人教版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆（教师版）【个性化辅导含答案】

椭圆




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1　了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2　掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.



1．椭圆的定义
在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0)
图形
性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0)
轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝∈(0，1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2



类型一　椭圆的定义及其应用
例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(　　)

A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
【解析】根据CD是线段MF的垂直平分线.可推断出,进而可以知道结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹
【答案】根据题意知,CD是线段MF的垂直平分线. ,(定值),又显然,根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆.所以A选项是正确的
练习１：已知F1，F2是椭圆C：(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且
1⊥，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
【解析】由题意的面积∴故答案为：
【答案】3
练习2：已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
【解析】由椭圆方程知，椭圆的长轴，则周长为16，故第三边长为6.所以正确答案为A.
【答案】A
类型二　求椭圆的标准方程
例2：在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________．
【解析】设椭圆方程为＋＝1(a >b>0)，
由e＝，知＝，故＝.

由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.
∴b2＝8，∴椭圆C的方程为＋＝1.
【答案】＋＝1
练习1：设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0【解析】x2+3y2/2=1
【答案】x2+3y2/2=1
类型三　椭圆的几何性质
例3：如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．

【解析】直线A1B2的方程为＋＝1，直线B1F的方程为＋＝1，二者联立，
得T(，)，
则M(，)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，
∴，
c2＋10ac－3a2＝0，e2＋10e－3＝0，解得e＝2－5.
【答案】2－5
练习1：已知A、B是椭圆＋＝1(a＞b＞0)和双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点(P、M都异于A、B)，且满足＋＝λ(＋)，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1、k2、k3、k4，k1＋k2＝5，则k3＋k4＝________．
【解析】设出点P、M的坐标，代入双曲线和椭圆的方程，再利用已知满足及其斜率的计算公式即可求出．
【答案】∵A，B是椭圆和双曲线的公共顶点，∴（不妨设）A（-a，0），B（a，0）．设P（x1，y1），M（x2，y2），
∵，其中λ∈R，
∴（x1+a，y1）+（x1-a，y1）=λ[（x2+a，y2）+（x2-a，y2）]，化为x1y2=x2y1．∵P、M都异于A、B，∴y1≠0，y2≠0．∴．由k1+k2==5，化为，（*）又
∵，∴，代入（*）化为．k3+k4==，又，∴，∴k3+k4===-5．故答案为-5．



类型四　直线与椭圆的位置关系
例4： 已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－2，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．
【解析】（1）根据已知条件求得和的值，于是可得的值，即得到椭圆的标准方程；
（2）设出点坐标和直线和的方程，将其与椭圆方程联立，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据边角关系得到平行四边形底边的长和对应的高，代入面积的表达式即可得到结论。
【答案】（1）由已知可得，，，所以。又由，解得，所以椭圆的标准方程是。
（2）设点的坐标为，则直线的斜率。当时，直线的斜率，直线的方程是。当时，直线的方程是，也符合的形式。设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，得。消去，得。其判别式，
所以，，。因为四边形是平行四边形，所以，即。
所以，解得。此时，四边形的面积。


练习1： 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程．
【解析】（1）根据椭圆上的一点和离心率建立方程，求出椭圆方程中的参数。
（2）根据圆心到直线的距离求出的长度，建立直线和椭圆的方程组求出的长度，根据和的关系求出。
【答案】由题设知解得，，，所以椭圆的方程为。
（2）由题设，以为直径的圆的方程为，所以圆心到直线的距离，由得。所以。
设，，由得。由求根公式可得，。所以，
由得，解得，满足。所以直线的方程为或。

类型五　圆锥曲线上点的对称问题
例5：椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝，其中∠F1AF2的平分线所在的直线l的方程为y＝2x－1.
(1)求椭圆E的方程；
(2)在椭圆上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由
【解析】（1）由定义法代入即可得答案。（2）假设存在直线，先设出直线方程代入，与椭圆方程联立后得到矛盾，即可。
【答案】
（1）设椭圆E的方程为+=1,
由e=,即=,a=2c,得b2=a2-c2=3c2.
∴椭圆方程具有形式+=1.
将A(2,3) 代入上式, 得+=1,解得c=2,
∴椭圆E的方程为+=1.
（2）解法一:假设存在这样的两个不同的点B(x1,y1)和C(x2,y2),
∵BC⊥l,∴kBC==-.
设BC的中点为M(x0,y0),则x0=,y0=,
由于M在l上, 故2x0-y0-1=0.①
又B,C在椭圆上,所以有+=1与+=1.
两式相减,得+=0,
即+=0.
将该式写为·+··=0, 并将直线BC的斜率kBC和线段BC的中点表示代入该表达式中,
得x0-y0=0,即3x0-2y0=0.②
①×2-②得x0=2,y0=3,即BC的中点为点A, 而这是不可能的.
∴不存在满足题设条件的点B和C.
解法二:假设存在B(x1,y1),C(x2,y2)两点关于直线l对称,则l⊥BC,∴kBC=-.
设直线BC的方程为y=-x+m,将其代入椭圆方程+=1, 得一元二次方程3x2+4=48,
即x2-mx+m2-12=0.
则x1与x2是该方程的两个根.
由韦达定理得x1+x2=m,
于是y1+y2=-(x1+x2)+2m=,
∴B,C的中点坐标为.
又线段BC的中点在直线y=2x-1上,
∴=m-1,得m=4.
即B,C的中点坐标为(2,3),与点A重合,矛盾.
∴不存在满足题设条件的相异两点.
练习1： 如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝________.

【解析】由题可得C(),F(),因为C,F在抛物线上,代入抛物线可得,故填。
【答案】


1. 已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
2.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．
【答案】＋＝1
3.椭圆T：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆T的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．
【答案】－1
4．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为__________
【答案】-2
5. 已知椭圆＋＝1的左顶点为A，左焦点为F，点P为该椭圆上任意一点；若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝，则·的取值范围是________．
【答案】[0,12]
6.已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，与AF平行且在y轴上的截距为3－的直线l恰好与圆C2相切．
(1)求椭圆C1的离心率；
(2)若·的最大值为49，求椭圆C1的方程．
【答案】（1)由题意可知直线l的方程为bx＋cy－(3－)c＝0，因为直线l与圆C2：x2＋(y－3)2＝1相切，所以d＝＝1，即a2＝2c2，从而e＝.
(2)设P(x，y)，圆C2的圆心记为C2，则＋＝1(c>0)，又·＝(＋)·(＋)＝－＝x2＋(y－3)2－1＝－(y＋3)2＋2c2＋17(－c≤y≤c)．
①当c≥3时，(·)max＝17＋2c2＝49，
解得c＝4，此时椭圆方程为＋＝1；
②当03，故舍去．
综上所述，椭圆C1的方程为＋＝1.


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基础巩固
1.以椭圆两焦点为直径端点的圆，交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率等于(　　)
A. B. C.－ D.－1
【答案】C
2.设F1、F2为椭圆的两个焦点，椭圆上有一点P与这两个焦点张成90度的角，且∠PF1F2>PF2F1，若椭圆离心率为，则∠PF1F2：∠PF2F1为(　　)
A．1：5 B．1：3 C．1：2 D．1：１
【答案】A
3.设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．5
【答案】A
4.已知椭圆的焦距为4，则m等于(　　)
A．4 B．8 C．4或8 D．以上均不对
【答案】C
5.与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________．
【答案】
6．若椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围为________．
【答案】（0,1）
7.已知双曲线C与椭圆有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于________．
【答案】3
8.已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝______．
【答案】12
能力提升
9. 设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)
A．5 B.＋ C．7＋ D．6
【答案】D
10. 已知抛物线的焦点F也是椭圆
的一个焦点，与的公共弦长为，过点F的直线与相交于两点，与相交于两点，且与同向.求的方程；
【答案】


1