人教版高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算（教师版）【个性化辅导含答案】
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算（教师版）【个性化辅导含答案】 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-08-10 16:27:30 | ||
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文档简介
空间向量及其运算
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1 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；
2 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；
3 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
1．空间向量的有关概念
名称 概念 表示
零向量 模为0的向量 0
单位向量 长度(模)为1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b
相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a
共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 a∥b
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb．
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示[ 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a＝λb(b≠0) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0 (a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
规律方法：
1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用，，表示，等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．
(2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和．
3.数量积的应用：
求夹角，设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角；
(2)求长度(距离)，运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；(3)解决垂直问题，利用a⊥ba·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．
类型一 空间向量的线性运算
例１：如图3-1-6,已知平行六面体.
求证:
练习１：如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设1＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：,
练习2： 设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．
类型二 共线定理、共面定理的应用
例2：射线AB、AC、AD不共面,连结BC、CD、DB,取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H,如图3-1-20,试判断四边形EFGH的图形形状,并用向量的方法证明.
练习1： 已知向量a=，b=,若ma+nb=(),则的值为______.
类型三 空间向量数量积的应用
例3：已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的长；
(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．
练习1：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.
求1与夹角的余弦值．
1． 已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是( )
A．(－1，1，0) B．(1，－1，0) C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)
2．在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3.在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．异面 D．相交但不垂直
4.O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点( )
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．无法判断
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基础巩固（1）
1．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( )
A．－2 B．－ C. D．2
2.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为( )
A．a2 B.a2 C.a2 D.a2
3．若向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则( )
A．c∥d
B．c⊥d
C．c不平行于d，c也不垂直于d
D．以上三种情况均有可能
4．已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是( )
A．(4，0，3) B．(3，1，3)
C．(1，2，3) D．(2，1，3)
5.已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．
6.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于________．
能力提升（2）
7.在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
8.A，B，C，D是空间不共面四点，且·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．
9.已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c.
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．
参考答案
类型一 空间向量的线性运算
例１：如图3-1-6,已知平行六面体.
求证:
【解析】:由于在平行六面体中,每个面都是平行四边形,故可结合空间向量加法的平行四边形法则进行向量的运算,从而证明结论.
【答案】∵平行六面体的六个面均为平行四边形,
∴
又∵
练习１：如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设1＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：,
【答案】(1)=a+c+；(2)=-a+b+
练习2： 设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．
【答案】
类型二 共线定理、共面定理的应用
例2：射线AB、AC、AD不共面,连结BC、CD、DB,取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H,如图3-1-20,试判断四边形EFGH的图形形状,并用向量的方法证明.
【答案】
解法1:四边形EFGH是平行四边形.
∵
∵E点不在上,∴EH∥FG,且EH=FG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
解法2:∵
∴又H点不在上,
∴HG∥EF,且HG=EF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
练习1： 已知向量a=，b=,若ma+nb=(),则的值为______.
【解析】由题意得：
【答案】
类型三 空间向量数量积的应用
例3：已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的长；
(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．
【解析】（1）设=p,=q，=r.
由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.
=-=（+）-=（q+r-p），
∴·=（q+r-p）·p
=（q·p+r·p-p2）=（a2·cos60°+a2·cos60°-a2）=0.
∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.
（2）由（1）可知=（q+r-p）
∴||2=2=（q+r-p）2=［q2+r2+p2+2（q·r-p·q-r·p）］
=[a2+a2+a2+2（--）=×2a2=.
∴||=a,∴MN的长为a.
(3)解 设向量与的夹角为θ.
∵＝(＋)＝(q＋r)，
＝－＝q－p，
∴·＝(q＋r)·(q－p)
＝(q2－q·p＋r·q－r·p)
＝(a2－a2cos60°＋a2cos60°－a2cos60°)＝.
又∵||＝||＝a，
∴·＝||||cosθ＝a×a×cosθ＝.
∴cosθ＝.
∴向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.
【答案】（1）见解析（2）MN的长为a.（3）异面直线AN与CM所成角的余弦值为
练习1：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.
求1与夹角的余弦值．
【答案】设=a,=b.=c
＝b＋c－a，＝a＋b，
∴||＝，||＝，
·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
∴cos〈，〉＝＝.
1． 已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是( )
A．(－1，1，0) B．(1，－1，0) C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)
【答案】B
2．在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
3.在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．异面 D．相交但不垂直
【答案】B
4.O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点( )
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．无法判断
【答案】B
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基础巩固（1）
1．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( )
A．－2 B．－ C. D．2
【答案】D
2.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为( )
A．a2 B.a2 C.a2 D.a2
【答案】C
3．若向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则( )
A．c∥d
B．c⊥d
C．c不平行于d，c也不垂直于d
D．以上三种情况均有可能
【答案】B
4．已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是( )
A．(4，0，3) B．(3，1，3)
C．(1，2，3) D．(2，1，3)
【答案】B
5.已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．
【答案】60°
6.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于________．
【答案】
能力提升（2）
7.在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
【答案】
8.A，B，C，D是空间不共面四点，且·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．
【答案】锐角
9.已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c.
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．
【答案】解 (1)∵c∥，＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，
∴c＝m＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)，
∴|c|＝＝3|m|＝3，
∴m＝±1.
∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2)．
(2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，
∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，
又∵|a|＝＝，
|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
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1 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；
2 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；
3 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
1．空间向量的有关概念
名称 概念 表示
零向量 模为0的向量 0
单位向量 长度(模)为1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b
相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a
共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 a∥b
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb．
(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示[ 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a＝λb(b≠0) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直 a·b＝0 (a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a|
夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝
规律方法：
1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用，，表示，等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．
(2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和．
3.数量积的应用：
求夹角，设向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两异面直线所成的角；
(2)求长度(距离)，运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；(3)解决垂直问题，利用a⊥ba·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．
类型一 空间向量的线性运算
例１：如图3-1-6,已知平行六面体.
求证:
练习１：如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设1＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：,
练习2： 设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．
类型二 共线定理、共面定理的应用
例2：射线AB、AC、AD不共面,连结BC、CD、DB,取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H,如图3-1-20,试判断四边形EFGH的图形形状,并用向量的方法证明.
练习1： 已知向量a=，b=,若ma+nb=(),则的值为______.
类型三 空间向量数量积的应用
例3：已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的长；
(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．
练习1：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.
求1与夹角的余弦值．
1． 已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是( )
A．(－1，1，0) B．(1，－1，0) C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)
2．在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3.在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．异面 D．相交但不垂直
4.O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点( )
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．无法判断
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基础巩固（1）
1．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( )
A．－2 B．－ C. D．2
2.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为( )
A．a2 B.a2 C.a2 D.a2
3．若向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则( )
A．c∥d
B．c⊥d
C．c不平行于d，c也不垂直于d
D．以上三种情况均有可能
4．已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是( )
A．(4，0，3) B．(3，1，3)
C．(1，2，3) D．(2，1，3)
5.已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．
6.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于________．
能力提升（2）
7.在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
8.A，B，C，D是空间不共面四点，且·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．
9.已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c.
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．
参考答案
类型一 空间向量的线性运算
例１：如图3-1-6,已知平行六面体.
求证:
【解析】:由于在平行六面体中,每个面都是平行四边形,故可结合空间向量加法的平行四边形法则进行向量的运算,从而证明结论.
【答案】∵平行六面体的六个面均为平行四边形,
∴
又∵
练习１：如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设1＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：,
【答案】(1)=a+c+；(2)=-a+b+
练习2： 设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．
【答案】
类型二 共线定理、共面定理的应用
例2：射线AB、AC、AD不共面,连结BC、CD、DB,取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H,如图3-1-20,试判断四边形EFGH的图形形状,并用向量的方法证明.
【答案】
解法1:四边形EFGH是平行四边形.
∵
∵E点不在上,∴EH∥FG,且EH=FG,
∴四边形EFGH是平行四边形.
解法2:∵
∴又H点不在上,
∴HG∥EF,且HG=EF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
练习1： 已知向量a=，b=,若ma+nb=(),则的值为______.
【解析】由题意得：
【答案】
类型三 空间向量数量积的应用
例3：已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；
(2)求MN的长；
(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．
【解析】（1）设=p,=q，=r.
由题意可知：|p|=|q|=|r|=a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.
=-=（+）-=（q+r-p），
∴·=（q+r-p）·p
=（q·p+r·p-p2）=（a2·cos60°+a2·cos60°-a2）=0.
∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD.
（2）由（1）可知=（q+r-p）
∴||2=2=（q+r-p）2=［q2+r2+p2+2（q·r-p·q-r·p）］
=[a2+a2+a2+2（--）=×2a2=.
∴||=a,∴MN的长为a.
(3)解 设向量与的夹角为θ.
∵＝(＋)＝(q＋r)，
＝－＝q－p，
∴·＝(q＋r)·(q－p)
＝(q2－q·p＋r·q－r·p)
＝(a2－a2cos60°＋a2cos60°－a2cos60°)＝.
又∵||＝||＝a，
∴·＝||||cosθ＝a×a×cosθ＝.
∴cosθ＝.
∴向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.
【答案】（1）见解析（2）MN的长为a.（3）异面直线AN与CM所成角的余弦值为
练习1：在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.
求1与夹角的余弦值．
【答案】设=a,=b.=c
＝b＋c－a，＝a＋b，
∴||＝，||＝，
·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
∴cos〈，〉＝＝.
1． 已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是( )
A．(－1，1，0) B．(1，－1，0) C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)
【答案】B
2．在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
3.在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．异面 D．相交但不垂直
【答案】B
4.O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点( )
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．无法判断
【答案】B
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基础巩固（1）
1．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( )
A．－2 B．－ C. D．2
【答案】D
2.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为( )
A．a2 B.a2 C.a2 D.a2
【答案】C
3．若向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则( )
A．c∥d
B．c⊥d
C．c不平行于d，c也不垂直于d
D．以上三种情况均有可能
【答案】B
4．已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是( )
A．(4，0，3) B．(3，1，3)
C．(1，2，3) D．(2，1，3)
【答案】B
5.已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．
【答案】60°
6.已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于________．
【答案】
能力提升（2）
7.在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
【答案】
8.A，B，C，D是空间不共面四点，且·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的形状是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．
【答案】锐角
9.已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c.
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．
【答案】解 (1)∵c∥，＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，
∴c＝m＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)，
∴|c|＝＝3|m|＝3，
∴m＝±1.
∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2)．
(2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，
∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，
又∵|a|＝＝，
|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
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