人教版高中数学必修五第3章不等式3.3二元一次不等式组及其线性规划（教师版）

二元一次不等式组及其线性规划



__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________

教学重点： 了解二元一次不等式组表示的平面区域，二元一次不等式的解集所表示的平面区域，了解线性规划问题；
教学难点： 理解简单的线性规划问题及图像的判断。




二元一次不等式（组）
二元一次不等式
二元一次不等式是指含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的整式不等式，其一般形式为或
二元一次不等式组
由几个总共含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的整式不等式构成的不等式组称为二元一次不等式组。
二元一次不等式（组）所表示的平面区域
开半平面与闭半平面
直线把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面，开半平面与直线的并集叫做闭半平面；
不等式表示的区域
以不等式的解为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图像
二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组中所有不等式所表示的平面区域的交集，就是二元一次不等式组所表示的平面区域。
线性规划问题的相关概念
线性约束条件：如果约束条件是关于变量的一次不等式（或等式），则称为线性约束条件；
线性目标函数：如果目标函数是关于变量的一次函数，则称为线性目标函数，其一般式为（其中为常数，且不同时为0）；
线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题；
可行解：满足线性约束条件的解 ；
可行域：由所有可行解组成的集合；
最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，最优解必是可行解，最优解必在可行域内。
二元一次不等式表示的平面区域的画法
画线
定侧
求“交”
非线性目标函数的最值问题
形如的式子，表示动点和定点连线的斜率；
形如的式子，表示动点到定点的距离，而表示动点到定点的距离的平方，即
形如的式子，表示动点到直线的距离而表示

类型一： 有关点与平面区域之间的关系问题
例1.已知若直线与线段无公共点，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
解析：设记则 因为直线与线段无公共点，所以，即解得或故选D
答案：D
练习1.已知点 和分别在直线的两侧，则实数的取值范围是_____
答案：
练习2.已知点在不等式表示的平面区域内，若到直线的距离为，则的值为__________
答案：
练习3.若函数的图像上存在点满足 则实数的最大值为___________
答案：1
类型二：关于平面区域的形状、面积问题
例2. 若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为(　　)
A． B．1 C． D．2
解析：如图所示，区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形，当a从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域．S四边形ODEC＝S△OBC－S△BDE＝2－＝.
答案：C
练习4. 求不等式组，表示的平面区域的面积________________
答案：36
练习5.不等式组所表示的平面区域的面积等于_________________
答案：1
练习6.不等式组 表示的平面区域的面积等于_______________
答案：4
类型三： 有关线性目标函数的最值及实际应用
例3. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3t、B原料2t；生产每吨乙产品要用A原料1t、B原料3t.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13t，B原料不超过18t，那么该企业可获得最大利润是(　　)
A．12万元　 　B．20万元 C．25万元 D．27万元
解析：设生产甲产品xt，乙产品yt，则获得的利润为z＝5x＋3y.由题意，得，
可行域如图阴影所示．

由图可知当x、y在A点取值时，
z取得最大值，此时x＝3，y＝4，
z＝5×3＋3×4＝27(万元)．
答案：D
练习7.某家具厂有方木料，五合板现准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料，五合板，生产每个书橱需要方木料，五合板出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，怎样安排生产可使所得的利润最大？
答案：生产书桌100张，书橱400个，可使利润最大。
练习8.某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为（）
A.31200元 B.36000元
C.36800元 D.38400元
答案：C


1. 不等式组表示的平面区域是(　　)


答案：D
2. 不等式x2－y2≥0表示的平面区域是(　　)

答案：B
3. 若x、y满足约束条件，则目标函数z＝x＋2y的取值范围是(　　)
A．[2,6] B．[2,5] C．[3,6] D．[3,5]
答案：A
4.设变量x、y满足约束条件：，则z＝x－3y的最小值为(　　)
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
答案：D
5. 设x、y满足，则z＝x＋y(　　)
A．有最小值2，最大值3
B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值
D．既无最小值，也无最大值
答案：　B

6. 设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝4x＋2y的最大值为(　　)
A．12 B．10 C．8 D．2
答案：B
7. 变量x、y满足下列条件，则使z＝3x＋2y最小的(x，y)是(　　)
A．(4,5) B．(3,6) C．(9,2) D．(6,4)
答案：B


_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________

基础巩固
1. 不等式组表示的平面区域是(　　)
A．两个三角形 B．一个三角形 C．梯形 D．等腰梯形
答案：B
2. 已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为(　　)
A．(－24,7) B．(－7,24) C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
答案：B
3. 图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为(　　)

A． B．
C． D．
答案：A
4. 设变量x、y满足，则目标函数z＝2x＋y的最小值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．以上都不对
答案：A
5. 若变量x、y满足约束条件，且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是(　　)
A．48　　 B．30 C．24　　 D．16
答案：C
6. 已知点P(x，y)的坐标满足条件，那么x2＋y2的取值范围是(　　)
A．[1,4] B．[1,5] C．[，4] D．[，5]
答案：D
7. 已知x、y满足约束条件，则z＝x＋y的最大值是(　　)
A． B． C．2 D．4
答案：B
8. 不等式组表示的平面区域内整点的个数是(　　)
A．0　 　B．2 C．4　 D．5
答案：D
9. 完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2?3，请木工需付工资每人50 元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人数的约束条件是(　　)
A．　 B．
C． D．
答案：C
10. 设x、y满足约束条件，则z＝2x＋y的最大值是________．
答案：2
11. 若实数x、y满足不等式组，则2x＋3y的最小值是________．
答案：4
12. 不等式|2x－y＋m|＜3表示的平面区域内包含点(0,0)和点(－1,1)，则m的取值范围是________．
答案：0＜m＜3
13. 用三条直线x＋2y＝2,2x＋y＝2，x－y＝3围成一个三角形，则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式表示为__________．

答案：
14. 若变量x、y满足约束条件，则z＝3x＋y的最小值为________．
答案：1
15. 在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．
答案：
16. 在平面直角坐标系中，不等式组(a为正常数)表示的平面区域的面积是4，求2x＋y的最大值．
答案：由题意得：

S＝×2a×a＝4，∴a＝2.
设z＝2x＋y，∴y＝－2x＋z，
由，得(2,2)，即z在(2,2)处取得最大值6.
17. 某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A、B型桌子分别需要1h和2h，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3h和1h；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8h和9h，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？
答案：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，则
，目标函数z＝2x＋3y.
作出可行域如图所示．

作直线l0：2x＋3y＝0，平移直线l0，当l0经过可行域内的点M时，目标函数z＝2x＋3y取最大值．
由，得M(2,3)．
答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润.



能力提升
18. 若变量x、y满足，则z＝3x＋2y的最大值是(　　)
A．90　　 B．80 C．70　　 D．40
答案：　C
19. 设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为(　　)
A．11 B．10 C．9 D．8.5
答案：B
20. 在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为(　　)
A．－5 B．1 C．2 D．3
答案：D
21. 点P(1，a)到直线x－2y＋2＝0的距离为，且点P在3x＋y－3＞0表示的区域内，则a＝________.
答案：　3
22. 不等式组表示的平面区域的面积为________．
答案：　4
23. 求不等式组表示的平面区域的面积
答案：不等式x＜3表示直线x＝3左侧点的集合．
不等式2y≥x，即x－2y≤0表示直线x－2y＝0上及左上方点的集合．
不等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≥0表示直线3x＋2y－6＝0上及右上方点的集合．
不等式3y＜x＋9即x－3y＋9＞0表示直线x－3y＋9＝0右下方点的集合．
综上可得，不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．

因为平面区域为四边形形状，设顶点分别为A、B、C、D，如图．
可知A(0,3)、B(，)、C(3，)、D(3,4)
S四边形ABCD＝S梯形AOED－S△COE－S△AOB
＝(OA＋DE)·OE－OE·CE－OA·xB
＝(3＋4)×3－×3×－×3×＝6.
24. 已知变量x、y满足约束条件，则z＝x＋2y的最小值为(　　)
A．3 B．1 C．－5 D．－6
答案：C
25. 在△ABC中，三个顶点分别为A(2,4)、B(－1,2)、C(1,0)，点P(x，y)在△ABC的内部及其边界上运动，则y－x的取值范围为________．
答案：[－1,3]
26. 已知点M、N是所围成的平面区域内的两点，则|MN|的最大值是________．
答案：


27. 若x、y满足约束条件，求x－y的取值范围．
答案：令z＝x－y，则y＝x－z，
∴z为直线y＝x－z在y轴上的截距的相反数．
画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．

作直线l0：x－y＝0，平行移动直线l0，由图形可知，当直线l0经过可行域内的点B(1,1)时，z取最大值0，当直线l0经过可行域内的点C(0,3)时，z取最小值－3.
∴x－y的取值范围为[－3,0]．
28. 已知，求x2＋y2的最小值．
答案：画出可行域如下图所示，

可见可行域中的点A(1,2)到原点距离最小为d＝，∴x2＋y2≥5.即x2＋y2的最小值为5.
29. 某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件，求目标函数z＝10x＋10y的最大值．
答案：画出不等式组表示的平面区域如图．

由，解得A(，)．
而由题意知x和y必须是正整数．直线y＝－x＋由经过A点向下平移经过的第一个整点为(5,4)．
∴z＝10x＋10y的最大值为90.
30. 关于x的方程x2＋ax＋2b＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，求的取值范围．
答案：可以转化为点(a，b)与M(1,2)连线的斜率．由题知x2＋ax＋2b＝0两根在(0,1)与(1,2)内，
可令f(x)＝x2＋ax＋2B．必满足f(0)>0、f(1)<0，f(2)>0，即，由线性规划可知：

点M(1,2)与阴影部分连线的斜率k的取值范围为kAM∵A(－3,1)、B(－1,0)，
∴<<1.






1