A级 基础巩固
一、选择题
1．设变量x，y满足约束条件则z＝x－3y的最小值为( )
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
解析：作可行域如图所示，当z＝x－3y过点A(－2，2)时，z取最小值，zmin＝－2－3×2＝－8.
答案：D
2．若实数x，y满足不等式组则z＝2|x|＋y的取值范围是( )
A．[－1，3] B．[1，11]
C．[1，3] D．[－1，11]
解析：作出不等式组对应的平面区域如图所示，当x≥0时，z＝2x＋y，即y＝－2x＋z，由图象可知其经过A(0，－1)时，zmin＝－1，经过B(6，－1)时，zmax＝11；当x<0时，y＝2x＋z，由图象可知其经过C(－2，－1)时，zmax＝3，经过A(0，－1)时，zmin＝－1，所以－1≤z≤11.
答案：D
3．已知变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为( )
A．12 B．11 C．3 D．－1
解析：首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z经过点A时，z取得最大值．由?此时z＝3x＋y＝11.
答案：B
4．已知x，y满足目标函数z＝2x＋y的最大值为7，最小值为1，则b，c的值分别为( )
A．－1，4 B．－1，－3
C．－2，－1 D．－1，－2
解析：由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x＋y＝7与直线x＋y＝4的交点，且经过直线2x＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3，1)和点(1，－1)，
所以解得
答案：D
5．x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )
A.或－1 B．2或
C．2或1 D．2或－1
解析：如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，
故当a＞0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；
当a＜0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.
答案：D
二、填空题
6．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是________．
解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，设t＝x＋2y，
则y＝－x＋，
当x＝0，y＝0时，tmin＝0，
z＝3x＋2y的最小值为1.
答案：1
7．已知x，y满足约束条件则x2＋y2的最小值是________．
解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋y2的最小值是|AO|2.
由
得A(1，2)，所以|AO|2＝5.
答案：5
8．若点P(m，n)在由不等式组所确定的区域内，则n－m的最大值为________．
解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为(1，3)，(2，5)，(3，4)，设目标函数为z＝y－x.则y＝x＋z，其纵截距为z，由图易知点P的坐标为(2，5)时，n－m的最大值为3.
答案：3
三、解答题
9．设函数z＝2x＋5y，其中x，y满足条件
求z的最大值与最小值．
解：在平面直角坐标系xOy内画出不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图中阴影部分)．
把z＝2x＋5y变形为y＝－x＋z，得到斜率为－，在y轴上的截距为z，随z变化的一组平行直线．
由图可以看出，当直线y＝－x＋z经过可行域上的点M时，截距z最大，即z最大．
解方程组得
故M(2，3)．
此时zmax＝2×2＋5×3＝19.
易知直线y＝－x＋z经过原点时，截距最小，
故zmin＝0.
10．已知－1解：由得平面区域如图中的阴影部分所示．由图得当z＝2x－3y分别过点A，B时取最小值、最大值．
由得
所以B(1，－2)．
由得
所以A(3，1)．
所以2×3－3×1即3B级 能力提升
1．已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为( )
A．5 B．4 C. D．2
解析：法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示．
由解得
所以z＝ax＋by在A(2，1)处取得最小值，故2a＋b＝2，a2＋b2＝a2＋(2－2a)2＝(a－4)2＋4≥4.
法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x－y－1＝0与2x－y－3＝0的交点(2，1)时取得最小值，所以有2a＋b＝2.又因为a2＋b2是原点(0，0)到点(a，b)的距离的平方，故当为原点到直线2a＋b－2＝0的距离时最小，所以的最小值是＝2，所以a2＋b2的最小值是4.
答案：B
2．当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是____________．
解析：画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a＞0，数形结合知，满足即可，解得1≤a≤.
所以a的取值范围是1≤a≤.
答案：
3．若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围．
解：(1)作出可行域如图阴影部分所示，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)，平移初始直线y＝x，过A(3，4)时z取得最小值－2，过C(1，0)时，z取得最大值1.所以z的最大值为1，最小值为－2.
(2)由ax＋2y＝z，得y＝－x＋，因为直线ax＋2y＝z仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1＜－＜2，解得－4＜a＜2.故所求a的取值范围为(－4，2)．
课件33张PPT。第三章 不等式
