人教版高中数学必修五第3章不等式3.4基本不等式（学生版）

基本不等式
（均值不等式）



__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________

教学重点： 掌握均值不等式的证明及应用，会用均值不等式求函数的最大值或最小值；
教学难点： 利用均值不等式的证明。




算术平均值与几何平均值
算术平均值：对任意两个正实数，数___________叫做的算术平均值
几何平均值：对任意两个正实数，数__________叫做的几何平均值
均值定理
如果，那么____________，当且仅当__________时，等号成立
均值不等式的常见变形
（1）
（2）
（3）（同号且不为0）
（4）





类型一： 均值不等式的理解
设，则下列不等式不成立的是（）
A. B. C. D.
练习1. 若a、b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)
A．a2＋b2>2ab　 B．a＋b≥2 C．＋> D．＋≥2
练习2. 设0A．a类型二： 均值不等式与最值
例2. 若正数x、y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　)
A．　 B． C．5 D．6
练习3. 设x、y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值为(　　)
A．10　 B．6 C．4 D．18
练习4. 已知正项等差数列{an}中，a5＋a16＝10则a5a16的最大值为(　　)
A．100　 B．75 C．50 D．25




类型三： 利用均值不等式证明不等式及应用
例3. 已知a、b、c∈R，求证：＋＋≥(a＋b＋c)．
练习5. 已知a、b是正数，试比较与的大小．
练习6.若x>0，y>0，x＋y＝1，求证：(1＋)·(1＋)≥9..
例4. 在面积为S(S为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r时，扇形周长最小，这时θ、r的值分别是(　　)
A．θ＝1，r＝ B．θ＝2，r＝ C．θ＝2，r＝ D．θ＝2，r＝
练习7. 设计用32m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m，则车厢的最大容积是(　　)
A．(38－3)m3 B．16m3 C．4m3 D．14m3
练习8. 将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在(　　)
A．每个95元 B．每个100元 C．每个105元 D．每个110元


1. 若x＞0，y＞0，且x＋y≤4，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A．≤　 B．＋≥1 C．≥2 D．≥1
2. 已知m、n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是(　　)
A．100　 B．50 C．20 D．10
3. 若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．>　 B．＋≤1 C．≥2 D．≤
4. 实数x、y满足x＋2y＝4，则3x＋9y的最小值为(　　)
A．18　 B．12 C．2 D．
5．设x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为(　　)
A．7　 B．3 C．1＋2 D．5
6. 设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
A．8　 B．4 C．1 D．


_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________

基础巩固
1. 若0A．a2＋b2　 B．2 C．2ab D．a＋b
2. 若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)
A．[0,2]　 B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
3. 已知x、y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
4. 已知a、b为实常数，函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值为__________
5. a、b、c是互不相等的正数，且a2＋c2＝2bc，则下列关系中可能成立的是(　　)
A．a>b>c　　　 　B．c>a> b C．b>a>c D．a>c>b
6. 设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，且a1＝b1，a21＝b21，则(　　)
A．a11＝b11　 B．a11>b11 C．a117. 已知a>1，b>1，且lga＋lgb＝6，则lga·lgb的最大值为(　　)
A．6　　　 B．9　　　　 C．12　　 D．18
8. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)
A．60件　 B．80件 C．100件 D．120件
9. 已知＋＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是________．
10. 若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
11. 做一个面积为1 m2，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是(　　)
A．4.6 m B．4.8 m C．5 m D．5.2 m

12. 光线透过一块玻璃，其强度要减弱.要使光线的强度减弱到原来的以下，至少需这样的玻璃板________块．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)
13. 一个矩形的周长为l，面积为S，给出下列实数对：①(4,1)；②(8,6)；③(10,8)；④(3，)．其中可作为(l，S)的取值的实数对的序号是________．
`14. 已知正常数a、b和正实数x、y，满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值．

能力提升

15. 已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则 ＋的最小值是(　　)
A．2　 B．2 C．4 D．2
16. 设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)(　　)
A．有最大值　 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数
17. 已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则的最小值是(　　)
A．0　 B．1 C．2 D．4

18. 若a、b、c、d、x、y是正实数，且P＝＋，Q＝·，则有(　　)
A．P＝Q 　B．P≥Q C．P≤Q D．P>Q
19. 已知x≥，则f(x)＝有(　　)
A．最大值　 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1
20. 已知y>x>0，且x＋y＝1，那么(　　)
A．x<21. 设a、b是正实数，给出以下不等式：
①>；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋>2，其中恒成立的序号为(　　)
A．①③　 B．①④ C．②③ D．②④
22. 已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则的最小值为(　　)
A．6　 B．7 C．8 D．9
23.若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为(　　)
A．　 B． C．2 D．4
24. 当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]　 B．[2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，3]
25. 已知正数x、y满足＋＝1，则xy有(　　)
A．最小值　 B．最大值16 C．最小值16 D．最大值
26. 若正实数x、y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________

27. 已知函数f(x)＝lgx(x∈R＋)，若x1、x2∈R＋，判断[f(x1)＋f(x2)]与f()的大小并加以证明．
28. 已知a、b、c∈R＋，求证：＋＋≥a＋b＋C
29．求函数y＝1－2x－的值域．
30. 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：
(1)仓库面积S的取值范围是多少？
(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？


31. 某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年增加4万元，每年捕鱼收益50万元．
(1)问第几年开始获利？
(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案最合算？










1