人教版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线（教师版）【个性化辅导含答案】

双曲线


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1.　了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质．
2.　了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．
3.　理解数形结合的思想．



1．双曲线的定义
平面内动点与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|大于零)，则点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若a(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；
(3)若a>c时，则集合P为空集．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
图形
性质
范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)


类型一　双曲线的定义及应用
例1：(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
【解析】利用动圆M同时与圆及圆外切,可得的轨迹为到定点,距离差为常数2的点的集合,即双曲线的左支,从而可得方程.
【答案】动圆的圆心为,动圆的圆心为动圆M同时与圆及圆外切,
动圆M的半径,即的轨迹为到定点,距离差为常数2的点的集合,即双曲线的左支的轨迹方程为因此，本题正确答案是:
练习1：已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
【答案】
练习2：设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝(　　)
A．1 B．17 C．1或17 D．以上答案均不对
【答案】B
练习3：已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为(　　)
A．5 B．5＋4 C．7 D．9
【答案】D
类型二　双曲线的标准方程
例2:已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是(　　)
A. B． C. D.
【解析】∵F1(－，0)，PF1的中点坐标为(0,2)，
∴P的坐标为(，4)．
又∵双曲线的一个焦点为F1(－，0)，
∴另一个焦点为F2(，0)．
∴2a＝||PF1|－|PF2||＝2.∴a＝1.
又∵c＝，∴b2＝c2－a2＝4.
∴双曲线方程为x2－＝1.
【答案】B
练习1：设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是________．
【答案】根据题意可以知道椭圆的焦点在y轴上,且,故焦点坐标为由双曲线的定义可得,故,,故所求双曲线的标准方程为因此，本题正确答案是:

规律方法　待定系数法求双曲线方程具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．

练习2：根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；
(3)经过两点P(－3，2)和Q(－6，－7)．
【答案】(1)设双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知，2b＝12，e＝＝.∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13.∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
∴
∴双曲线的标准方程为－＝1.

类型三　双曲线的几何性质
例3：(1)设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0 C．4x±3y＝0 D．5x＋4y＝0
【解析】等腰三角形中,到的距离为2a化简得所以渐近线方程
【答案】C
练习1： 设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
【答案】：

练习2：设a>1，则双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(，2) B．(，) C．(2,5) D．(2，)
【解析】e＝＝＝.
∵a>1，∴0<<1，
∴1<1＋<2，
∴【答案】B

类型四　直线与双曲线的位置关系
例4:已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围．
【解析】(1),,,C的方程为
由与消去y,得,方程有解,判别式大于0,两根之和小于0，解得,
【答案】(1),,,C的方程为
(2)由与消去y,得,方程有解,判别式大于0,两根之和小于0，解得,
研究直线与双曲线位置关系的通法：将直线代入双曲线的方程，消元，得到关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．(2)近几年高考对直线与双曲线的考查降低了要求，一般与双曲线的几何性质结合考查．
练习1： 设a，b是关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
练习2： 在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为__________________.
【答案】


1. 已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为（　　）
A． B. C. D.
【答案】B
2. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，?ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
3. 若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（　）
A．11 B．9 C．5 D．3
【答案】B
4. 已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是(　　)
A.（-，） B.（-，） C.（，） D.（，）
【答案】A
5. 将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（　　）
A．对任意的， B．当时，；当时，
C．对任意的， D．当时，；当时，
【答案】D
6. 已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为__________.
【答案】设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，r1>r2，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2，平方得4a＝r＋r＋2r1r2，4a＝r－2r1r2＋r.又由余弦定理得4c2＝r＋r－r1r2，消去r1r2，得a＋3a＝4c2，
即＋＝4.所以由柯西不等式得＝≤＝.所以＋≤.
7.中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F2＝2，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P为这两曲线的一个交点，求△F1PF2的面积．
【答案】解：(1)设椭圆方程为，双曲线方程为(a，b，m，n>0，且a>b)，
则
解得：a＝7，m＝3，∴b＝6，n＝2，
∴椭圆方程为，双曲线方程为.
(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，
∴PF1＝10，PF2＝4，
∴cos∠F1PF2＝，
∴sin∠F1PF2＝.
∴S△F1PF2＝PF1·PF2sin∠F1PF2＝·10·4·＝12.

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基础巩固
1. 下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（　　）
A． B. C. D.
【答案】C
2.以椭圆两焦点为直径端点的圆，交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率等于(　　)

【答案】C
3. 过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（　　）
A. B. C.6 D.
【答案】D
4. 设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（　　）
A、 B、
C、 D、
【答案】A
5.设F1、F2为椭圆的两个焦点，椭圆上有一点P与这两个焦点张成90度的角，且∠PF1F2>PF2F1，若椭圆离心率为，则∠PF1F2：∠PF2F1为(　　)
A．1：5 B．1：3 C．1：2 D．1：l
【答案】A

能力提升
6. 已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)
A.x±y＝0 B.x±y＝0 C.x±2y＝0 D.2x±y＝0
【答案】A
7.设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2面积等于(　　)
A．4 B．8 C．24 D．48
【答案】C
8. 设是双曲线：的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为_________________
【答案】.
9. 如图1?7，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1.
(1)求C1，C2的方程；
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．

图1?7
【答案】(1)由题可得,且,因为,且,所以且且,所以椭圆方程为,双曲线的方程为.
(2)由(1)可得,因为直线不垂直于轴,所以设直线的方程为,联立直线与椭圆方程可得,则,,则,因为在直线上,所以,
则直线的方程为,联立直线与双曲线可得,则,则,设点到直线的距离为,则到直线的距离也为,则,因为在直线的两端,所以,
则?,又因为在直线上,所以,
则四边形面积,
因为,所以当时,四边形面积的最小值为.
10.直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B.
(1)求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】解：(1)将直线l的方程y＝kx＋1代入双曲线C的方程2x2－y2＝1后，整理得，
(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.①
依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故

解得k的取值范围是－2(2)设A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则由①式得
②
假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0)．
则由FA⊥FB得
(x1－c)(x2－c)＋y1y2＝0，
即(x1－c)(x2－c)＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝0.
整理得
(k2＋1)x1x2＋(k－c)(x1＋x2)＋c2＋1＝0.③
把②式及c＝代入③式化简得
5k2＋2k－6＝0.
解得k＝－或k＝(舍去)．
可知k＝－时使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F.



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