数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形。
分式不等式的解法
将分式不等式转化为整式不等式求解，若能直接判断出分子或分母的符号，则可求解，否则应化为以下形式：



（1）
（2）
（3）
（4）


类型一： 一元二次不等式的解法；分式不等式的解法；
例1.解下列不等式：
解析：的根是所以不等式的解集为 或
答案： 或
练习1.解下列不等式：
答案：
练习2.解下列不等式：
答案：
例2.不等式的解集是__________
解析：由，移项得通分得即该不等式等价于 即方程的两根为故原不等式的解集为或
答案：或
练习3.不等式的解集是________________
答案：∞
练习4.使不等式成立的的取值范围是_______________
答案：∞
类型二： 含参数的一元二次不等式的解法
例3.解关于的不等式
解析：若，原不等式
若 原不等式或
若 原不等式
当，原不等式
当 原不等式
当 原不等式
综上所述，当解集为 或
当 ，解集为
当解集为
当，解集为
当解集为
答案：当解集为 或
当 ，解集为
当解集为
当，解集为
当解集为

练习5.已知 ，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
答案：A
练习6.若不等式的解集为，则 _____________
答案：2

类型三： 有关不等式恒成立问题
例4.关于不等式对恒成立，求实数的取值范围
解析：原不等式等价于对恒成立
当时，不等式为显然成立
当时，由不等式恒成立得 解得或
综上，的取值范围为
答案：
练习7.对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
答案：B
练习8.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）
A. B. ∞ C. D.
答案：A
练习9.已知关于的不等式在上恒成立，则实数 的取值范围是____________
答案：
练习10.函数的定义域为，试求 的取值范围___________
答案：



1. 若集合A＝{x|x2－x<0}，B＝{x|0A．{x|0答案：A
2. 不等式(1－x)(3＋x)>0的解集是(　　)
A．(－3,1)　 B．(－∞，－3)∪(1，＋∞) C．(－1,3) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
答案：　A
3. 已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是(　　)
A．－4≤a≤4 B．－4＜a＜4 C．a≤－4或a≥4 D．a＜－4或a＞4
答案：A
4. 若0＜t＜1，则不等式x2－(t＋)x＋1＜0的解集是(　　)
A．{x|＜x＜t} B．{x|x＞或x＜t} C．{x|x＜或x＞t} D．{x|t＜x＜}
答案：　D
5．不等式x2＋2x－3≥0的解集为(　　)
A．{x|x≤－1或x≥3}　 B．{x|－1≤x≤3} C．{x|x≤－3或x≥1} D．{x|－3≤x≤1}
答案：C
6. 不等式x2－4x－5>0的解集是(　　)
A．{x|x≥5或x≤－1}　 B．{x|x>5或x<－1} C．{x|－1答案：　B
7. 不等式－x2≥x－2的解集为(　　)
A．{x|x≤－2或x≥1}　 B．{x|－2答案：C


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基础巩固

1. 不等式组的解集为(　　)
A．{x|－1答案：C
2. 如果不等式<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(－∞，3) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(－∞，＋∞)
答案：A
3. 下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞)
答案：　A
4. 若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是(　　)
A．m＜－2或m＞2 B．－2＜m＜2 C．m≠±2 D．1＜m＜3
答案：A
5. 对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(－2,2) D．(－2,2]
答案：D
6. 不等式＜1的解集是________．
答案：{x＜－4或x＞}
7. 若关于x的不等式－x2＋2x>mx的解集是{x|0答案：1
8. 不等式x2＋x－2<0的解集为________．
答案：{x|－29. 不等式0≤x2－2x－3＜5的解集为________．
答案：{x|－2＜x≤－1或3≤x＜5}
10. 若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3答案：ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3∴a<0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴，解得.
∴不等式bx2＋2ax－c－3b<0
可化为－ax2＋2ax＋15a<0，
即x2－2x－15<0，∴－3∴所求不等式的解集为{x|－311. 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．
答案：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.
∴当a<0时，aa2；
当a＝0时，a2＝a，x≠0；
当0a；
当a＝1时，a2＝a，x≠1；
当a>1时，aa2.
综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}.


能力提升


12. 如果ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>4}，那么对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c有(　　)
A．f(5)答案：C
13. 不等式2x2＋mx＋n>0的解集是{x|x>3或x<－2}，则m、n的值分别是(　　)
A．2,12　 B．2，－2 C．2，－12 D．－2，－12
答案：D
14. 函数y＝的定义域是(　　)
A．[－，－1)∪(1，]
B．[－，－1)∪(1，)
C．[－2，－1)∪(1,2]
D．(－2，－1)∪(1,2)
答案：A
15. 已知关于x的不等式x2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－1或x>2}，则b2＋c2＝(　　)
A．5 B．4 C．1 D．2
答案：A
16. 不等式x2－ax－6a2<0(a<0)的解集为(　　)
A．(－∞，－2a)∪(3a，＋∞) B．(－2a,3a) C．(－∞，3a)∪(2a，＋∞) D．(3a，－2a)
答案：　D
17. a＞0，b＞0.不等式－b＜＜a的解集为(　　)
A．{x|x＜－或x＞} B．{x|－＜x＜} C．{x|x＜－或x＞} D．{x|－＜x＜0或0＜x＜}
答案：A
18．已知函数f(x)＝，则不等式f(x)≥x2的解集为(　　)
A．[－1,1] B．[－2,2] C．[－2,1] D．[－1,2]
答案：A
19. 已知函数y＝(m2＋4m－5)x2＋4(1－m)x＋3对任意实数x，函数值恒大于零，则实数m的取值范围是__________．
答案：1≤m<19
20. 已知集合A＝{x|3x－2－x2＜0}，B＝{x|x－a＜0}且BA，则a的取值范围是(　　)
A．a≤1　 B．1＜a≤2 C．a＞2 D．a≤2
答案：A
21. 对于实数x，当且仅当n≤x答案：{x|2≤x<8}
22. 解下列关于x的不等式：
(1)(5－x)(x＋1)≥0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－x2＋3x－5>0；
(4)－2x2＋3x－2<0.
答案：(1)原不等式化为(x－5)(x＋1)≤0，
∴－1≤x≤5.
∴故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
(2)原不等式化为4x2－18x＋≤0，
即(2x－)2≤0，
∴x＝.
故所求不等式的解集为{x|x＝}．
(3)原不等式化为x2－6x＋10<0，
即(x－3)2＋1<0，∴x∈?.
故所求不等式的解集为?.
(4)原不等式化为2x2－3x＋2>0，
即2(x－)2＋>0
∴x∈R.
故所求不等式的解集为R.
23. 已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B．
(1)求A∩B；
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集．
答案：　(1)由x2－2x－3<0，得－1∴A＝(－1,3)．
由x2＋x－6<0，得－3∴B＝(－3,2)，∴A∩B＝(－1,2)．
(2)由题意，得，
解得.
∴－x2＋x－2<0，∴x2－x＋2>0，
∴不等式x2－x＋2>0的解集为R.
24．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|αα>0，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
答案：　∵ax2＋bx＋c>0的解集为{x|α∴α、β是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a<0.
∴αβ＝，α＋β＝－，∴c＝aαβ，b＝－a(α＋β)．
∵cx2＋bx＋a<0，∴aαβx2－a(α＋β)x＋a<0.
整理，得αβx2－(α＋β)x＋1>0.
∵β>α>0，∴αβ>0，>，
∴x2－(＋)x＋>0.
∵方程x2－(＋)x＋＝0的两根为、.
∴x2－(＋)x＋>0的解集为{x|x>，或x<}，
即不等式cx2＋bx＋a<0的解集为{x|x>，或x<}．
25. 解关于x的不等式：56x2－ax－a2>0.
答案：56x2－ax－a2＞0可化为
(7x－a)(8x＋a)＞0.
①当a＞0时，－＜，∴x＞或x＜－；
②当a＜0时，－＞，∴x＞－或x＜；
③当a＝0时，x≠0.
综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|x>或x<－}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；
当a<0时，原不等式的解集为{x|x>－或x<}．
26. 解关于x的不等式－x>0.
答案：原不等式可化为>0，
即x(mx－1)>0.
当m>0时，解得x<0或x>；
当m<0时，解得当m＝0时，解得x<0.
综上，当m>0时，不等式的解集为{x|x<0或x>}；
当m<0时，不等式的解集为{x|当m＝0时，不等式的解集为{x|x<0}．
27. 当a为何值时，不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0的解集是R?
答案：由a2－1＝0，得a＝±1.
当a＝1时，原不等式化为－1<0恒成立，
∴当a＝1时，满足题意．
当a＝－1时，原不等式化为－2x－1<0，
∴x>－，∴当a＝－1时，不满足题意，故a≠－1.
当a≠±1时，由题意，得
，
解得－综上可知，实数a的取值范围是－



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