§3．1.1 变化率问题
§3．1.2 导数的概念
【学情分析】：
本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：
1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义.
2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵.
学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。
【教学目标】：
知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.
【教学重点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.
【教学难点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
问题1 气球膨胀率
（一）问题提出
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
分析: ，
（1）当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
（2）当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
为导数概念的引入做铺垫
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
思考计算：和的平均速度
在这段时间里，；
在这段时间里，
探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
（1）运动员在这段时间内使静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
所以，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
（二）平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
2．若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)
则平均变化率为
思考：观察函数f(x)的图象
平均变化率表示什么?
（1）一起讨论、分析，得出结果；
（2）计算平均变化率的步骤：
①求自变量的增量Δx=x2-x1；
②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；
③求平均变化率.
注意：①Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；
②x2= x1+Δx；
③Δf=Δy=y2-y1；
三．典例分析
例1．已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 ．
解：，
∴
求在附近的平均变化率。
解：，所以
所以在附近的平均变化率为
让学生进一步认识瞬时速度，为引入导数的概念做好铺垫.
四、瞬时速度
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，时的瞬时速度是多少？考察附近的情况：
思考：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势？
结论：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值．
从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在时的瞬时速度是
为了表述方便，我们用
表示“当，趋近于0时，平均速度趋近于定值”
小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
五、导数的概念
设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即
注意：（1）函数应在点的附近有定义，否则导数不存在
（2）在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0
（3）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
（4）是函数对自变量在范围内的平均变化率.
（5），当时，，所以
（定义的变形）
要让学生理解导数概念
六、典例分析
例3、求y=x2在点x=1处的导数.
分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求Δy，再求，最后求.
解：Δy=(1+Δx)2－12=2Δx+(Δx)2，=2+Δx
∴= (2+Δx)=2. ∴y′|x=1=2.
注意：(Δx)2括号别忘了写.
例4、求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：
例5、（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第时，原油的温度（单位：）为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和
根据导数定义，
所以
同理可得:
在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升．
注：一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．
七、引申
例6、函数满足，则当x无限趋近于0时，
（1）
（2）
变式:设f(x)在x=x0处可导，
（3）无限趋近于1，则=___________
（4）无限趋近于1，则=________________
（5）当△x无限趋近于0，所对应的常数与的关系。
八、课堂小结
（1）理解平均变化率、导数的概念。
（2）求函数的导数的一般方法：
①求函数的改变量.
②求平均变化率.
③取极限，得导数＝.
补充题目：1.一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（ ）
Ａ．从时间到时，物体的平均速度； Ｂ．在时刻时该物体的瞬时速度；
Ｃ．当时间为时物体的速度； Ｄ．从时间到时物体的平均速度
2．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的瞬时速度
解：瞬时速度v=
(10+Δt)=10 m/s.
∴瞬时速度v=2t=2×5=10 m/s.
3.质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t=2时的瞬时速度.
解：瞬时速度v=
=(8+2Δt)=8 cm/s.
课件15张PPT。1.1.1 变化率问题问题1 气球膨胀率 在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了气球的平均膨胀率为当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了气球的平均膨胀率为 随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2 高台跳水 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态, 那么:在0 ≤ t ≤0.5这段时间里,在1≤ t ≤2这段时间里,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。 计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?探 究:现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：（注： 3月18日为第一天）问题3：问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义
是什么？（形与数两方面）问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？（1 ）曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度。（2）由点B上升到C点，必须考察yC—yB的大小，但仅仅注意
yC—yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？在考察yC—yB的同时必须考察xC—xB，函数的本质在于一个
量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。(3)我们用比值 近似地量化B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为【32，34】上的平均变化率(4)分别计算气温在区间【1，32】 【32，34】的平均变化率现在回答问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的
数学意义是什么？（形与数两方面）定义:平均变化率: 式子 称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则理解：
1，式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但
的△x值不能为0， △ y 的值可以为0
2，若函数f (x)为常函数时， △ y =0
3, 变式思考:观察函数f(x)的图象
平均变化率
表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直线AB的斜率练习: 1.甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果? 2.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.(1) [ –3 , –1] ; (2) [ 0 , 5 ] .做两个题吧!1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( )
A 、 3 B、 3Δx-(Δx)2
C 、 3-(Δx)2 D 、3-Δx D2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.
2x0+Δx 小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
课件11张PPT。1.1.2 导数的概念在高台跳水运动中,平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 又如何求
瞬时速度呢?
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度当△t = – 0.01时,当△t = 0.01时,当△t = – 0.001时,当△t =0.001时,当△t = –0.0001时,当△t =0.0001时,△t = – 0.00001,△t = 0.00001,△t = – 0.000001,△t =0.000001,………… 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1.表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– 13.1”.从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度探 究:1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?定义:函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作或 , 即定义:函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作或 , 即由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:求函数的改变量
2. 求平均变化率
3. 求值一差、二化、三极限 例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是和根据导数的定义,所以,同理可得 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 / h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 / h的速率上升. 例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说明它们的意义.课堂练习:
如果质点A按规律 则在t=3s
时的瞬时速度为
A.6 B.18 C.54 D.81练习：§1.1.1变化率问题
教学目标
1．理解平均变化率的概念；
2．了解平均变化率的几何意义；
3．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；
教学难点：平均变化率的概念．
教学过程：
一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
二．新课讲授
（一）问题提出
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是
如果将半径r表示为体积V的函数,那么
分析: ，
当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
思考计算：和的平均速度
在这段时间里，；
在这段时间里，
探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
所以，
虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
（二）平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
2．若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)
则平均变化率为
思考：观察函数f(x)的图象
平均变化率表示什么?
直线AB的斜率
三．典例分析
例1．已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 ．
解：，
∴
求在附近的平均变化率。
解：，所以
所以在附近的平均变化率为
四．课堂练习
1．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为 ．
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.
3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
五．回顾总结
1．平均变化率的概念
2．函数在某点处附近的平均变化率
六．布置作业
/
1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念
/
[学习目标]
1．了解导数概念的实际背景．
2．会求函数在某一点附近的平均变化率．
3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．
[知识链接]
很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？
答 气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝，
(1)当V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62 (dm)，
气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L)．
(2)当V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16 (dm)，
气球的平均膨胀率为≈0.16(dm/L)．
可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
[预习导引]
1．函数的变化率
定义
实例
平均
变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，简记作：
①平均速度；②曲线割线的斜率
瞬时
变化率
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即 ＝ .
①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率
2.函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .
/
要点一 求平均变化率
例1 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.
(2)根据(1)中的计算，当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
解 (1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h (1)＝－4.9 (Δx)2－3.3Δx，∴＝－4.9Δx－3.3.
①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；
②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；
③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；
④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
(2)当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.
规律方法 求平均变化率的主要步骤：
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
跟踪演练1 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
解 函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝＝6x0＋3Δx.
当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
要点二 物体运动的瞬时速度
例2 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝ s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．
解 令t0＝，Δt为增量．则＝＋
＝＝－4.9＋6.5，
∴ ＝ ＝0，
即运动员在t0＝ s时的瞬时速度为0 m/s.
说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．
规律方法 求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：
(1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
(2)求时间t0到t0＋Δt之间的平均速度＝；
(3)求 的值，即得t＝t0时的瞬时速度．
跟踪演练2 一质点按规律s(t)＝at2＋1作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．
解 ∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1
＝4aΔt＋a(Δt)2，
∴＝4a＋aΔt.
在t＝2 s时，瞬时速度为 ＝4a，即4a＝8，∴a＝2.
要点三 函数在某点处的导数
例3 求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．
解 Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，
∵＝＝3Δx＋4，
∴y′|x＝1＝ ＝ (3Δx＋4)＝4.
规律方法 求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：
(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)取极限，得导数f′(x0)＝ .
跟踪演练3 利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．
解 由导数的定义知，函数在x＝2处的导数
f′(2)＝ ，而f(2＋Δx)－f(2)
＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)
＝－(Δx)2－Δx，
于是f′(2)＝ ＝ (－Δx－1)＝－1.
/
1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( )
A．4 B．4.1
C．0.41 D．3
答案 B
解析 ＝＝4.1.
2．函数f(x)在x0处可导，则 ( )
A．与x0、h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0、h均无关
答案 B
3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于( )
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
答案 C
解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1＝2(Δx)2＋4Δx，∴＝2Δx＋4.
4．已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________.
答案 －
解析 f′(1)＝ ＝
＝ ＝－.
/
利用导数定义求导数三步曲：
(1)作差求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)作比求平均变化率＝；
(3)取极限得导数f′(x0)＝ ，
简记为一差，二比，三极限.
/
一、基础达标
1．函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率中，Δx不可能是( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
答案 C
2．
/
如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案 B
解析 ＝＝＝－1.
3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2) (s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为( )
A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s
C．0.88 m/s D．4.8 m/s
答案 A
解析 物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．
4．设函数f(x)可导，则 等于( )
A．f′(1) B．3f′(1)
C．f′(1) D．f′(3)
答案 A
解析 ＝f′(1)．
5．已知函数y＝＋3，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________.
答案
解析 Δy＝f(1.5)－f(2)＝－＝－1＝.
6．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．
答案 3
解析 v初＝s′|t＝0＝ ＝ (3－Δt)＝3.
7．利用定义求函数y＝－2x2＋5在x＝2处的瞬时变化率．
解 因为在x＝2附近，Δy＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，所以函数在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率为＝＝－8－2Δx.故函数y＝－2x2＋5在x＝2处的瞬时变化率为 (－8－2Δx)＝－8.
二、能力提升
8.
/
甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是( )
A．甲 B．乙
C．相同 D．不确定
答案 B
解析 在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，
但是，在t0－Δt处，W1(t0－Δt)即<，所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．
9．过曲线y＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝________，当Δx＝0.001时，割线的斜率k＝________.
答案 2.1 2.001
解析 ∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，
∴＝2＋Δx，∴割线斜率为2＋Δx，
当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1.
当Δx＝0.001时，割线PQ的斜率k＝2＋0.001＝2.001.
10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．
答案 2
解析 由导数的定义，
得f′(0)＝
＝
＝ [a·(Δx)＋b]＝b＞0.
又，∴ac≥，∴c>0.
∴＝≥≥＝2.
11．求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
解 Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
∴＝＝2Δx＋16.
∴y′|x＝3＝ ＝ (2Δx＋16)＝16.
12．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值．
解 ∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c
＝a(Δx)2＋2aΔx.
∴f′(1)＝ ＝
＝ (aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，∴a＝1.
三、探究与创新
13．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．
解 由导数的定义知，
f′(x)＝ ＝2x，
g′(x)＝ ＝3x2.
∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2.
即3x2－2x－2＝0，解得x＝或x＝.
1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念
明目标、知重点
1．了解导数概念的实际背景．
2．会求函数在某一点附近的平均变化率．
3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．
1．函数的变化率
定义
实例
平均变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，简记作：
①平均速度；②曲线割线的斜率
瞬时变化率
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即 ＝
①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；②切线斜率
2.函数f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .
情境导学]
某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？
探究点一 平均变化率的概念
思考1 气球膨胀率
很多人都吹过气球．回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？
答 气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝ ，
(1)当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了
r(1)－r(0)≈0.62 (dm)，
气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L)．
(2)当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16 (dm)，
气球的平均膨胀率为≈0.16(dm/L)．
可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
结论 当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是.
思考2 高台跳水
人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系
h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.
计算运动员在时间段①0≤t≤0.5，②1≤t≤2内的平均速度，并思考平均速度有什么作用？
答 ①在0≤t≤0.5这段时间里，
＝＝4.05(m/s)；
②在1≤t≤2这段时间里，
＝＝－8.2(m/s)．
由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢．
思考3 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？思考1和思考2中的平均变化率分别表示什么？
答 如果上述两个思考中的函数关系用y＝f(x)表示，那么思考中的变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．思考1中的平均变化率表示在空气容量从V1增加到V2时，气球半径的平均增长率．思考2中的平均变化率表示在时间从t1增加到t2时，高度h的平均增长率．
思考4 平均变化率也可以用式子表示，其中Δy、Δx的意义是什么？有什么几何意义？
答 Δx表示x2－x1是相对于x1的一个“增量”；Δy表示f(x2)－f(x1)．Δx、Δy的值可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零．
观察图象可看出，表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))连线的斜率．
小结 平均变化率为＝，其几何意义是：函数y＝f(x)的图象上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))连线的斜率．
例1 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.
(1)求当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率；
(2)求当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率；
(3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．
解 f(x)＝2x2＋3x－5，
∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)
＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5)
＝2(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx
＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx
＝2(Δx)2＋19Δx.
＝＝2Δx＋19.
(1)当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1，
Δy＝2(Δx)2＋19Δx＝2＋19＝21，＝21.
(2)当x1＝4，x2＝4.1时Δx＝0.1，
Δy＝2(Δx)2＋19Δx＝0.02＋1.9＝1.92.
＝2Δx＋19＝19.2.
(3)在(1)题中＝＝，
它表示抛物线上点P0(4,39)与点P1(5,60)连线的斜率．
在(2)题中，＝＝，
它表示抛物线上点P0(4,39)与点P2(4.1,40.92)连线的斜率．
反思与感悟 求平均变化率的主要步骤：
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.
(3)得平均变化率＝.
跟踪训练1 (1)计算函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.
(2)思考：当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
解 (1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)
＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，
∴＝－4.9Δx－3.3.
①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；
②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；
③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；
④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
(2)当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.
探究点二 函数在某点处的导数
思考1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？
答 不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，
易知h()＝h(0)，＝＝0，
而运动员依然是运动状态．
思考2 观察跟踪训练1，当Δx＝0.000 01时，＝？这个平均速度能描述物体的运动状态吗？
答 ＝－4.9Δx－3.3＝－3.300 049，说明当时间间隔非常小的时候平均速度约等于一个常数，这个常数就是x＝1这一时刻的速度．
思考3 什么叫做瞬时速度？它与平均速度的区别与联系是什么？平均变化率与瞬时变化率的关系如何？
答 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．如求t＝2时的瞬时速度，可考察在t＝2附近的一个间隔Δt，当Δt趋近于0时，平均速度v趋近于 ，这就是物体在t＝2时的瞬时速度．类似可以得出平均变化率与瞬时变化率的关系，我们把函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
＝ 叫做函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．
思考4 导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？
答 导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度．
小结 1.函数的瞬时变化率：
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
＝ .
2．函数在某点处的导数：我们称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即
f′(x0)＝ ＝ .
例2 利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．
解 由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝
，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，
于是f′(2)＝ ＝ (－Δx－1)＝－1.
反思与感悟 求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：
(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)取极限，得导数f′(x0)＝ .
跟踪训练2 求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．
解 Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)
＝3(Δx)2＋4Δx，
∵＝＝3Δx＋4，
∴y′|x＝1＝ ＝ (3Δx＋4)＝4.
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解 在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2)和f′(6)．
根据导数的定义，＝
＝
＝＝Δx－3，
所以，f′(2)＝ ＝ (Δx－3)＝－3.
同理可得，f′(6)＝5.
在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5.它说明在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升．
反思与感悟 (1)本题中，f′(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况．
(2)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：
平均变化率＝，当Δx趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．
跟踪训练3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，求运动员在t＝ s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．
解 令t0＝，Δt为增量．
则＝
＝＝－4.9＋6.5，
∴ ＝－4.9＋6.5]＝0，
即运动员在t0＝ s时的瞬时速度为0 m/s.
说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．
1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间2，2.1]中相应的平均速度是( )．
A．4 B．4.1 C．0.41 D．3
答案 B
解析 ＝＝4.1.
2．函数f(x)在x0处可导，则 ( )
A．与x0、h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0、h均无关
答案 B
3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于( )
A．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
答案 C
解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－1
＝2(Δx)2＋4Δx，∴＝2Δx＋4.
4．已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________.
答案 －
解析 f′(1)＝
＝
＝ ＝－.
呈重点、现规律]
利用导数定义求导数三步曲：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)取极限，得导数f′(x0)＝ .
简记为一差，二比，三趋近．
特别提醒 ①取极限前，要注意化简，保证使Δx→0时分母不为0.
②函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．
③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.
一、基础过关
1．函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为( )
A．－6 B．Δx－6
C．－2 D．Δx－2
答案 B
解析 设y＝f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
Δy＝f(－2＋Δx)－f(－2)＝(－2＋Δx－1)2－(－2－1)2＝(－3＋Δx)2－9＝(Δx)2－6Δx，
所以＝Δx－6，
所以函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为Δx－6.
2．函数y＝1在2,2＋Δx]上的平均变化率是( )
A．0 B．1 C．2 D．Δx
答案 A
解析 ＝＝0.
3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为( )．
A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s
C．0.88 m/s D．4.8 m/s
答案 A
解析 物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．
4．一质点按规律s(t)＝2t3运动，则t＝1时的瞬时速度为( )
A．4 B．6 C．24 D．48
答案 B
解析 ∵s′(1)＝
＝ ＝2(t2＋t＋1)＝6.
5．已知函数y＝2＋，当x由1变到2时，函数的增量Δy＝________.
答案 －
解析 Δy＝－(2＋1)＝－.
6.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是( )
A．甲 B．乙
C．相同 D．不确定
答案 B
解析 在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，
但是，在t0－Δt处，W1(t0－Δt)即<，
所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．
7．利用定义求函数y＝－2x2＋5在x＝2处的瞬时变化率．
解 因为在x＝2附近，Δy＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx－2(Δx)2，所以函数在区间2,2＋Δx]内的平均变化率为＝＝－8－2Δx.
故函数y＝－2x2＋5在x＝2处的瞬时变化率为
(－8－2Δx)＝－8.
二、能力提升
8．过曲线y＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝______，当Δx＝0.001时，割线的斜率k＝________.
答案 2.1 2.001
解析 ∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)
＝2Δx＋(Δx)2，∴＝2＋Δx，
∴割线斜率为2＋Δx，
当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1.
当Δx＝0.001时，割线PQ的斜率k＝2＋0.001＝2.001.
9．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则物体的初速度是________．
答案 3
解析 v初＝s′|t＝0＝li
＝li (3－Δt)＝3.
10．求y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．
解 因为Δy＝－，
所以y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为＝＝.
11．求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数．
解 Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
∴＝＝2Δx＋16.
∴y′|x＝3＝ ＝ (2Δx＋16)＝16.
12．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值．
解 ∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c
＝a(Δx)2＋2aΔx.
∴f′(1)＝ ＝
＝ (aΔx＋2a)＝2，即2a＝2，∴a＝1.
三、探究与拓展
13．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x的值．
解 由导数的定义知，
f′(x)＝ ＝2x，
g′(x)＝ ＝3x2.
∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2.
即3x2－2x－2＝0，解得x＝或x＝.
课件39张PPT。第 一 章导数及其应用1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念 自主学习 新知突破1．了解实际问题中平均变化率的意义．
2．理解函数的平均变化率与瞬时变化率的概念．
3．理解并掌握导数的概念．
4．掌握求函数在一点处的导数的方法．现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：
[问题1] “气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？(形与数两方面)
[提示1] 曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度．
[问题2] 由点B上升到点C，必须考察yC－yB的大小，但仅仅注意yC－yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？函数的变化率 [x1，x2] x0 1．关于函数的平均变化率，应注意以下几点
(1)函数f(x)在x1处有定义．
(2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．
(3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．函数y＝f(x)在x＝x0处的_______变化率称为函数y＝f(x)在__________处的导数，记作__________或 __________，导数的概念 瞬时x＝x0f′(x0)y′|x＝x02．对函数在某点处导数的认识
(1)函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量．
(2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．
(3)导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40 B．0.41
C．0.43 D．0.44
解析： Δy＝f(2.1)－f(2)＝0.41.
答案： B2．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18
C．54 D．81
答案： B3．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2.其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度为________．
答案： 5米/秒合作探究 课堂互动 求函数的平均变化率 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
[思路点拨] 先求自变量的增量和函数值的增量，然后代入公式计算．求物体的瞬时速度 已知函数f(x)＝2x2＋1.
(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；
(2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率；
(3)求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率． 1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步缩小区间长度，根据平均变化率的变化情况估计出瞬时变化率．求函数f(x)在某点处的导数 已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数． 3．已知函数y＝2x2＋4x.
(1)求函数在x＝3处的导数；
(2)若函数在x0处的导数是12，求x0的值．答案： C谢谢观看！
