人教版高中数学选修2-1第一章常用逻辑用语 1.1-1.2命题与充要条件（教师版）【个性化辅导含答案】

命题与充要条件



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１　理解四种命题及其相互关系，会判断四种命题的真假。
２　理解简单的逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容。
３　会用“全称量词与存在量词”对命题进行否定。
４　理解充分条件、必要条件、充要条件等概念。
５　能够判断给定的两个命题的充要关系，充分条件与必要条件的判断。



1．命题
能判断真假的语句叫做命题．
四种命题表述形式
原命题：若p，则ｑ
逆命题：若q，则p
否命题：若非p，则非q
逆否命题：若非q，则非p
2．全称量词与全称命题
(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词．
(2)全称命题：含有全称量词的命题．
(3)全称命题的符号表示
形如“对M中所有x，p(x)”的命题，可用符号简记为“x∈M，p(x)”．
3．存在量词与存在性命题
(1)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词。
(2)存在性命题：含有全称量词的命题．
(3)存在性命题的符号表示
形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为x∈M，q(x)。
4．基本逻辑联结词
常用的基本逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．
5．命题p∧q，p∨q，非p的真假判断
p q p∧q p∨q 非p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真


6．含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
x∈M，p(x) x∈M，非p(x)
x∈M，p(x) x∈M，非p(x)


7．充分条件、必要条件与充要条件
(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作pq，称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)如果既有pq，又有qp，记作pq，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．
p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价．
8．命题的四种形式及真假关系

互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．
【特别提醒】等价命题和等价转化
(1)逆命题与否命题互为逆否命题；
(2)互为逆否命题的两个命题同真假；
(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．

类型一　命题的四种形式及其关系
例1：已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是(　　)
A．否命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题
B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题
C．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题
D．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题
【解析】　命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．
【答案】　D
练习1：给出命题“已知a、b、c、d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d”,对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言,真命题有（　　）
A.0个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】　在四种命题中原命题和逆否命题同真假,故只需判断原命题和逆命题的真假即可．原命题为真．所以逆否命题为真．逆命题为“已知a、b、c、d是实数,若a+c=b+d,则a=b,c=d”,显然错误．所以否命题也错误．故真命题个数为2．
【答案】　B
练习2：命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　)
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
【解析】　若命题为“若p则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，所以原命题的逆否命题是“若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数”。
【答案】　C

类型二　含有逻辑联结词命题真假的判断
例2：设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是(　　)
A．p为真 B．非q为假 C．p∧q为假 D．p∨q为真
【解析】　由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题P是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题
由此结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p∧q为假命题，p∨q为是假命题
考查四个选项，C选项正确，
【答案】　C
练习１ ：设命题：，则为(　　　)
A. B.
C. D.
【解析】　全称命题的否定与特称命题的否定是高考考查的重点，对特称命题的否定，将存在换成任意，后边变为其否定形式，注意全称命题与特称命题否定的书写，是常规题，很好考查了学生对双基的掌握程度.:，故选C.
【答案】　C
练习2：已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数；p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(非p1)∨p2和q4：p1∧(非p2)中，真命题是(　　)
A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4
【解析】　选C.p1为真命题，p2为假命题，∴非p1为假命题，非p2为真命题．故选C.
【答案】　C
例3：判断下列命题的真假．
x∈R，x2－x＋1>；
(2)α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ；
(3)x，y∈N，x－y∈N；
(4)x0，y0∈Z，x0＋y0＝3.
【解析】　(1)真命题，x2－x＋1＝(x－)2＋≥>.
(2)真命题，如α＝，β＝符合题意．
(3)假命题，如x＝1，y＝5，但x－y＝－4N.
(4)真命题，如x0＝0，y0＝3符合题意．
【答案】　真命题，真命题，假命题，真命题。
练习3：写出下列命题的否定形式，并判断其真假．
(1)p：x∈R，x2－x＋≥0；
(2)s：至少存在一个实数x，使x3＋1＝0.
【解析】　(1)非p：x∈R，x2－x＋＜0，是假命题，因为x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立．
非s：x∈R，x3＋1≠0，是假命题，因为当x＝－1时，x3＋1＝0.
【答案】　非p：x∈R，x2－x＋＜0，是假命题。非s：x∈R，x3＋1≠0，是假命题。
类型三　充要条件的判断
例4：设集合m＝{x|x>2}，p＝{x|x<3}，那么“x∈m或x∈p”是x∈p∩m的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】“x∈m或x∈p”即x∈R，而x∈p∩m即x∈(2,3)．∴x∈p∩mx∈m或x∈p，但x∈m或x∈p推不出x∈p∩m.
【答案】B
练习1：给出下列命题：
①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；
② “a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；
③“m＝3”是“直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；
④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，则“A＝30°”是“B＝60°”的必要不充分条件．
其中真命题的序号是________．
【解析】　对于①，当数列{an}是等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列；但当数列{anan＋1}是等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a≤2时，函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m＝3，也可能得出m＝0，因此③不正确．对于④，由题意，得＝，当B＝60°时，有sinA＝，注意到b>a，故A＝30°；但当A＝30°时，有sinB＝，B＝60°或B＝120°，因此④正确．
【答案】　①④
练习2 ：设，.若p：成等比数列；
q：，则（　　）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【解析】　充分性：若命题ｐ成立，不妨设数列的公比为，则根据柯西不等式，当，时，命题ｑ成立，因此充分性成立；
必要性：当时，命题ｑ成立，而不为等比数列，即命题ｐ不成立，故必要性不成立。
综上，ｐ是ｑ的充分条件，但不是ｑ的必要条件。
故本题正确答案为A
【答案】　A
类型三　求参数的取值范围
例5：已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)．若非p是非q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【解析】方法1：由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0得1－m≤x≤1＋m(m>0)．
∴非p：A＝{x|x>10或x<－2}，非q：B＝{x|x>1＋m或x<1－m}．
∵非p是非q的充分不必要条件，∴AB.
∴解得0方法2：由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0得1－m≤x≤1＋m(m>0)，
∴p：A＝{x|－2≤x≤10}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
∵非p是非q的充分不必要条件，∴q也是p的充分不必要条件，∴BA.
∴解得0【答案】0练习1：已知命题p：函数log0．5(x2+2x+a)的值域为R，命题q：函数y=-(5-2a)x是减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤1 B．a<2 C．1【解析】　分别求命题P为真命题的a的范围，命题q为真命题的a的范围；根据p或q为真命题，p且q为假命题，得到命题p，q中有一个真命题，一个假命题，分命题p为真命题且命题q为假命题和命题q为真命题且命题p为假命题两类求出a的范围．本题考查根据复合命题的真假得到构成其简单命题的真假情况．解：命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数x2+2x+a的判别式△=4-4a≥0，从而a≤1；命题q为真时，5-2a＞1?a＜2．若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题．若p为真，q为假时，无解；若p为假，q为真时，结果为1＜a＜2。
【答案】　C．
练习2：已知c>0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上递减；q：函数f(x)＝x2－2cx－1在上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，则实数c的取值范围为________．
【解析】　若p为真，∵函数y=cx在R上单调递减，∴0＜c＜1，若q为真，∵函数f（x）=x2-2cx+1在（1/2，+∞）上为增函数f（x）对称轴为x=c，∴0＜c≤1/2
（1）p为真，q为假，∴实数c的取值范围是1/2（2）p假q真，无解。
∴实数c的取值范围是1/2【答案】　1/2类型四　充要条件的应用
例6：已知集合M={x||x+1|+|x-3|>8},P={x|x2+(a-8)x-8a≤0}，若M∩P={x|5＜x≤8}求a取值范围。
【解析】　解M：当x>3时x+1+x-3>8,得x>5。当-18,无解。当x≤-1时，-x-1+3-x>8,得x<-3。即M=｛x|x>5或x<-3},M∩P={x|5＜x≤8}，则　记f(x)=x2+(a-8)x-8a=0两根x1【答案】　解M：当x>3时x+1+x-3>8,得x>5。当-18,无解。当x≤-1时，-x-1+3-x>8,得x<-3。即M=｛x|x>5 or x<-3},M∩P={x|5＜x≤8}，则　记f(x)=x2+(a-8)x-8a=0两根x1练习1：已知p：x2－4x－5≤0，q：|x－3|0)．若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．
【解析】　设A＝{x|x2－4x－5≤0}＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|－a＋34。
【答案】　设A＝{x|x2－4x－5≤0}＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|－a＋34。


1.已知命题p:函数f(x)＝－在区间内存在零点，命题q:存在负数x使得
>给出下列四个命题：①p或q；②p且q；③p的否定；④q的否定．其中真命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】命题p为假命题，命题q也为假命题．利用真值表判断．
【答案】B
2.命题“若α＝，则tanα＝1”的逆否命题是(　　)
A．若α≠，则tanα≠1 B．若α＝，则tanα≠1
C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α＝
【答案】　C
3. 设，则“”是“”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】　A
4．下列命题中为真命题的是(　　)
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
【答案】　A
5．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．
【答案】　[3,8)
6.已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若非p是非q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】　由题意得p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.
∴非p：x<1或x>5.
q：m－1≤x≤m＋1，∴非q：xm＋1.
又∵非p是非q的充分而不必要条件，
∴或，
解得2

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基础巩固（1）
1. 设命题：，则为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　C
2. 命题“且的否定形式是（　　）
A.且 B.或
C.且 D.或
【答案】　D.
3.判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．
【答案】　逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0.
判断如下：
∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<0，∴a<－<0，
∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0”为真命题．
4.下列命题：
①若ac2>bc2，则a>b；
②若sinα＝sinβ，则α＝β；
③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；
④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．
其中正确命题的序号是________．
【答案】　①③④
设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
【答案】　3或4


能力提升（2）
6.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．
【答案】　[1,2)
“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的____________条件．
【答案】　充分不必要
设有两个命题p、q.其中p：对于任意的x∈R，不等式ax2＋2x＋1>0恒成立；命题q：f(x)＝(4a－3)x在R上为减函．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a的取值范围是____________．
【答案】　∪(1，＋∞)
9.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根都大于3是的一个充分不必要条件．
【答案】证明：先证充分性：由于方程的两根都大于3，即x1>3，x2>3，可得成立；再证不必要性：
若成立，不一定推出两根都大于3.如：x1＝1，x2＝10时x1＋x2>6，x1x2>9，但x1>3不成立，从而原命题得证．



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