课件8张PPT。2、求最大（最小）值应用题的一般方法:(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步;(2)确定函数定义域，并求出极值点;(3)比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实际，确定最值或最值点.1、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来:首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质;
其次，建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解.3.4生活中的优化问题解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0
A(x, 4x-x2).从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积
为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0 不等式的证明及解法中有广泛的作用。(2)在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内
存在最大(小)值,而且函数在这个定义域内又只有
唯一的极值点,那么立即可以判定,这个极值点的函
数值就是最大(小)值,这一点在解决实际问题时很
有用.课堂小结1．4 生活中的优化问题（一）
教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.-------面积、容积最大（最小）问题
教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤
教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值
教学过程：
例1在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
解：设箱底边长为xcm，则箱高
箱子容积(0＜x＜60)．
解得 (不合题意，舍去) 并求得
由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．
答：当x＝40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3．
在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f '(x)＝0 的情形，若函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值．
这里所说的也适用于开区间或者无穷区间．
求最大（最小）值应用题的一般方法：
⑴ 分析问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式；
⑵ 确定函数的定义域，并求出极值点；
⑶ 比较各极值与定义域端点函数的大小， 结合实际，确定最值或最值点．
练习
1．把长为60 cm的铁丝围成矩形，长、宽、高各为多少时，面积最大？
2．把长为100 cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？
变为：围成一个正方形与一个圆，怎样分法，能使面积之和最小？
练习2.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方形容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．
例2．教材P34面的例1。
课后作业
阅读教科书P.34
《习案》作业十一
1．4 生活中的优化问题（二）
教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.---------用材最省的问题----
教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤
教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值
教学过程：
例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S＝2(Rh＋2(R2．
则
从而 即h＝2R．
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值． 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．
例2 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的
函数关系式为求产量q为何值时，利润L最大．
分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格.由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．
解：
求得唯一的极值点 q＝84．
因为L只有一个极值，所以它是最大值．
答：产量为84时，利润L最大．
练习1.某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，应如何定价才能使利润最大？
例3．教材P34面的例2
课后作业
4we1．4 生活中的优化问题（三）
教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.---------用材最省的问题----
教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤
教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值
教学过程：
例1 。教材P35面的例3
例2．某公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤a≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件.
（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a).
例3．请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？
解：设OO1为，则
由题设可得正六棱锥底面边长为：
，（单位：）
故底面正六边形的面积为：
=，（单位：）
帐篷的体积为：
求导得。
令，解得（不合题意，舍去），，
当时，，为增函数；
当时，，为减函数。
∴当时，最大。
答：当OO1为时，帐篷的体积最大，最大体积为。
例4．水库的需水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系为：
（1）该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i-1（2）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）.
课后作业
阅读教科书P.34-----P35
《学案》P32面双基训练
1.4 生活中的优化问题举例
[学习目标]
1．了解导数在解决实际问题中的作用．
2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
[知识链接]
设两正数之和为常数c，能否借助导数求两数之积的最大值，并由此证明不等式≥(a，b＞0)?
答 设一个正数为x，则另一个正数为c－x，两数之积为
f(x)＝x(c－x)＝cx－x2(0＜x＜c)，f′(x)＝c－2x.
令f′(x)＝0，即c－2x＝0，得x＝.
故当x＝时，f(x)有最大值f＝，即两个正数的积不大于这两个正数的和的平方的.
若设这两个正数分别为a，b，则有≥ab(a＞0，b＞0)，即≥(a，b＞0)，当且仅当a＝b时等号成立．
[预习导引]
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
3．解决优化问题的基本思路是
←
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．
要点一 用料最省问题
例1 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
解
如图，由题意知，只有点C位于线段AD上某一适当位置时，才能使总费用最省，设点C距点D为x km，则BC＝＝，又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a(50－x)＋5a(0∴y′＝－3a＋.令y′＝0，解得x＝30，(x＝－30舍去)
在(0,50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30处取得最小值，此时AC＝50－x＝20 (km)．
∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．
规律方法 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
跟踪演练1 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？
解 设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数(k≠0)，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝＝0.006，于是有p＝0.006v3.
又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是0.006v3＋96(元)，而航行1海里所需时间为小时，所以，航行1海里的总费用为：
q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋.
q′＝0.012v－＝(v3－8 000)，
令q′＝0，解得v＝20.∵当v<20时，q′<0；
当v>20时，q′>0，
∴当v＝20时，q取得最小值，
即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小．
要点二 面积、容积的最值问题
例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
解 设广告的高和宽分别为x cm，y cm，
则每栏的高和宽分别为x－20 cm， cm，
其中x>20，y>25.
两栏面积之和为2(x－20)·＝18 000，
由此得y＝＋25.
广告的面积S＝xy＝x＝＋25x，
∴S′＝＋25＝＋25.
令S′>0得x>140，令S′<0得20∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x)的最小值为S(140)．
当x＝140时，y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24 500，故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小．
规律方法 (1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；④求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案．
跟踪演练2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解
如图，设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积
S＝2πRh＋2πR2，
由V＝πR2h，得h＝，
则S(R)＝2πR＋2πR2＝＋2πR2，
令S′(R)＝－＋4πR＝0，解得R＝，
从而h＝＝＝ ＝2 ，即h＝2R.
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值．
所以，当罐的高与底面直径相等时，所用材料最省．
要点三 成本最省，利润最大问题
例3 甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v千米/时的平方成正比，比例系数为b(b>0)；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
解 (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为
y＝a·＋bv2·＝s，
∴所求函数及其定义域为y＝s，v∈(0，c]
(2)由题意s、a、b、v均为正数．
y′＝s＝0得v＝ .但v∈(0，c]．
①若≤c，则当v＝ 时，全程运输成本y最小；
②若 >c，则v∈(0，c]，
此时y′<0，即y在(0，c]上为减函数．
所以当v＝c时，y最小．
综上可知，为使全程运输成本y最小，
当 ≤c时，行驶速度v＝ ；
当 >c时，行驶速度v＝c.
规律方法 正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路．另外需注意：
①合理选择变量，正确给出函数关系式．
②与实际问题相联系．
③必要时注意分类讨论思想的应用．
跟踪演练3 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－q.求产量q为何值时，利润L最大？
解 收入R＝q·p＝q＝25q－q2，
利润L＝R－C＝－(100＋4q)
＝－q2＋21q－100(0L′＝－q＋21
令L′＝0，即－q＋21＝0，求得唯一的极值点q＝84.
所以产量为84时，利润L最大．
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B．
C．－1 D．－8
答案 C
解析 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为( )
A. B．
C． D．2
答案 C
解析 设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V(x>0)．∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.
3．在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
解 设箱底边长为x cm，则箱高h＝ cm，箱子容积V(x)＝x2h＝(0＜x＜60)．
V′(x)＝60x－x2令V′(x)＝60x－x2＝0，
解得x＝0(舍去)或x＝40，并求得V(40)＝16 000.
由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．
答 当x＝40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm3.
4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0解 当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，
依题意得h(x)＝×＝x2＋－(0h′(x)＝－＝(0令h′(x)＝0，得x＝80.
因为x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；
x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数，
所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．
因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．
答 汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
1．解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．
2．利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使f′(x)＝0，如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点．
一、基础达标
1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )
A．4 B．6
C．4.5 D．8
答案 A
解析 设底面边长为x，高为h，
则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝，
∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·＝x2＋，
∴S′(x)＝2x－.
令S′(x)＝0，解得x＝8，∴h＝＝4.
2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为( )
A．0.016 2 B．0.032 4
C．0.024 3 D．0.048 6
答案 B
解析 依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)．
所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去)．
当00；
当0.032 4所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．
3．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( )
A.3π B．3π
C．3π D．3π
答案 A
解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3.
则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，
∴r＝是其唯一的极值点．
∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.
4．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( )
A．120 000 cm3 B．128 000 cm3
C．150 000 cm3 D．158 000 cm3
答案 B
解析 设水箱底边长为x cm，则水箱高h＝60－(cm)．
水箱容积V＝V(x)＝x2h＝60x2－ (0V′(x)＝120x－x2.令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝80.可判断得x＝80 cm时，V取最大值为128 000 cm3.
5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．
答案 3
解析 设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，
∴S′(R)＝2πR－＝0，∴R＝3，则当R＝3时，S表最小．
6．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．
答案 40
解析 由题设知y′＝x2－39x－40，
令y′＞0，解得x＞40，或x＜－1，
故函数y＝x3－x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40]上递减．∴当x＝40时，y取得最小值．
由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.
7．学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
解
设版心的高为x dm，则版心的宽为
dm，此时四周空白面积为
S(x)＝(x＋4)－128
＝2x＋＋8，x>0.
求导数，得S′(x)＝2－.
令S′(x)＝2－＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．
于是宽为＝＝8.当x∈(0,16)时，S′(x)<0；
当x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0.
因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．
所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使四周空白面积最小．
二、能力提升
8．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )
A. cm2 B．4 cm2
C．3 cm2 D．2 cm2
答案 D
解析 设一个正三角形的边长为x cm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为S＝x2＋(4－x)2＝[(x－2)2＋4]≥2(cm2)，故选D.
9．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )
A．150 B．200
C．250 D．300
答案 D
解析 由题意得，总利润
P(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，故选D.
10．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．
答案 6 3
解析 设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k(k>0)为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得b＝.于是y＝＝＝.(0令y′＝＝0
得a＝6或a＝－10(舍去)．
∵只有一个极值点，∴此极值点即为最值点．
当a＝6时，b＝3，即当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
解 (1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，
即n＝－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x
＝＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0当640，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值．
此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
12．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？
解 设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.
则总费用f(x)＝(kx3＋200)·＝a(kx2＋)．
由已知条件，得40＝k·203，∴k＝，
∴f(x)＝a(0＜x＜100)．
令f′(x)＝＝0，
得x＝10.
当0当100.
∴当x＝10时，f(x)有最小值，
即速度为10 km/h时，总费用最少．
三、探究与创新
13．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．
(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.
解 (1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋πr3，
又V＝，
故l＝＝－＝.由于l≥2r，因此0所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c＝2πr××3＋4πr2c，
因此y＝4π(c－2)r2＋，0(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－＝(r3－)，0由于c>3，所以c－2>0.
当r3－＝0时，r＝.令＝m，则m>0，
所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．
①当0时，令y′＝0，得r＝m.
当r∈(0，m)时，y′<0；当r∈(m,2]时，y′>0，
所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．
②当m≥2，即3综上所述，当3时，建造费用最小时r＝.
【创新设计】2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例课时作业 新人教版选修2-2
明目标、知重点
1．了解导数在解决实际问题中的作用．
2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
3．解决优化问题的基本思路是：
→
←
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.
情境导学]
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题？这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．
探究点一 面积、体积的最值问题
思考 如何利用导数解决生活中的优化问题？
答 (1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)．
(2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．
(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值．
(4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案．
例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
解 设版心的高为x dm，则版心的宽为 dm，此时四周空白面积为
S(x)＝(x＋4)－128
＝2x＋＋8，x>0.
求导数，得
S′(x)＝2－.
令S′(x)＝2－＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．
于是宽为＝＝8.
当x∈(0,16)时，S′(x)<0；
当x∈(16，＋∞)时，S′(x)>0.
因此，x＝16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点．
所以，当版心高为16 dm，宽为8 dm时，能使海报四周空白面积最小．
反思与感悟 (1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．
(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．
跟踪训练1 如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________米．
答案 32,16
解析 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，则长为米，
因此新墙壁总长度L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.
令L′＝0，得x＝±16.
∵x>0，∴x＝16.
当x＝16时，Lmin＝64，此时堆料场的长为＝32(米)．
探究点二 利润最大问题
例2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解 由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
y＝f(r)＝0.2×πr3－0.8πr2
＝0.8π，0令f′(r)＝0.8π(r2－2r)＝0.
当r＝2时，f′(r)＝0.
当r∈(0,2)时，f′(r)<0；
当r∈(2,6)时，f′(r)>0.
因此，当半径r>2时，f′(r)>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径r<2时，f′(r)<0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．
∴半径为2 cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
半径为6 cm时，利润最大．
反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：
(1)利润＝收入－成本；
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解 (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，
所以a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3从而，f′(x)＝10(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
极大值42
单调递减
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
探究点三 费用(用材)最省问题
例3 已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8解 设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，
则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720，
∴720＝k·122，得k＝5.
设全程燃料费为y，由题意，得
y＝y1·＝，
∴y′＝
＝.
令y′＝0，得v＝16，∴当v0≥16，
即v＝16 km/h时全程燃料费最省，ymin＝32 000(元)；
当v0<16，即v∈(8，v0]时，y′<0，
即y在(8，v0]上为减函数，
∴当v＝v0时，ymin＝(元)．
综上，当v0≥16时，v＝16 km/h全程燃料费最省，
为32 000元；
当v0<16，即v＝v0时全程燃料费最省，为元．
反思与感悟 本题在解题过程中容易忽视定义域，误以为v＝16时取得最小值．本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内．
跟踪训练3 现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
解 (1)依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，
即y＝＋300x(0(2)由(1)知，y′＝－＋300，令y′＝0，
解得x＝40或x＝－40(舍去)．
因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值点．
又当0所以y＝＋300x在(0,35]上单调递减，
故当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值．
故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．
1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )
A．4 B．6 C．4.5 D．8
答案 A
解析 设底面边长为x，高为h，
则V(x)＝x2·h＝256，∴h＝，
∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·＝x2＋，
∴S′(x)＝2x－.
令S′(x)＝0，解得x＝8，∴h＝＝4.
2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x的取值为( )
A．0.016 2 B．0.032 4
C．0.024 3 D．0.048 6
答案 B
解析 依题意，得存款量是kx2，银行支付的利息是kx3，获得的贷款利息是0.048 6kx2，其中x∈(0,0.048 6)．
所以银行的收益是y＝0.048 6kx2－kx3(0令y′＝0，得x＝0.032 4或x＝0(舍去)．
当00；
当0.032 4所以当x＝0.032 4时，y取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．
3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(0解 当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，
依题意得h(x)＝×
＝x2＋－(0h′(x)＝－＝(0令h′(x)＝0，得x＝80.
因为x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；
x∈(80,120]时，h′(x)>0，h(x)是增函数，
所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．
因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．
答 汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．
呈重点、现规律]
正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.
一、基础过关
1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B. C．－1 D．－8
答案 C
解析 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，
所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为( )
A. B. C. D．2
答案 C
解析 设底面边长为x，
则表面积S＝x2＋V(x>0)．
∴S′＝(x3－4V)．
令S′＝0，得x＝.
3．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( )
A.3π B.3π
C.3π D.3π
答案 A
解析 设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，
则4r＋2h＝l，
∴h＝，
V＝πr2h＝πr2－2πr3.
则V′＝lπr－6πr2，
令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，
∴r＝是其唯一的极值点．
∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.
4．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( )
A．120 000 cm3 B．128 000 cm3
C．150 000 cm3 D．158 000 cm3
答案 B
解析 设水箱底边长为x cm，则水箱高h＝60－(cm)．
水箱容积V＝V(x)＝x2h＝60x2－ (cm3)(0V′(x)＝120x－x2.
令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝80.
可判断得x＝80 (cm)时，V取最大值为128 000 cm3.
5．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )
A．150 B．200 C．250 D．300
答案 D
解析 由题意得，总利润
P(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，故选D.
二、能力提升
6.为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)．
答案 6 3
解析 设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k(k>0)为比例系数．
依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得b＝(0于是y＝＝＝.
令y′＝＝0，
得a＝6或a＝－10(舍去)．
∵本题只有一个极值点，∴此极值点即为最值点．
当a＝6时，b＝3，即当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
7．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( )
A. cm2 B．4 cm2
C．3 cm2 D．2 cm2
答案 D
解析 设一个正三角形的边长为x cm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为S＝x2＋(4－x)2＝(x－2)2＋4]≥2(cm2)，故选D.
8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．
答案 3
解析 设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，
∴S′(R)＝2πR－＝0，∴R＝3，
则当R＝3时，S表最小．
9.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
解 设广告的高和宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，，其中x>20，y>25.
两栏面积之和为2(x－20)·＝18 000，
由此得y＝＋25.
广告的面积S＝xy＝x(＋25)＝＋25x.
∴S′＝＋25＝＋25.
令S′>0得x>140，
令S′<0得20∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，
∴S(x)的最小值为S(140)．
当x＝140时，y＝175.
即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24 500，
故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，
可使广告的面积最小．
10．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
解 (1)设需新建n个桥墩，
则(n＋1)x＝m，即n＝－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x
＝＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝－＋mx－
＝(x－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0当640，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值．
此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
11．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？
解 设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.
则总费用f(x)＝(kx3＋200)·＝a(kx2＋)．
由已知条件，得40＝k·203，∴k＝，
∴f(x)＝a(x2＋)．
令f′(x)＝＝0，
得x＝10.
当0当100.
∴当x＝10时，f(x)有最小值，
即速度为10 km/h时，总费用最少．
三、探究与拓展
12．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．
(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.
解 (1)设容器的容积为V，
由题意知V＝πr2l＋πr3，又V＝，
故l＝＝－r＝(－r)．
由于l≥2r，因此0所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2c
＝2πr×(－r)×3＋4πr2c，
因此y＝4π(c－2)r2＋，0(2)由(1)得y′＝8π(c－2)r－
＝(r3－)，0由于c>3，所以c－2>0.
当r3－＝0时，r＝ .
令 ＝m，则m>0，
所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．
①当0时，
令y′＝0，得r＝m.
当r∈(0，m)时，y′<0；
当r∈(m,2]时，y′>0，
所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．
②当m≥2，即3当r∈(0,2]时，y′≤0，函数单调递减，
所以r＝2是函数y的最小值点．
综上所述，当3建造费用最小时r＝2；
当c>时，建造费用最小时r＝ .
课件44张PPT。1．4 生活中的优化问题举例 自主学习 新知突破1．通过实例体会导数在解决实际问题中的应用．
2．能够利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
3．提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归转化的思想意识．下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则对消费者而言，选择哪一种更合算呢？[提示] 对消费者而言，选择规格为2 L的饮料更为合算．利用导数解决有关函数的最大值、最小值的实际问题，体现在以下几个方面：
(1)与几何有关的最值问题(求几何图形或几何体的面积与体积的最值)；
(2)与物理学有关的最值问题；
(3)与利润及其成本有关的最值问题．导数在实际生活中的应用 解决优化问题的基本思路 解决优化问题的一般步骤：
(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清问题和结论，找出问题的主要关系．
(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型，主要是函数模型：引入恰当的变量，把待求最值的对象表示为该变量的函数．
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解．此处主要是利用导数求函数最值．
(4)结合实际问题的实际意义，对结果进行验证评估，定性定量分析，作出正确的判断，并确定其答案．
答案： C解析： 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
答案： D3．做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为________dm时最省材料．
答案： 4合作探究 课堂互动 面积容积最大最小问题 用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 解决面积或体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值． 1．用长为18 m的钢条围成一个长方体的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？费用最省(成本最低)问题
令h′(x)＝0，得x＝80，
当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；
当x∈(80,120]时，h′(x)>0，h(x)是增函数．
∴当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25.
∵h(x)在(0,120]上只有一个极值，
∴它是最小值．
答：当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升． 1.用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际做答．
2．利用导数的方法解决实际问题．当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值． 利润最大问题 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大？并求出利润L的最大值Q(a)． 1.利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．求解时要注意：①价格要大于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．
2．用导数解最值应用题，一般应分为五个步骤：
(1)建立函数关系式y＝f(x)；(2)求导函数y′；(3)令y′＝0，求出相应的x0；(4)指出x＝x0处是最值点的理由；(5)对题目所问作出回答，求实际问题中的最值问题时，可以根据实际意义确定取得最值时变量的取值．3．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
解析： (1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，
则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．
又由已知条件，24＝k×22，于是有k＝6，
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]． (2)根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
故当x＝12时，f(x)取得极大值．
因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，
所以定价为30－12＝18元能使一个星期的商品销售利润最大．◎甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数b(b>0)；固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？谢谢观看！