人教版高中数学必修五第3章不等式3.4基本不等式（教师版）

基本不等式
（均值不等式）



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教学重点： 掌握均值不等式的证明及应用，会用均值不等式求函数的最大值或最小值；
教学难点： 利用均值不等式的证明。




算术平均值与几何平均值
算术平均值：对任意两个正实数，数 叫做的算术平均值
几何平均值：对任意两个正实数，数叫做的几何平均值
均值定理
如果，那么，当且仅当时，等号成立
均值不等式的常见变形
（1）
（2）
（3）（同号且不为0）
（4）





类型一： 均值不等式的理解
设，则下列不等式不成立的是（）
A. B. C. D.
解析：特值法，令，则A,B,C项都成立，而D项中， 显然不成立，故D项不成立。
答案：D
练习1. 若a、b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)
A．a2＋b2>2ab　 B．a＋b≥2 C．＋> D．＋≥2
答案：D
练习2. 设0A．a答案：B
类型二： 均值不等式与最值
例2. 若正数x、y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　)
A．　 B． C．5 D．6
解析：由x＋3y＝5xy得＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)·(＋)＝＋＋＋≥2＋＝＋＝5，当且仅当＝时，得到最小值5.
答案：C
练习3. 设x、y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值为(　　)
A．10　 B．6 C．4 D．18
答案：D
练习4. 已知正项等差数列{an}中，a5＋a16＝10则a5a16的最大值为(　　)
A．100　 B．75 C．50 D．25
答案：D




类型三： 利用均值不等式证明不等式及应用
例3. 已知a、b、c∈R，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．
解析：∵≤，∴≥
＝(a＋b)(a，b∈R等号在a＝b时成立)．
同理≥(b＋c)(等号在b＝c时成立)．
≥(a＋c)(等号在a＝c时成立)．
三式相加得＋＋
≥(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)
＝(a＋b＋c)(等号在a＝b＝c时成立).
答案：见解析
练习5. 已知a、b是正数，试比较与的大小．
答案：∵a>0，b>0，
∴＋≥2>0.
∴≤＝.
即≤.
练习6.若x>0，y>0，x＋y＝1，求证：(1＋)·(1＋)≥9..
答案：证法一：左边＝(1＋)(1＋)
＝1＋＋＋＝1＋＋
＝1＋≥1＋＝9＝右边．
当且仅当x＝y＝时，等号成立．
证法二：∵x＋y＝1，
∴左边＝(1＋)(1＋)
＝(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋)
＝5＋2(＋)≥5＋4＝9＝右边．
当且仅当x＝y＝时，等号成立．
例4. 在面积为S(S为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r时，扇形周长最小，这时θ、r的值分别是(　　)
A．θ＝1，r＝ B．θ＝2，r＝ C．θ＝2，r＝ D．θ＝2，r＝
解析：S＝θr2?θ＝，
又扇形周长P＝2r＋θr＝2≥4，
当P最小时，r＝?r＝，此时θ＝2.
答案：D
练习7. 设计用32m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m，则车厢的最大容积是(　　)
A．(38－3)m3 B．16m3 C．4m3 D．14m3
答案：B
练习8. 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在(　　)
A．每个95元 B．每个100元 C．每个105元 D．每个110元
答案：A


1. 若x＞0，y＞0，且x＋y≤4，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A．≤　 B．＋≥1 C．≥2 D．≥1
答案：B
2. 已知m、n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是(　　)
A．100　 B．50 C．20 D．10
答案：B
3. 若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．>　 B．＋≤1 C．≥2 D．≤
答案：D
4. 实数x、y满足x＋2y＝4，则3x＋9y的最小值为(　　)
A．18　 B．12 C．2 D．
答案：A
5．设x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为(　　)
A．7　 B．3 C．1＋2 D．5
答案：A
6. 设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
A．8　 B．4 C．1 D．
答案：B


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基础巩固
1. 若0A．a2＋b2　 B．2 C．2ab D．a＋b
答案：D
2. 若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)
A．[0,2]　 B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案：D
3. 已知x、y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
答案：3
4. 已知a、b为实常数，函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值为__________
答案：(a－b)2
5. a、b、c是互不相等的正数，且a2＋c2＝2bc，则下列关系中可能成立的是(　　)
A．a>b>c　　　 　B．c>a> b C．b>a>c D．a>c>b
答案：C
6. 设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，且a1＝b1，a21＝b21，则(　　)
A．a11＝b11　 B．a11>b11 C．a11答案：D
7. 已知a>1，b>1，且lga＋lgb＝6，则lga·lgb的最大值为(　　)
A．6　　　 B．9　　　　 C．12　　 D．18
答案：B
8. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)
A．60件　 B．80件 C．100件 D．120件
答案：B
9. 已知＋＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是________．
答案：6
10. 若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
答案：
11. 做一个面积为1 m2，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是(　　)
A．4.6 m B．4.8 m C．5 m D．5.2 m

答案：C
12. 光线透过一块玻璃，其强度要减弱.要使光线的强度减弱到原来的以下，至少需这样的玻璃板________块．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)
答案：11
13. 一个矩形的周长为l，面积为S，给出下列实数对：①(4,1)；②(8,6)；③(10,8)；④(3，)．其中可作为(l，S)的取值的实数对的序号是________．
答案：①④
14. 已知正常数a、b和正实数x、y，满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值．
答案：x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·(＋)
＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，
等号在＝即＝时成立．
∴x＋y的最小值为(＋)2＝18，
又a＋b＝10，∴ab＝16.
∴a、b是方程x2－10x＋16＝0的两根，
∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.

能力提升

15. 已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则 ＋的最小值是(　　)
A．2　 B．2 C．4 D．2
答案：C
16. 设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)(　　)
A．有最大值　 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数
答案：A
17. 已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是(　　)
A．0　 B．1 C．2 D．4
答案：D

18. 若a、b、c、d、x、y是正实数，且P＝＋，Q＝·，则有(　　)
A．P＝Q 　B．P≥Q C．P≤Q D．P>Q
答案：C
19. 已知x≥，则f(x)＝有(　　)
A．最大值　 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1
答案：　D
20. 已知y>x>0，且x＋y＝1，那么(　　)
A．x<答案：D
21. 设a、b是正实数，给出以下不等式：
①>；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2，其中恒成立的序号为(　　)
A．①③　 B．①④ C．②③ D．②④
答案：D
22. 已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则的最小值为(　　)
A．6　 B．7 C．8 D．9
答案：D
23.若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为(　　)
A．　 B． C．2 D．4
答案：D
24. 当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]　 B．[2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
答案：D
25. 已知正数x、y满足＋＝1，则xy有(　　)
A．最小值　 B．最大值16 C．最小值16 D．最大值
答案：C
26. 若正实数x、y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________
答案：18

27. 已知函数f(x)＝lgx(x∈R＋)，若x1、x2∈R＋，判断[f(x1)＋f(x2)]与f()的大小并加以证明．
答案：[f(x1)＋f(x2)]≤f()
∵f(x1)＋f(x2)＝lgx1＋lgx2＝lg(x1·x2)，
f()＝lg，
而x1、x2∈R＋，x1x2≤()2，
而f(x)＝lgx在区间(0，＋∞)上为增函数．
∴lg(x1x2)≤lg()2，
∴lg(x1x2)≤lg.
即(lgx1＋lgx2)≤lg.
因此，[f(x1)＋f(x2)]≤f()．
28. 已知a、b、c∈R＋，求证：＋＋≥a＋b＋C
答案：∵a、b、c∈R＋，，，均大于0，
又＋b≥2＝2a，
＋c≥2＝2b，
＋a≥2＝2c，
三式相加得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，
∴＋＋≥a＋b＋C．
29．求函数y＝1－2x－的值域．
答案：y＝1－2x－＝1－(2x＋)．
①当x>0时，2x＋≥2＝2.
当且仅当2x＝，即x＝时取等号．
∴y＝1－(2x＋)≤1－2.
②当x<0时，y＝1＋(－2x)＋(－)．
∵－2x＋(－)≥2＝2.
当且仅当－2x＝－时，即x＝－时取等号．
∴此时y＝1－2x－≥1＋2
综上知y∈(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞)．
∴函数y＝1－2x－的值域为(－∞，1－2)∪[1＋2，＋∞)．
30. 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：
(1)仓库面积S的取值范围是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？
答案：(1)设正面铁栅长x m，侧面长为y m，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝xy.
由条件知z≤3 200，即4x＋9y＋2xy≤320.
∵x>0，y>0，
∴4x＋9y≥2＝12.
∴6＋S≤160，即()2＋6－160≤0.
∴0<≤10，∴0故S的取值范围是(0,100]．
(2)当S＝100 m2时，4x＝9y，且xy＝100.
解之得x＝15(m)，y＝(m)．
答：仓库面积S的取值范围是(0,100]，当S取到最大允许值100 m2时，正面铁栅长15 m.



31. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年增加4万元，每年捕鱼收益50万元．
(1)问第几年开始获利？
(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案最合算？
答案：由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数的关系为f(n)，则
f(n)＝50n－[12＋16＋…＋(8＋4n)]－98＝40n－2n2－98.
(1)由f(n)>0得，n2－20n＋49<0，
∴10－又∵n∈N，∴n＝3,4，…，17.
即从第3年开始获利．
(2)①年平均收入＝＝40－2(n＋)≤40－2×14＝12，
当且仅当n＝7时，渔船总收益为12×7＋26＝110(万元)．
②f(n)＝－2(n－10)2＋102.
因此当n＝10时，f(n)max＝102，总收益为102＋8＝110万元，但7<10，所以第一种方案更合算．













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