人教版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线（教师版）【个性化辅导含答案】

抛物线



__________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________

1.　了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2.　掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.



1．抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．
2．抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质 顶点 O(0，0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下


类型一　抛物线的定义及应用
例1：过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于(　　)
A．2 B. C．2 D.
【解析】设直线方程为y＝kx－2，A(x1，y1)、B(x2，y2)．
由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0.
∵直线与抛物线交于A、B两点，
∴Δ＝16(k＋2)2－16k2>0，即k>－1.
又＝＝2，∴k＝2或k＝－1(舍去)．
∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝＝2.
【答案】C

练习1：已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)
B．3 C. D.
【答案】A
练习2：F是抛物线y2＝2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝6，则线段AB的中点到y轴的距离为________．
【答案】
类型二　抛物线的标准方程和几何性质
例2：已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝(　　)
A. B. C．－ D．－
【解析】由得x2－5x＋4＝0，
∴x＝1或x＝4.不妨设A(4,4)，B(1，－2)，则||＝5，||＝2，·＝(3,4)·(0，－2)＝－8，
∴cos∠AFB＝＝＝－.故选D.
【答案】D

练习1：已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)
A．－ B．－1 C．－ D．－
【答案】Ｃ
练习2： 如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝________．

【答案】
类型三　抛物线焦点弦的性质
例3：已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，
由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4，①
根据抛物线的定义得，
|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋2，
∵|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2，②
由①②得x2＝1，
∴B(1,2)，代入y＝k(x＋2)得k＝，选D.
【答案】D

练习1：过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
【解析】直线y＝x－，故
∴x2－3px＋＝0，
|AB|＝8＝x1＋x2＋p，∴4p＝8，p＝2.
【答案】2

类型四　直线与抛物线的位置关系
例4：
如图所示，O为坐标原点，过点P(2,0)，且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．
(1)写出直线l的方程；
(2)求x1x2与y1y2的值；
(3)求证：OM⊥ON
.
【解析】(1)直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)．①
(2)由①及y2＝2x，消去y可得
k2x2－2(2k2＋1)x＋4k2＝0.②
点M，N的横坐标x1与x2是②的两个根，
由韦达定理，得x1x2＝＝4.
由y＝2x1，y＝2x2，得(y1y2)2＝4x1x2＝4×4＝16，
由图可知y1y2<0，所以y1y2＝－4.
(3)证明：设OM，ON的斜率分别为k1，k2，
则k1＝，k2＝.
由(2)知，y1y2＝－4，x1x2＝4，
∴k1k2＝＝－1.∴OM⊥ON.
【答案】(1)直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)．①
(2)由①及y2＝2x，消去y可得
k2x2－2(2k2＋1)x＋4k2＝0.②
点M，N的横坐标x1与x2是②的两个根，
由韦达定理，得x1x2＝＝4.
由y＝2x1，y＝2x2，得(y1y2)2＝4x1x2＝4×4＝16，
由图可知y1y2<0，所以y1y2＝－4.
(3)证明：设OM，ON的斜率分别为k1，k2，
则k1＝，k2＝.
由(2)知，y1y2＝－4，x1x2＝4，
∴k1k2＝＝－1.∴OM⊥ON.
练习１ 设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（　　）
Ａ． B． C． D．
【答案】Ｄ
练习2：抛物线C：x2＝8y与直线y＝2x－2相交于A，B两点，点P是抛物线C上异于A，B的一点，若直线PA，PB分别与直线y＝2相交于点Q，R，O为坐标原点，则·＝________．
【答案】20

1. 已知双曲线 的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为(　　)
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【答案】Ｄ
2. 如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（　　）

A. B. C. D.
【答案】A.
3. 已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
4. 抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则_________
【答案】ｐ＝２
5. 曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．
【答案】y＝－5x＋3
6.已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有·<0?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)由已知得：曲线C上的点到点F(1,0)与到x＝－1的距离相等，∴曲线C是以F(1,0)为焦点的抛物线，
设y2＝2px(p>0)，
∵＝1，∴p＝2，∴方程为：y2＝4x(x>0)．
(2)假设存在M(m,0)(m>0)．
当直线l斜率不存在时，l：x＝m，
设交点A(m,2)，B(m，－2)，
＝(m－1,2)，＝(m－1，－2)，
∴·＝m2－6m＋1<0，
∴3－2当直线l斜率存在时，l：y＝k(x－m)(k≠0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴ky2－4y－4km＝0，∴Δ＝16＋16k2m>0恒成立，
y1＋y2＝，y1y2＝－4m，
又y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋8m，
∵·＝(－1)·(－1)＋y1y2
＝－(y＋y)＋y1y2＋12
＝m2－(＋8m)－4m＋12
＝m2－6m＋1－<0，
即：>m2－6m＋1对?k≠0恒成立，
又>0，∴m2－6m＋1<0恒成立，
∴3－2综上，m的取值范围是：3－2

_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________

基础巩固（1）
1.抛物线x2＝y的焦点坐标为(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
2.已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为(　　)
A．2 B．1 C. D.
【答案】A
3．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是(　　)
A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2
C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2
【答案】D
4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则A点的横坐标为(　　)
A．2 B．3 C．2 D．4
【答案】B
5．已知P是抛物线y2＝2x上动点，A，若点P到y轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，则d1＋d2的最小值是(　　)
A．4 B. C．5 D.
【答案】B
6. 已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|＝(　　)
A. B．3 C. D．2
【答案】B
7. 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
能力提升（2）
8．若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的左顶点，则p＝________．
【答案】2
已知一条过点P(2，1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为________．
【答案】x-y-1=0
已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝0，则＋＋＝________．
【答案】0
11. 如图1?4，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则＝________．

图1?4
【答案】1+
12.已知动点P(x，y)(y≥0)到定点F(0,1)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设圆M过点A(0,2)，且圆心M(a，b)在曲线C上，若圆M与x轴的交点分别为E(x1,0)、G(x2,0)，求线段EG的长度．


【答案】(1)依题意知，曲线C是以F(0,1)为焦点，y＝－1为准线的抛物线．
∵焦点到准线的距离p＝2，
∴曲线C方程是x2＝4y.
(2)∵圆M的半径为
∴其方程为(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋(b－2)2
令y＝0得：x2－2ax＋4b－4＝0.
则x1＋x2＝2a，x1·x2＝4b－4.
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2＝(2a)2－4(4b－4)＝4a2－16b＋16.
又∵点M(a，b)在抛物线x2＝4y上，∴a2＝4b，
∴(x1－x2)2＝16，即|x1－x2|＝4.
∴线段EG的长度是4.





1