§1.5.1 曲边梯形的面积
【学情分析】：
本节教材是在学生学习导数及其在研究函数的应用的基础上，开始初步探究定积分的概念。学生对这个解决问题的思想方法和步骤还是很生疏,必须深入浅出,逐步渗透.
【教学目标】：
（1）知识与技能：定积分概念的引入
（2）过程与方法：“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立
（3）情感态度与价值观：通过引导学生用已学知识求曲边梯形的面积，培养学生应用数学的意识。
【教学重点】：
了解定积分的基本思想方法——以直代曲、逼近的思想，初步掌握求曲边梯形面积的步骤。
【教学难点】：
“以直代曲”“逼近”思想的形成过程；求和符号∑。
【教学过程设计】：
一、创设情景
我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？
这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数在某一区间上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数称为区间上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数）
二、新课讲授
问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线的一段，我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？
例1：求图中阴影部分是由抛物线，直线以及轴所围成的平面图形的面积S。
思考：（1）曲边梯形与“直边图形”的区别？
（2）能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积的问题？
分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．
把区间分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积．
解：
（1）．分割
在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：
，，…，
记第个区间为，其长度为：
分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：
，，…，，显然，
（2）近似代替
记，如图所示，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从图形上看，就是用平行于轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有
①
（3）求和
由①，上图中阴影部分的面积为
==
==
从而得到的近似值
（4）取极限
分别将区间等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有
从数值上的变化趋势：
三、求曲边梯形面积的四个步骤:
第一步：分割．将分为等份，每份区间长为
第二步：近似代替，“以直代取”：，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积.
第三步：求和：
第四步：取极限：
说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：分割以直代曲求和逼近
2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值
四、练习．
求围成图形面积
解：1．分割
在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：
，，…，
记第个区间为，其长度为：
分别过上述个分点作轴的垂线，从而得到个小曲边梯形，他们的面积分别记作：
，，…，， 显然，
（2）近似代替
∵，当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，这样，在区间上，用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有
①
（3）求和
由①，上图中阴影部分的面积为
==
=
=
从而得到的近似值
（4）取极限
练习
设S表示由曲线，x=1，以及x轴所围成平面图形的面积。
五：课堂小结
求曲边梯形的思想和步骤：分割以直代曲求和逼近 （“以直代曲”的思想）
§1.5.2汽车行驶的路程
【学情分析】：
学生在上一节学习了求曲边梯形面积之后，对定积分基本思想方法有了初步的了解。这一节可帮助学生进一步强化理解定积分概念的形成过程。
【教学目标】：
（1）知识与技能：“以不变代变”思想解决实际问题。
（2）过程与方法：强化掌握“分割、以不变代变、求和、取极限”解决问题的思想方法
（3）情感态度与价值观：通过引导学生用已学知识求曲边梯形的面积，培养学生应用数学的意识。
【教学重点】：
“以不变代变” 的思想方法，再次体会求解过程中蕴含着的定积分的基本思想
【教学难点】：
过程的理解．
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、创
设
情
景
复习：1．连续函数的概念；
2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？
引导学生类比上节内容解决本节问题，培养学生数学应用意识。
二、新
课
讲
授
问题：汽车以速度组匀速直线运动时，经过时间所行驶的路程为．如果汽车作变速直线运动，在时刻的速度为（单位：km/h），那么它在0≤≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程（单位：km）是多少？
引用生活实例
（课本例题）
分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间分成个小区间，在每个小区间上，由于的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得（单位：km）的近似值，最后让趋紧于无穷大就得到（单位：km）的精确值．
思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程
三、探
究
讨
论
思考：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程与由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程在数据上等于由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积．
一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤≤b内所作的位移．
分析求曲边梯形面积过程和求汽车行驶的路程过程的关系，使学生认清问题的本质。
四、典
例
分
析
例：弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力（为常数，是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长所作的功．
分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．
解： 将物体用常力沿力的方向移动距离，则所作的功为．
1．分割
在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间： ，，…，
记第个区间为，其长度为
把在分段，，…，上所作的功分别记作：，，…，
2．近似代替
有条件知：
3．求和
从而得到的近似值
4．取极限
所以得到弹簧从平衡位置拉长所作的功为：
变式例题，可以提高学生对定积分思想的认识。
五、课
堂
练
习
一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻的速度为（单位），试计算这辆车在（单位：）这段时间内汽车行驶的路程（单位：）
学以致用，让学生运用已学知识解决问题。
六、总
结
回
顾
求汽车行驶的路程有关问题的过程与求曲边梯形面积的共同特征，概括出基本步骤
总结好这两节的内容，为下节讲解定积分的概念大好基础。
课件13张PPT。1上数学课 真快乐啊!2 我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算。情景设计：面积但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？ 这些图形有一个共同的特征：每条边都是直的线段。3如何求曲线下方“曲边梯形”的面积。直线几条线段连成的折线曲线？4曲边梯形的面积5微积分在几何上有两个基本问题1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；2.如何求曲线下方“曲边梯形”的面积。直线几条线段连成的折线曲线？6曲边梯形的面积直线x?0、x?1、y?0及曲线y?x2所围成的图形（曲边三角形）面积S是多少？方案1方案2方案3为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代曲” 。7S ? S1+ S2 + ? ? ? + Sn 将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积S近似为8分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S。下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程9（1）分割把区间[0，1]等分成n个小区间：过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作10（2） 以直代曲（3）作和11（4）逼近分割以直代曲作和逼近12 当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示小曲边梯形的面积表示了曲边梯形面积的近似值13例1：火箭发射后ts的速度为v(t)(单位:m/s),假定0≤t≤10,对函数v(t)按上式所作的和具有怎样的实际意义？例2：如图，有两个点电荷A、B，电量分别为qA,qB,,固定电荷A，将电荷B从距A为a处移到距A为b 处，求库仑力对电荷B所做的功。1．5.1 曲边梯形的面积
教学目标：通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景，了解“以直代曲”“逼近”的思想方法，建立微积分的概念的认识基础.
教学重点：了解定积分的基本思想“以直代曲” “逼近”的思想.
教学难点：“以直代曲” “逼近”的思想的形成求和符号
教学过程：
复习引入
问题一：你会求哪些平面图形的面积？这些平面图形有什么特点？
问题二：圆的面积是怎样求得的？
问题三：如图：阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y=f(x)的一段.我们吧由直线x=a，x=b
(a≠b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积呢？
问题四：能否将求曲边梯形的面积转化为求“直边梯形”面积？
问题五：求曲边梯形面积时，能否对整个曲边梯形进行“以直代曲”呢？怎样减少误差？
问题六：对每个小曲边梯形怎样“以直代曲”
问题七：如何从曲边梯形的近似值求出曲边梯形的面积？
问题八：具体怎样实施“以直代曲”和“逼近”的思想求曲边梯形面积？
问题九：
练习：P42面练习
归纳：如何求曲边梯形的面积？
小结：
1.求曲边梯形面积的思想方法是什么？
2.具体步骤是什么？
3.最终形式是什么？
作业《习案》作业十四.
1.5.2 汽车行使的路程
教学目标：通过探求汽车行使的路程，使学生了解定积分的实际背景，了解“以不变代变”“逼近”的思想方法，建立微积分的概念的认识基础.
教学重点：了解定积分的基本思想“以不变代变” “逼近”的思想.
教学难点：“以不变代变” “逼近”的思想的形成求和符号
教学过程：
思考1：已知物体运动路程与时间的关系怎样求物体的运动速度？
例如 S(t)=3t2+2. 则v(t)= S′(t)=6t+0.
思考2：已知物体运动速度为v(常量)及时间t，怎么求路程？
S=vt 直接求出
思考3：如果汽车作匀速直线运动，在时刻t的速度为v(t)=- t2+2.那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程S是多少呢？
思考4：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S由直线t=0，t=1，v=0和曲线v=- t2+2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？
图中矩形面积和就是曲边梯形的面积，从而汽车行驶的路程在数值上就等于相应曲边梯形面积.
思考5：在上面的第二步“近似代替”中，如果我们认为在每个小时间间隔上，汽车进似地以时刻处的速度作匀速行驶，从而得到汽车行驶的总路程s的近似值，用这种方法能求出s的值吗？若能求出，这个值也是吗？
练习：P45面练习第2题.
思考：怎样求上式中汽车在2≤t≤4这段时间行驶的路程？
1.5 定积分的概念
1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.2 汽车行驶的路程
1.5.3 定积分的概念
/
[学习目标]
1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．
2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．
3．了解定积分的概念．
4．了解定积分的几何意义和性质．
[知识链接]
1．如何计算下列两图形的面积？
/ /
答 ①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．
2．求曲边梯形面积时，对曲边梯形进行“以直代曲”，怎样才能尽量减小求得的曲边梯形面积的误差？
答 为了减小近似代替的误差，需要先分割再分别对每个小曲边梯形“以直代曲”，而且分割的曲边梯形数目越多，得到的面积的误差越小．
3．当f(x)在区间[a，b]上且f(x)<0时，f(x)dx表示的含义是什么？
答 当f(x)在区间[a，b]上值小于零时，f(x)dx表示由y＝f(x)，x＝a，x＝b，y＝0所围成的图形的面积的相反数．
[预习导引]
1．曲边梯形的面积
(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．
(2)求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．
/ /
(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．
2．求变速直线运动的(位移)路程
如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
3．定积分的概念
如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x04．定积分的几何意义
如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．
5．定积分的性质
(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a/
要点一 求曲边梯形的面积
例1 求抛物线f(x)＝1＋x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的曲边梯形的面积S.
解 (1)分割：把区间[0,1]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，其长度Δx＝，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积记为ΔSi(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．
ΔSi＝f·Δx＝·(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：Si＝.
(4)取极限：S＝li·
＝1＋li2·
＝1＋li
＝1＋＝.
所以所求的曲边梯形的面积为.
规律方法 分割、近似代替、求和、取极限是求曲边梯形面积的四个步骤，求曲边梯形的面积时需理解以下几点：
①思想：以直代曲；②步骤：化整为零―→以直代曲―→积零为整―→无限逼近；③关键：以直代曲；④结果：分割越细，面积越精确．
跟踪演练1 用定积分的定义求由y＝3x，x＝0，x＝1，y＝0围成的图形的面积．
解 (1)分割：把区间[0,1]等分成n个小区间
(i＝1,2，…，n)．其长度为Δx＝，把三角形分成一个小三角形和(n－1)个小梯形，其面积分别记为ΔSi(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替：用小矩形的面积代替小三角形和小梯形的面积，取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
则ΔSi＝fΔx＝3··＝(i－1)(i＝1,2，…，n)．
(3)作和：Si＝(i－1)
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝·.
(4)取极限：S＝li(i－1)
＝li ·＝.
要点二 求变速运动的路程
例2 用定积分定义求物体自由落体的下落距离．已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．
解 (1)分割：将时间区间[0，t]分成n等份．
把时间[0，t]分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，
每个小区间所表示的时间段Δt＝－t＝，在各小区间物体下落的距离记作Δsi(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．
在上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)，可取ξi使v(ξi)＝gt近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt＝内所经过的距离可近似表示为Δsi≈g·t·(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：sn＝si
＝··t·
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝gt2.
(4)取极限：s＝li gt2＝gt2.
规律方法 求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．
跟踪演练2 一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)．
解 (1)分割：在区间[0,2]上等间隔插入n－1个点，将区间分成n个小区间.记第i个小区间为(i＝1,2，…，n)，Δt＝.则汽车在时间段，，上行驶的路程分别记为：Δs1，Δs2，…，Δsi，…，Δsn，有sn＝si.
(2)近似代替：取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
Δsi≈v·Δt＝·
＝－·＋(i＝1,2，…，n)．
sn＝si＝
＝－8·＋10.
(3)取极限：s＝lisn
＝li ＝.
要点三 利用定积分定义计算定积分
例3 利用定积分定义计算(1＋x)dx的值．
解 (1)分割：∵f(x)＝1＋x在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n等份，则每个区间长度为Δxi＝，
(2)近似替代：在[xi－1，xi]＝[1＋，1＋]上取ξi＝xi－1＝1＋(i＝1,2,3，…，n)，
于是f(ξi)＝f(xi－1)＝1＋1＋＝2＋，
(3)求和：从而(ξ1)Δxi＝(2＋)·
＝(＋)
＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝2＋·＝2＋，
(4)取极限：(1＋x)dx＝li (2＋)＝2＋＝.
规律方法 (1)利用定积分的定义计算定积分的值能加深对定积分的概念及其几何意义的理解，用定积分的定义求定积分的步骤是：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．(2)在每个小区间[xi－1，xi]上对ξi的选取是任意的，为了计算方便，ξi可都取为每个小区间的左端点(或都取为右端点)．
跟踪演练3 利用定积分的定义，计算(3x＋2)dx的值．
解 令f(x)＝3x＋2.
(1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间[，](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
则Sn＝()·Δx
＝＋2]·
＝＋]
＝5＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝×＋5＝－.
(3)取极限
(3x＋2)dx＝Sn＝ (－)＝.
要点四 定积分几何意义的应用
例4 用定积分的意义求下列各式的值．
(1)－1(3x＋1)dx； (2)∫－dx.
解 (1)由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：
/
－1(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，
∴(3x＋1)dx＝××(3×3＋1)－·2＝－＝16.
(2)
/
由y＝可知，x2＋y2＝1，(y≥0)图象如图，由定积分的几何意义知∫－dx等于圆心角为120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝×π×12－2××1×1×sincos
＝－，
S矩形＝|AB|·|BC|＝2××＝，
∴∫－dx＝－＋＝＋.
规律方法 (1)用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是：
①准确画出各曲线围成的平面区域；
②把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x轴下方有没有区域；
③解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限；
④根据积分的性质写出结果．
(2)利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．
跟踪演练4 利用定积分的几何意义求：
(1)－2dx； (2)0dx.
解 (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，所以有
－2dx＝＝2π.
(2)∵被积函数为y＝，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一的圆，由定积分的几何意义可知，所求的定积分即为该四分之一圆的面积．
∴0dx＝π·12＝π.
/
1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度均为( )
A. B．
C． D．
答案 B
解析 区间[1,3]的长度为2，故n等分后，每个小区间的长度均为.
2．定积分f(x)dx的大小( )
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)、积分区间[a，b]和ξi的取法都有关
答案 A
3．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．
答案 1.02
解析 将区间5等分所得的小区间为，，，，，
于是所求平面图形的面积近似等于
＝×＝1.02.
4．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：
①xdx________x2 dx；
②dx________2dx.
答案 ①> ②<
/
1．求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：
(1)分割：n等分区间[a，b]；
(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
(3)求和：(ξi)·；
(4)取极限：S＝li(ξi)·.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．
2．定积分f(x)dx是一个和式f(ξi)的极限，是一个常数．
3．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．
4．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.
/
一、基础达标
1．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值，可以近似代替为( )
A．f B．f
C．f D．f(0)
答案 C
2．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为( )
A. B．
C．1 D．
答案 B
解析 曲线v(t)＝t与直线t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积S＝即为这段时间内物体所走的路程．
3．由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是( )
A. B．
C． D．
答案 D
解析 将区间[0,1]四等分，得到4个小区间：，，，，
以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值
S＝3×＋3×＋3×＋13×＝.
4．下列命题不正确的是( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则－af(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则－af(x)dx＝2f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx＞0
D．若f(x) 在[a，b]上连续且f(x)dx>0，则f(x)在[a，b]上恒正
答案 D
解析 对于A，f(－x)＝－f(x)，－af(x)dx＝－af(x)dx＋f(x)dx＝－∫a0f(x)dx＋f(x)dx＝0，同理B正确；由定积分的几何意义知，当f(x)>0时，f(x)dx>0即C正确；但f(x)dx>0，不一定有f(x)恒正，故选D.
5．已知xdx＝2，则－txdx等于________．
答案 －2
解析 ∵f(x)＝x在[－t，t]上是奇函数，
∴－txdx＝0.而－txdx＝－txdx＋xdx，
又xdx＝2，∴－txdx＝－2.
6．由y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S＝________.
答案 －－πsin xdx
解析 由定积分的意义知，由y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0围成图形的面积为S＝－－π sin xdx.
7．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积．
解 令f(x)＝x2.
(1)分割
将区间[0,2]n等分，分点依次为
x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝2.
第i个区间为(i＝1,2，…，n)，每个区间长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
Sn＝·Δx＝2·＝2
＝(12＋22＋…＋n2)
＝·＝.
(3)取极限
S＝liSn＝li ＝，
即所求曲边梯形的面积为.
二、能力提升
8．已知f(x)＝x3－x＋sin x，则－2f(x)dx的值为( )
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．不确定
答案 A
解析 易知f(x)为奇函数，由奇函数的性质－2f(x)dx＝－f(x)dx，而－2f(x)dx＝－2f(x)dx＋f(x)dx＝0.
9．设a＝xdx，b＝x2 dx，c＝x3 dx，则a，b，c的大小关系是( )
A．c>a>b B．a>b>c
C．a＝b>c D．a>c>b
答案 B
解析 根据定积分的几何意义，易知x3dx＜x2dx<xdx，a＞b＞c，故选B.
10．设f(x)是连续函数，若f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，则f(x)dx＝________.
答案 －2
解析 因为f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx，
所以f(x)dx＝f(x)dx－f(x)dx＝－2.
11．已知∫0sin xdx＝sin xdx＝1，∫0x2dx＝，求下列定积分：
(1)sin xdx；(2)∫0(sin x＋3x2)dx.
解 (1)sin xdx＝∫0sin xdx＋sin xdx＝2.
(2)∫0(sin x＋3x2)dx＝∫0sin xdx＋3∫0x2dx＝1＋.
12．已知函数f(x)＝，求f(x)在区间[－2,2π]上的定积分．
解 由定积分的几何意义知
－2x3dx＝0，2xdx＝＝π2－4，
∫cos xdx＝0，
由定积分的性质得
f(x)dx＝－2x3dx＋2xdx＋∫cos xdx
＝π2－4.
三、探究与创新
13．利用定积分的定义计算(－x2＋2x)dx的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．
解 令f(x)＝－x2＋2x.
(1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分为n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、作和
取ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，则
Sn＝·Δx
＝·
＝－＋[(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋…＋2n]
＝－＋·
＝－＋＋3＋，
(3)取极限
(－x2＋2x)dx＝liSn＝li
＝，
(－x2＋2x)dx＝的几何意义为由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线f(x)＝－x2＋2x所围成的曲边梯形的面积.
1．5.1 曲边梯形的面积
1．5.2 汽车行驶的路程
明目标、知重点
1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．
2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．
1．曲边梯形的面积
(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．
(2)求曲边梯形面积的方法
把区间a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．
(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．
2．求变速直线运动的(位移)路程
如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.
情境导学]
任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？
探究点一 求曲边梯形的面积
思考1 如何计算下列两图形的面积？
答 ①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．
问题 如图，如何求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S?
思考2 图中的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？
答 已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．
思考3 能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)
答 (如图)可以通过把区间0,1]分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好．
Sn＝Si≈()2·Δx
＝()2·(i＝1,2，…，n)
＝0·＋()2·＋…＋()2·
＝12＋22＋…＋(n－1)2]
＝(1－)(1－)．
∴S＝Sn＝ (1－)(1－)＝.
求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成．
思考4 在“近似代替”中，如果认为函数f(x)＝x2在区间，](i＝1,2，…，n)上的值近似地等于右端点处的函数值f()，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是吗？取任意ξi∈，]处的函数值f(ξi)作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？
答 以上方法都能求出S＝.我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极限状态下，小曲边梯形可以看做小矩形．
例1 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的图形的面积．
解 (1)分割
将区间0,1]等分为n个小区间：
0，]，，]，，]，…，，]，…，，1]，
每个小区间的长度为Δx＝－＝.
过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
(2)近似代替
在区间，](i＝1,2，…，n)上，以的函数值2作为高，小区间的长度Δx＝作为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即
ΔSi≈()2·.
(3)求和
曲边梯形的面积近似值为
S＝Si≈()2·
＝0·＋()2·＋()2·＋…＋()2·
＝12＋22＋…＋(n－1)2]
＝(1－)(1－)．
(4)取极限
曲边梯形的面积为
S＝ (1－)(1－)＝.
反思与感悟 求曲边梯形的思想及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限；(3)关键：近似代替；(4)结果：分割越细，面积越精确．
跟踪训练1 求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．
解 ∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．
由，
得交点为(2,4)，
如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．
(1)分割
将区间0,2] n等分，
则Δx＝， 取ξi＝.
(2)近似代替求和
Sn＝]2·
＝12＋22＋32＋…＋(n－1)2]
＝(1－)(1－)．
(3)取极限
S＝Sn＝ (1－)(1－)＝.
∴所求平面图形的面积为S阴影＝2×4－＝.
∴2S阴影＝，
即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的图形面积为.探究点二 求变速运动的路程
思考 利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？
答 物体以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为s＝vt.如果物体做变速直线运动，与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把时间t分割成许多“小段”，在每一“小段”时间内物体的运动可以看做匀速直线运动，于是把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题．
例2 汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2(单位：km/h)，那么它在0≤t≤1这段时间行驶的路程是多少？
解 分割
将时间区间0,1]分成n个小区间，0，]，，]，，]，…，，]，…，，1]，
则第i个小区间为，](i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替
第i个小矩形的高为v－()]，
∴△si≈v－()]·＝－()2＋2]·.
(3)求和
sn＝－()2＋2]
＝－02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋2
＝－＋2＝－(1－)(1－)＋2.
(4)取极限
s＝sn＝－(1－)(1－)＋2]＝.
∴这段时间行驶的路程为 km.
反思与感悟 (1)把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过分割、近似代替、求和、取极限四步解决．
(2)从函数的角度来看，求变速运动的路程，就是求速度函数v(t)＝－t2＋2在t＝0，t＝1，v(t)＝0形成的曲边梯形的面积，这就是数学方法在物理应用中的体现．
跟踪训练2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？
解 (1)分割
在时间区间0,2]上等间隔地插入n－1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为，](i＝1,2，…，n)，其长度为Δt＝－＝.每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，
则显然有s＝si.
(2)近似代替
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，用小矩形的面积Δs′i近似地代替Δsi，于是
Δsi≈Δs′i＝v()·Δt
＝3()2＋2]·
＝＋(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
sn＝s′i＝(＋)
＝(12＋22＋…＋n2)＋4
＝·＋4
＝8(1＋)(1＋)＋4.
从而得到s的近似值s≈vn.
(4)取极限
s＝sn＝8(1＋)(1＋)＋4]
＝8＋4＝12.
所以这段时间内行驶的路程为12 km.
1．把区间1,3] n等分，所得n个小区间的长度均为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 区间1,3]的长度为2，故n等分后，每个小区间的长度均为.
2．函数f(x)＝x2在区间上( )
A．f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很大
C．f(x)的值不变化
D．当n很大时，f(x)的值变化很小
答案 D
解析 当n很大，即Δx很小时，在区间，]上，可以认为f(x)＝x2的值变化很小，近似地等于一个常数．
3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间xi，xi＋1]上的近似值等于( )
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈xi，xi＋1])
D．以上答案均正确
答案 C
4．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．
答案 1.02
解析 将区间5等分所得的小区间为1，]，，]，，]，，]，，2]，
于是所求平面图形的面积近似等于
(1＋＋＋＋)＝×＝1.02.
呈重点、现规律]
求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：
(1)分割：n等分区间a，b]；
(2)近似代替：取点ξi∈xi－1，xi]；
(3)求和：(ξi)·；
(4)取极限：s＝(ξi)·.“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).
一、基础过关
1．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间，]上的值，可以近似代替为( )
A．f() B．f()
C．f() D．f(0)
答案 C
2．在等分区间的情况下f(x)＝(x∈0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( )
A.·] B.·]
C. (·) D.·n]
答案 B
解析 ∵Δx＝＝.
∴和式为·]．
∴应选B.
3．把区间a，b] (aA．，]
B．(b－a)，(b－a)]
C．a＋，a＋]
D．a＋(b－a)，a＋(b－a)]
答案 D
解析 区间a，b](a每个小区间长度均为，
第i个小区间是a＋(b－a)，a＋(b－a)](i＝1,2，…n)．
4．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为( )
A. B.
C．1 D.
答案 B
解析 曲线v(t)＝t与直线t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积S＝即为这段时间内物体所走的路程．
5．由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的的近似值(取每个区间的右端点)是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 将区间0,1]四等分，得到4个小区间：0，]，，]，，]，，1]，以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值
S＝()3×＋()3×＋()3×＋13×＝.
6．若做变速直线运动的物体v(t)＝t2，在0≤t≤a内经过的路程为9，则a的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 将区间0，a]n等分，记第i个区间为，](i＝1,2，…，n)，此区间长为，用小矩形面积()2·近似代替相应的小曲边梯形的面积，则 ()2·＝·(12＋22＋…＋n2)＝(1＋)(1＋)近似地等于速度曲线v(t)＝t2与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．依题意得(1＋)(1＋)]＝9，
∴＝9，
解得a＝3.
7．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积．
解 令f(x)＝x2.
(1)分割
将区间0,2] n等分，分点依次为
x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝2.
第i个区间为，](i＝1,2，…，n)，每个区间长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
Sn＝f()·Δx
＝ ()2·＝i2
＝(12＋22＋…＋n2)
＝·
＝(2＋＋)．
(3)取极限
S＝liSn＝li (2＋＋)＝，
即所求曲边梯形的面积为.
二、能力提升
8. ＝________.
答案
解析 ＝(1＋2＋…＋n)
＝·＝.
9．在求由抛物线y＝x2＋6与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间1,2]等分成n个小区间，则第i个区间为________．
答案 ，]
10．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．
答案 55
解析 ∵把区间0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.
∴物体运动的路程近似值s＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.
11．已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间0，t]内物体下落的距离．
解 (1)分割：将时间区间0，t]分成n等份．
把时间0，t]分成n个小区间，则第i个小区间为t，](i＝1,2，…，n)，
每个小区间所表示的时间段
Δt＝－t＝，
在各个小区间物体下落的距离记作
Δsi(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．
在t，]上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)，
可取ξi使v(ξi)＝g·t近似代替第i个小区间上的速度，
因此在每个小区间上自由落体Δt＝内所经过的距离可近似表示为
Δsi≈g·t·(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：
sn＝Δsi＝g·t·
＝0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝gt2(1－)．
(4)取极限：s＝ gt2(1－)＝gt2.
即在时间区间0，t]内物体下落的距离为gt2.
三、探究与拓展
12．某物体做变速运动，设该物体在时间t的速度为v(t)＝，求物体在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程s.
解 (1)分割：将区间1,2]等分割成n个小区间1＋，1＋](i＝1,2，…，n)，区间长度为Δt＝，每个时间段内行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，
则sn≈si.
(2)近似代替：ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，
Δsi≈v(1＋)·Δt＝6·()2·
＝(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：
sn＝≈
＝6n(－＋－＋…＋－)
＝6n(－)＝3.
(4)取极限：
s＝sn＝3.
课件47张PPT。1．5 定积分的概念
1.5.1 曲边梯形的面积
1.5.2 汽车行驶的路程 自主学习 新知突破1．理解连续函数的概念，了解定积分的实际背景及“以直代曲”“以不变代变”的思想方法．
2．会用分割、近似代替、求和、取极限的方法求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．观察图①和图②，其中阴影部分的面积可用梯形的面积公式来求，而图③中阴影部分有一边是曲线段．
[问题] 如何求图③中阴影部分的面积呢？
[提示] 若把区间[a，b]分成许多小区间，进而把阴影部分拆分为一些小曲边梯形，近似地求出这些小曲边梯形的面积，分割的曲边梯形数目越多，所求得的面积越精确． 如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条__________的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．连续函数连续不断1．曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．
2．求曲边梯形面积的方法与步骤：
(1)分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些____________ (如图②)；
(2)近似代替：对每个小曲边梯形“__________”，即用________的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的__________ (如图②)；曲边梯形的面积 小曲边梯形以直代曲矩形近似值(3)求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值__________；
(4)取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，所有小曲边梯形的面积之和趋向一个_______，即为曲边梯形的面积．求和定值如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么它在时间t所在的区间[a，b]内的路程(或位移)也可以运用(1)________；(2)__________；(3)_________；(4)__________的方法求得．求变速直线运动的路程分割近似代替求和取极限2．汽车行驶的路程与曲边梯形的面积之间的关系
求汽车行驶的路程实际上也是求时间－速度坐标系中的曲边梯形的面积，所以求汽车行驶的路程与求曲边梯形的面积方法一样．1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值( )
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均正确
解析： 作近似计算时，Δx＝xi＋1－xi很小，误差可忽略，所以f(x)可以是[xi，xi＋1]上任一值f(ξi)．
答案： C
解析： 对于v＝at＋b，当a＝0时为匀速直线运动，当a≠0时为匀变速直线运动，其中a>0时为匀加速直线运动，a<0时为匀减速直线运动，对于v＝at2＋bt＋c(a≠0)及v＝v(t)是t的三次、四次函数时，汽车做的都是变速(即变加速或变减速)直线运动，故B是错误的．
答案： B3．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n等分，则每个小区间的长度为________．4．利用分割、近似代替、求和、取极限的办法求函数y＝1＋x，x＝1，x＝2的图象与x轴围成梯形的面积并用梯形的面积公式加以验证．合作探究 课堂互动 求曲边梯形的面积 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x(x－1)围成的图形面积． 求曲边梯形面积的四个步骤：
第一步：分割．在区间[a，b]中任意插入n－1个分点，将它等分成n个小区间[xi－1，xi](i＝1,2…，n)，区间[xi－1，xi]的长度Δxi＝xi－xi－1，
第二步：近似代替，“以直代曲”．用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．
第三步：求和．
第四步：取极限．
特别提醒：最后所得曲边梯形的面积不是近似值，而是真实值．1．求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的平面图形的面积．求变速运动物体的路程 求自由落体的下落距离：
已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．[思路点拨]
2．汽车行驶的速度为v＝t2，求汽车在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s.【错解】 (1)分割
将区间[0,1]等分为5个小区间：[0,0.2]，[0.2,0.4]，[0.4,0.6]，[0.6,0.8]，[0.8,1]
每个小区间的长度为0.2，过四个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成5个小曲边梯形，它们的面积分别记为ΔS1，ΔS2，…，ΔS5.【错因】 错解的原因是没有理解极限的思想．谢谢观看！
