课件25张PPT。1.求过曲线y=x3-2x上的点(1,-1)的切线方程求过某点的曲线的切线方程时，除了要判断该点是否
在曲线上，还要分“该点是切点”和“该点不是切点”两种
情况进行讨论，解法复制。若设M(x0,y0)为曲线y=f(x)上
一点，则以M为切点的曲线的切线方程可设为
y-y0=f’(x)(x-x0)，利用此切线方程可以简化解题，避免
疏漏。1.3.1 函数的单调性与导数（4）.对数函数的导数:（5）.指数函数的导数: （3）.三角函数 ： （1）.常函数：(C)/ ? 0, (c为常数)； （2）.幂函数 ： (xn)/ ? nxn?1
一、复习回顾：基本初等函数的导数公式函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时函数单调性判定单调函数的图象特征1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是增函数；2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是减函数；若 f(x) 在G上是增函数或减函数，增函数减函数则 f(x) 在G上具有严格的单调性。G 称为单调区间G = ( a , b )二、复习引入:在（－ ∞ ，0）和（0, ＋∞）
上分别是减函数。但在定义域上不是减函数。在（－ ∞ ，1）上是减函数，在（1, ＋∞）上是增函数。在(－ ∞,＋∞)上是增函数概念回顾画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间(1)函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概
念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量x而言的。
若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；
若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1 察: 下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 的图象, 图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象.
运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?aabbttvhOO(1)(2)xyOxyOxyOxyOy = xy = x2y = x3 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数
在这个区间内单调递增; 如果 ,那么函数 在这个区间内单调递减.题1 已知导函数 的下列信息:当1 < x < 4 时,当 x > 4 , 或 x < 1时,当 x = 4 , 或 x = 1时,试画出函数 的图象的大致形状.解: 题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:解:(1) 因为 , 所以因此, 函数 在 上单调递增.(2) 因为 , 所以当 , 即 时, 函数 单调递增;当 , 即 时, 函数 单调递减.题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:解:(3) 因为 , 所以因此, 函数 在 上单调递减.(4) 因为 , 所以 当 , 即 时, 函数 单调递增; 当 , 即 时, 函数 单调递减.1、求可导函数f(x)单调区间的步骤：
(1)求f’(x)
(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)
(3)确认并指出递增区间（或递减区间）2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：
(1)求f’(x)
(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号
(3)作出结论练习判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO 一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.练习2.函数 的图象如图所示, 试画出导函数 图象的大致形状练习3.讨论二次函数 的单调区间.解: 练习4.求证: 函数 在 内是减函数.解: 一、求参数的取值范围增例2：求参数解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增增例2：增例2：本题用到一个重要的转化：
作业：
已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数
[学习目标]
1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．
2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．
3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
[知识链接]
以前，我们用定义来判断函数的单调性．在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如何利用导数来判断函数的单调性？
答 根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减．
[预习导引]
函数的单调性与导数的关系
(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
f′(x)＝0
常函数
(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
函数的单调性
导数
单调递增
f′(x)≥0
单调递减
f′(x)≤0
常函数
f′(x)＝0
要点一 利用导数判断函数的单调性
例1 证明：函数f(x)＝在区间上单调递减．
证明 f′(x)＝，又x∈，
则cos x<0，sin x＞0，∴xcos x－sin x<0，
∴f′(x)<0，∴f(x)在上是减函数．
规律方法 关于利用导数证明函数单调性的问题：
(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行．
(2)f′(x)>(或<)0，则f(x)为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f(x)为单调递增(或递减)函数，则f′(x)≥(或≤)0.
跟踪演练1 证明：函数f(x)＝在区间(0，e)上是增函数．
证明 ∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝.
又0∴f′(x)＝>0，
故f(x)在区间(0，e)上是单调递增函数．
要点二 利用导数求函数的单调区间
例2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－36 x＋1；
(2)f(x)＝sin x－x(0(3)f(x)＝3x2－2ln x；
(4)f(x)＝x3－3tx.
解 (1)f′(x)＝ 6x2＋6x－36，
由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，
解得x< －3或x>2；
由f′(x)＜0解得－3故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
减区间是(－3,2)．
(2)f′(x)＝cos x－1.因为0＜x＜π，
所以cos x－1＜0恒成立，
故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)．
(3)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝2·.
令f′(x)>0，即2·＞0，
解得－＜x＜0或x＞.
又∵x＞0，∴x＞.
令f′(x)＜0，即2·＜0，
解得x＜－或0＜x＜.
又∵x＞0，∴0＜x＜.
∴f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
(4) f′(x)＝3x2－3t，令f′(x) ≥0，得3x2－3t≥0，
即x2≥t.∴当t≤0时，f′(x) ≥0恒成立，函数的增区间是(－∞，＋∞)．
当t>0时，解x2≥t得x≥或x≤－；
由f′(x)≤0解得－≤x≤.
故函数f(x)的增区间是(－∞，－)和(，＋∞)，
减区间是(－，)．
规律方法 求函数的单调区间的具体步骤是
(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)解f′(x)＞0和f′(x)＜0；(4)定义域内满足f′(x)＞0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)＜0的区间为减区间．
跟踪演练2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x2－ln x；
(2)f(x)＝x3－x2－x.
解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－，由f′(x)＝2x－＞0且x＞0，得x＞，
所以函数f(x)的单调递增区间为；
由f′(x)＜0得x＜，又x∈(0，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为.
(2)f′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1)．
由f′(x)＞0得x＜－或x＞1；
由f′(x)＜0得－＜x＜1，
故函数f(x)的单调递增区间为，(1，＋∞)，单调递减区间为.
要点三 已知函数单调性求参数的取值范围
例3 已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．
解 f′(x)＝2x－＝.
要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，
则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，
即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．∵x2>0，
∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．
∴a≤(2x3)min.∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是(－∞，16]．
规律方法 已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围．
跟踪演练3 设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．
解 ∵f′(x)＝3ax2＋1，且f(x)有三个单调区间，
∴方程f′(x)＝3ax2＋1＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×1×3a＞0，∴a＜0.
∴a的取值范围为(－∞，0)．
1．函数f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是( )
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在上是减函数，在上是增函数
D．在上是增函数，在上是减函数
答案 A
解析 ∵x∈(0,6)时，f′(x)＝1＋＞0，∴函数f(x)在(0,6)上单调递增．
2．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
答案 D
解析 由导函数的图象可知，当x＜0时，f′(x)＞0，即函数f(x)为增函数；当0＜x＜2时，f′(x)＜0，即f(x)为减函数；当x＞2时，f′(x)＞0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知D正确．
3．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．a＝1
C．(－∞，1] D．(0,1)
答案 A
解析 ∵f′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)内单调递减，
∴不等式3x2－2ax－1＜0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.
4．函数y＝x2－4x＋a的增区间为________，减区间为________．
答案 (2，＋∞) (－∞，2)
解析 y′＝2x－4，令y′＞0，得x＞2；令y′＜0，得x＜2，
所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2)．
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
一、基础达标
1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－12．函数y＝x2－ln x的单调减区间是( )
A．(0,1) B．(0,1)∪(－∞，－1)
C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)
答案 A
解析 ∵y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，∴y′＝x－，令y′<0，即x－<0，解得：0又∵x>0，∴03．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0时，f(x)是( )
A．增函数
B．减函数
C．常函数
D．既不是增函数也不是减函数
答案 A
解析 求函数的导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋b，导函数对应方程f′(x)＝0的Δ＝4(a2－3b)＜0，所以f′(x)＞0恒成立，故f(x)是增函数．
4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝xe2
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
答案 B
解析 显然y＝sin x在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A；对于函数y＝xe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝xe2在(0，＋∞)内为增函数；
对于C，y′＝3x2－1＝3
故函数在，上为增函数，
在上为减函数；对于D，y′＝－1 (x＞0)．
故函数在(1，＋∞)上为减函数，
在(0,1)上为增函数．故选B.
5．函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________．
答案 ∪[2,3)
6．函数y＝ln(x2－x－2)的递减区间为________．
答案 (－∞，－1)
解析 f′(x)＝，令f′(x)＜0得x＜－1或＜x＜2，注意到函数定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故递减区间为(－∞，－1)．
7．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数y＝f(x)的递增区间．
解 f′(x)＝3x2＋a.
∵(－5,5)是函数y＝f(x)的单调递减区间，则－5,5是方程3x2＋a＝0的根，
∴a＝－75.此时f′(x)＝3x2－75，
令f′(x)＞0，则3x2－75＞0，解得x＞5或x＜－5，∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．
二、能力提升
8．如果函数f(x)的图象如图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
答案 A
解析 由f(x)与f′(x)关系可选A.
9．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有( )
A．f(x)＞g(x)
B．f(x)＜g(x)
C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)
D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)
答案 C
解析 ∵f′(x)－g′(x)＞0，
∴(f(x)－g(x))′＞0，
∴f(x)－g(x)在 [a，b]上是增函数，
∴当a＜x＜b时f(x)－g(x)＞f(a)－g(a)，
∴f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．
10．(2013·大纲版)若函数f(x)＝x2＋ax＋在是增函数，则a的取值范围是________．
答案 [3，＋∞)
解析 因为f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，
故f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，
即a≥－2x在上恒成立．
令h(x)＝－2x，则h′(x)＝－－2，
当x∈时，h′(x)＜0，则h(x)为减函数，
所以h(x)＜h＝3，所以a≥3.
11．求下列函数的单调区间：
(1)y＝x－ln x；
(2)y＝ln(2x＋3)＋x2.
解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－，
由y′＞0，得x＞1；由y′＜0，得0＜x＜1.
∴函数y＝x－ln x的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．
(2)函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为.
∵y＝ln(2x＋3)＋x2，
∴y′＝＋2x＝＝.
当y′＞0，即－＜x＜－1或x＞－时，
函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递增；
当y′＜0，即－1＜x＜－时，
函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递减．
故函数y＝ln(2x＋3)＋x2的单调递增区间为，，单调递减区间为.
12．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
解 (1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，
∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，
知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.
∴即
解得b＝c＝－3.
故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.
(2)f′(x)＝3x2－6x－3.令f′(x)＞0，
得x＜1－或x＞1＋；
令f′(x)＜0，得1－＜x＜1＋.
故f(x)＝x3－3x2－3x＋2的单调递增区间为(－∞，1－)和(1＋，＋∞)，单调递减区间为(1－，1＋)．
三、探究与创新
13．已知函数f(x)＝mx3＋nx2(m、n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与x轴平行．
(1)用关于m的代数式表示n；
(2)求函数f(x)的单调增区间．
解 (1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，
又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m.
(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，
∴f′(x)＝3mx2－6mx.
令f′(x)＞0，即3mx2－6mx＞0，
当m＞0时，解得x＜0或x＞2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；
当m＜0时，解得0＜x＜2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2)．
综上，当m＞0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；
当m＜0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2).
1．3.1 函数的单调性与导数
明目标、知重点
1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．
2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．
3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
1．一般地，在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：
导数
函数的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
f′(x)＝0
常函数
2.一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
函数的单调性
导数
单调递增
f′(x) ≥0
单调递减
f′(x)≤0
常函数
f′(x)＝0
情境导学]
以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系
思考1 观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．
答 (1)从起跳到最高点，h随t的增加而增加，即h(t)是增函数，h′(t)>0；
(2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h′(t)<0.
思考2 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？
答 (1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；
(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；
在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；
(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；
(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－<0，y是减函数．
小结 一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
思考3 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？
答 不一定．由思考2中(3)知f′(x)≥0恒成立．
思考4 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．
(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？
答 (1)不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．思考2中(4)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
(2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．
例1 已知导函数f′(x)的下列信息：
当10；
当x>4，或x<1时，f′(x)<0；
当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.
试画出函数f(x)图象的大致形状．
解 当10，可知f(x)在此区间内单调递增；
当x>4，或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；
当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．
综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．
反思与感悟 本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．
跟踪训练1 函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．
解 f′(x)图象的大致形状如下图：
注：图象形状不唯一．
例2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；
(2)f(x)＝sin x－x(0(3)f(x)＝3x2－2ln x；
(4)f(x)＝3tx－x3
解 (1)f′(x)＝6x2＋6x－36.
由f′(x)>0得x<－3，或x>2，
由f′(x)<0解得－3故f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；
单调递减区间是(－3,2)．
(2)f′(x)＝cos x－1≤0恒成立，
故函数f(x)的单调递减区间为(0，π)
(3)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝2·.
令f′(x)>0，即2·>0，
解得－.
又∵x>0，∴x>.
令f′(x)<0，即2·<0，
解得x<－或0又∵x>0，∴0∴f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，
单调递减区间为(0，)．
(4)f′(x)＝3t－3x2.
令f′(x)≥0时，得3t－3x2≥0，即t≥x2，
∴当t≤0时，无解；
当t>0时，函数的单调递增区间是－，]．
令f′(x)≤0时，得3t－3x2≤0，即t≤x2，
当t≤0时，f′(x)≤0恒成立，
函数的单调递减区间是(－∞，＋∞)；
当t>0时，函数的单调递减区间是(－∞，－]，，＋∞)．
综上所述，当t≤0时，函数的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；
当t>0时，函数的单调增区间是－，]，单调减区间是(－∞，－]，，＋∞)．
反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤是
(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)解f′(x)>0和f′(x)<0；(4)定义域内满足f′(x)>0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间为减区间．
跟踪训练2 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝x3－x2－x.
解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f′(x)＝2x－＝.
由f′(x)>0得－，
又∵x>0，∴x>，
∴函数f(x)的单调递增区间为；
由f′(x)<0得x<－或0又∵x>0，∴0∴函数f(x)的单调递减区间为.
(2)f′(x)＝3x2－2x－1
＝(3x＋1)(x－1)．
由f′(x)>0得x<－或x>1；
由f′(x)<0得－故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－，1)．
探究点二 函数的变化快慢与导数的关系
思考 我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？
答 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．如图所示，函数y＝f(x)在(0，b)或(a,0)内的图象“陡峭”，在(b，＋∞)或(－∞，a)内的图象“平缓”．
例3 如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．
解 (1)→B，(2)→A，(3)→D，(4)→C.
反思与感悟 通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．
跟踪训练3 已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )
答案 D
解析 从f′(x)的图象可以看出，在区间内，导数递增；在区间内，导数递减．即函数f(x)的图象在内越来越陡，在内越来越平缓．
1．函数f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是( )
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在上是减函数，在上是增函数
D．在上是增函数，在上是减函数
答案 A
解析 ∵f′(x)＝1＋>0，
∴函数在(0,6)上单调递增．
2．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
答案 D
解析 由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当02时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知D正确．
3．函数f(x)＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为________．
答案 (－∞，－1)
解析 f′(x)＝，令f′(x)<0得x<－1或4．(1)函数y＝x2－4x＋a的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
(2)函数y＝x3－x的单调递增区间为______，单调递减区间为________．
答案 (1)(2，＋∞) (－∞，2) (2)和
解析 (1)y′＝2x－4，令y′>0，得x>2；
令y′<0，得x<2，
所以y＝x2－4x＋a的单调递增区间为(2，＋∞)，
单调递减区间为(－∞，2)．
(2)y′＝3x2－1，令y′>0，得x>或x<－；
令y′<0，得－所以y＝x3－x的单调递增区间为和，单调递减区间为(－，)．
呈重点、现规律]
1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
一、基础过关
1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－12．函数y＝x2－ln x的单调递减区间是( )．
A．(0,1) B．(0,1)∪(－∞，－1)
C．(－∞，1) D．(－∞，＋∞)
答案 A
解析 ∵y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，
∴y′＝x－，令y′<0，即x－<0，解得：0又∵x>0，∴03．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b<0时，f(x)是( )
A．增函数
B．减函数
C．常数
D．既不是增函数也不是减函数
答案 A
解析 求函数的导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋b，导函数对应方程f′(x)＝0的Δ＝4(a2－3b)<0，所以f′(x)>0恒成立，故f(x)是增函数．
4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝xe2
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
答案 B
解析 显然y＝sin x在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A；对于函数y＝xe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝xe2在(0，＋∞)内为单调增函数；
对于C，y′＝3x2－1＝3(x＋)(x－)，
故函数在(－∞，－)，(，＋∞)上为单调增函数，
在(－，)上为单调减函数；对于D，y′＝－1 (x>0)．
故函数在(1，＋∞)上为单调减函数，
在(0,1)上为单调增函数．故选B.
5．函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________．
答案 ∪2,3)
6．若三次函数f(x)＝ax3＋x在区间(－∞，＋∞)内是增函数，则a的取值范围是________．
答案 (0，＋∞)
解析 f′(x)＝3ax2＋1，∴f(x)在R上为增函数，
∴3ax2＋1≥0在R上恒成立．又a≠0，∴a>0.
7.已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，试画出函数y＝f(x)的大致图象．
解 由y＝f′(x)的图象可以得到以下信息：
x<－2或x>2时，
f′(x)<0，－2f′(x)>0，f′(－2)＝0，f′(2)＝0.
故原函数y＝f(x)的图象大致如右：
二、能力提升
8．如果函数f(x)的图象如图，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
答案 A
解析 由f(x)与f′(x)关系可选A.
9．设f(x)，g(x)在a，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当aA．f(x)>g(x)
B．f(x)C．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)
D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)
答案 C
解析 ∵f′(x)－g′(x)>0，∴(f(x)－g(x))′>0，
∴f(x)－g(x)在a，b]上是单调增函数，
∴当af(a)－g(a)，
∴f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)．
10．若函数f(x)＝x2＋ax＋在(，＋∞)是增函数，则a的取值范围是 ( )
A．－1,0] B．－1，＋∞)
C．0,3] D．3，＋∞)
答案 D
解析 把函数在某一区间上的单调递增转化为其导函数在该区间上大于或等于零恒成立，分离参数后求新函数的最值．
由题意知f′(x)≥0对任意的x∈恒成立，
又f′(x)＝2x＋a－，
所以2x＋a－≥0对任意的x∈恒成立，
分离参数得a≥－2x，
若满足题意，需a≥max.
令h(x)＝－2x，x∈.
因为h′(x)＝－－2，
所以当x∈时，h′(x)＜0，
即h(x)在上单调递减，
所以h(x)＜h＝3，故a≥3.
11．求下列函数的单调区间：
(1)y＝x－ln x； (2)y＝ln(2x＋3)＋x2.
解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－，
由y′>0，得x>1；由y′<0，得0∴函数y＝x－ln x的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．
(2)函数y＝ln(2x＋3)＋x2的定义域为(－，＋∞)．
∵y＝ln(2x＋3)＋x2，
∴y′＝＋2x＝＝.
当y′>0，即－－时，
函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递增；
当y′<0，即－1函数y＝ln(2x＋3)＋x2单调递减．
故函数y＝ln(2x＋3)＋x2的单调递增区间为(－，－1)和(－，＋∞)，单调递减区间为(－1，－)．
12．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
解 (1)由y＝f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，
∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.
由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，
知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.
∴，即.
解得b＝c＝－3.
故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.
(2)f′(x)＝3x2－6x－3.
令f′(x)>0，得x<1－或x>1＋；
令f′(x)<0，得1－故f(x)＝x3－3x2－3x＋2的单调递增区间为(－∞，1－)和(1＋，＋∞)，单调递减区间为(1－，1＋)．
三、探究与拓展
13．已知函数f(x)＝mx3＋nx2 (m、n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与x轴平行．
(1)用关于m的代数式表示n；
(2)求函数f(x)的单调增区间．
解 (1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，
又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m.
(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，
∴f′(x)＝3mx2－6mx.
令f′(x)>0，即3mx2－6mx>0，
当m>0时，解得x<0或x>2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；
当m<0时，解得0综上，当m>0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；
当m<0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2).
课件43张PPT。1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数 自主学习 新知突破1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．
2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．
3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．已知函数f(x)＝sin x，其导函数f′(x)＝cos x，[问题3] 试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．
[提示3] 当f′(x)>0时，f(x)为增函数，当f′(x)<0时，f(x)为减函数．在某个区间(a，b)内，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：导数与函数的单调性 递增递减1．确定函数f(x)的__________．
2．求导数f′(x)．
3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是__________；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间上是__________．
4．结合定义域写出单调区间．利用导数求函数单调区间的基本步骤 定义域增函数减函数利用导数求函数的单调区间注意的问题
(1)在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．
(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开． 1．函数y＝x3－3x的单调减区间是( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)
解析： y′＝3x2－3，
由y′＝3x2－3<0得－1∴函数y＝x3－3x的单调减区间是(－1,1)．
答案： C答案： C
3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________．
解析： f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2.
答案： (2，＋∞)
4．证明函数f(x)＝x＋sin x在R上是增函数．
证明： f′(x)＝1＋cos x，
∵－1≤cos x≤1，∴0≤1＋cos x≤2，
当且仅当cos x＝－1，即x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，f′(x)＝0.
∴f(x)＝x＋sin x在R上是增函数．合作探究 课堂互动 导数与单调性的关系 如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
[思路点拨] 由函数y＝f(x)的图象可得到函数的单调情况，进而确定导数的正负，再“按图索骥”．
解析： 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有选项A满足．
答案： A 1.利用导数符号判断单调性的方法：
利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可．
2．通过图象研究函数单调性的方法：
(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；
(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．
特别提醒：函数的正负与导数的正负没有关系．1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为( )
解析： 由函数f(x)的图象知f(x)在(－∞，0)上单调递增，
∴f′(x)>0，故排除A、C.又f(x)在(0，＋∞)上有三个单调区间，故排除B，故选D.
答案： D求函数的单调区间 求下列函数的单调区间： (1)函数的定义域为R.
y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．令y′＞0，则2x(x－2)＞0，
解得x＜0或x＞2.
所以函数的单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)．
令y′＜0，则2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2.
所以函数的单调递减区间为(0,2)． 利用导数求函数的单调区间：
(1)求定义域；
(2)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)；
(3)把不等式的解集与定义域求交集得单调区间．
特别提醒：(1)单调区间不能“并”，即不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开．
(2)导数法求得的单调区间一般用开区间表示． 2．(1)求函数f(x)＝3x2－2ln x的单调区间；
(2)设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2，若f′(－1)＝0，求a的值，并讨论f(x)的单调区间．求含参数的函数的单调区间 [思路点拨] 函数解析式中含有参数时，讨论其单调性(或求其单调区间)问题，往往要转化为解含参数的不等式问题，这时应对所含参数进行适当的分类讨论，做到不重不漏，最后要将各种情况分别进行表述． 讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准． 已知函数单调性求参数范围 若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，求实数a的取值范围． 1.一般地，已知函数的单调性，如何求参数的取值范围？
2．注意事项：
一般地，最后要检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0.若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解．4．已知函数f(x)＝2ax－x3，x∈(0,1]，a＞0，若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围．◎已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x，求f(x)的单调区间．
【错因】 错解的原因是忽视了函数的定义域．本题中含有对数函数，首先应确定函数的定义域，再求导数f′(x)，进而判断单调区间．谢谢观看！
