1.5.3 定积分的概念
明目标、知重点
1．了解定积分的概念，会用定义求定积分．
2．理解定积分的几何意义．
3．掌握定积分的基本性质．
定积分
概念
一般地，如果函数f(x)在区间a，b]上连续，用分点a＝x0
几何意义
如果在区间a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分?f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积.
基本性质
?kf(x)dx＝k?f(x)dx(k为常数)；
?f1(x)±f2(x)]dx＝?f1(x)dx±?f2(x)dx；
?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx(其中a探究点一 定积分的概念
思考1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．
答 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．
思考2 怎样正确认识定积分?f(x)dx?
答 (1)定积分?f(x)dx是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外?f(x)dx与积分区间a，b]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．
(2)定积分就是和的极限(ξi)·Δx，而?f(x)dx只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b的定积分”．
(3)函数f(x)在区间a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．
例1 利用定积分的定义，计算?x3dx的值．
解 令f(x)＝x3.
(1)分割
在区间0,1]上等间隔地插入n－1个分点，把区间0,1]等分成n个小区间，](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则
?x3dx≈Sn＝f()·Δx
＝ ()3·
＝i3＝·n2(n＋1)2＝(1＋)2.
(3)取极限
?x3dx＝Sn＝ (1＋)2＝.
反思与感悟 (1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．
(2)从过程来看，当f(x)≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积．
跟踪训练1 用定义计算?(1＋x)dx.
解 (1)分割：将区间1,2]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为
Δx＝.
(2)近似代替、求和：在上取点ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋＝2＋，从而得f(ξi)Δx＝(2＋)·＝
＝·n＋0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝2＋·＝2＋.
(3)取极限：S＝ ＝2＋＝.
因此?(1＋x)dx＝.
探究点二 定积分的几何意义
思考1 从几何上看，如果在区间a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么?f(x)dx表示什么？
答 当函数f(x)≥0时，定积分?f(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b(a思考2 当f(x)在区间a，b]上连续且恒有f(x)≤0时，?f(x)dx表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？
答 如果在区间a，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图①)．
由于>0，f(ξi)≤0，故
f(ξi)≤0.从而定积分?f(x)dx≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即?f(x)dx＝－S.
当f(x)在区间a，b]上有正有负时，定积分?f(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图②)，即?f(x)dx＝－S1＋S2－S3.
例2 利用几何意义计算下列定积分：
(1)?dx；(2)?(3x＋1)dx.
解 (1)在平面上y＝表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，
其面积为S＝·π·32.
由定积分的几何意义知?dx＝π.
(2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：
?(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，
∴?(3x＋1)dx＝×(3＋)×(3×3＋1)－(－＋1)×2＝－＝16.
反思与感悟 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．
跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值：
(1)?xdx；(2)?cos xdx；(3)?|x|dx.
解 (1)如图(1)，?xdx＝－A1＋A1＝0.
(2)如图(2)，?cos xdx＝A1－A2＋A3＝0.
(3)如图(3)，∵A1＝A2，∴?|x|dx＝2A1＝2×＝1.
(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)
探究点三 定积分的性质
思考1 定积分的性质可作哪些推广？
答 定积分的性质的推广
①?f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝?f1(x)dx±?f2(x)dx±…±?fn(x)dx；
②?f(x)dx＝?c1af(x)dx＋?c2c1f(x)dx＋…＋?bcnf(x)dx(其中n∈N*)．
思考2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？
答 奇、偶函数在区间－a，a]上的定积分
①若奇函数y＝f(x)的图象在－a，a]上连续不断，则?f(x)dx＝0.
②若偶函数y＝g(x)的图象在－a，a]上连续不断，则?g(x)dx＝2?g(x)dx.
例3 计算?(－x3)dx的值．
解 如图，
由定积分的几何意义得?dx＝＝，
?x3dx＝0，由定积分性质得
?(－x3)dx＝?dx－?x3dx＝.
反思与感悟 根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．
跟踪训练3 已知?x3dx＝，?x3dx＝，?x2dx＝，?x2dx＝，求：
(1)?3x3dx；(2)?6x2dx；(3)?(3x2－2x3)dx.
解 (1)?3x3dx＝3?x3dx＝3(?x3dx＋?x3dx)
＝3×(＋)＝12；
(2)?6x2dx＝6?x2dx＝6(?x2dx＋?x2dx)＝6×(＋)＝126；
(3)?(3x2－2x3)dx＝?3x2dx－?2x3dx
＝3?x2dx－2?x3dx＝3×－2×＝7－＝－.
1．下列结论中成立的个数是( )
①?x3dx＝·；
②?x3dx＝·；
③?x3dx＝·.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ②③成立．
2．定积分?f(x)dx的大小( )
A．与f(x)和积分区间a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间a，b]以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间a，b]无关
D．与f(x)、积分区间a，b]和ξi的取法都有关
答案 A
3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：
①?xdx________?x2dx；
②?dx________?2dx.
答案 ①> ②<
4．若?x2dx＝9，则常数T的值为________．
答案 3
解析 令f(x)＝x2.
(1)分割
将区间0，T]n等分，则Δx＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
Sn＝()2·＝2＝(12＋22＋…＋n2)
＝·＝(1＋)(2＋)．
(3)取极限
S＝ ×2＝＝9,
∴T3＝27，∴T＝3.
呈重点、现规律]
1．定积分?f(x)dx是一个和式f(ξi)的极限，是一个常数．
2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．
3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.
一、基础过关
1．下列命题不正确的是( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则?f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则?f(x)dx＝2?f(x)dx
C．若f(x)在a，b]上连续且恒正，则?f(x)dx>0
D．若f(x) 在a，b]上连续且?f(x)dx>0，则f(x)在a，b]上恒正
答案 D
解析 对于A，f(－x)＝－f(x)，?f(x)dx
＝?f(x)dx＋?f(x)dx＝－?f(x)dx＋?f(x)dx＝0，同理B正确；由定积分的几何意义知，当f(x)>0时，?f(x)dx>0即C正确；但?f(x)dx>0，不一定有f(x)恒正，故选D.
2．已知定积分?f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则?f(x)dx等于( )．
A．0 B．16 C．12 D．8
答案 B
解析 偶函数图象关于y轴对称，
故?f(x)dx＝2?f(x)dx＝16，故选B.
3．已知?xdx＝2，则?xdx等于( )
A．0 B．2 C．－1 D．－2
答案 D
解析 ∵f(x)＝x在－t，t]上是奇函数，
∴?xdx＝0.而?xdx＝?xdx＋?xdx，
又?xdx＝2，
∴?xdx＝－2.故选D.
4．由曲线y＝x2－4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )
A．?(x2－4)dx
B.
C．?|x2－4|dx
D．?(x2－4)dx＋?(x2－4)dx
答案 C
5．设a＝?xdx，b＝?x2dx，c＝?x3dx，则a，b，c的大小关系是( )
A．c>a>b B．a>b>c
C．a＝b>c D．a>c>b
答案 B
解析 根据定积分的几何意义，易知?x3dxb>c，故选B.
6．若?|56x|dx≤2 016，则正数a的最大值为( )
A．6 B．56 C．36 D．2 016
答案 A
解析 由?|56x|dx＝56?|x|dx≤2 016，
得?|x|dx≤36，∴?|x|dx＝2?xdx＝a2≤36，
即07.ln 等于( )
A．?ln2xdx B．2?ln xdx
C．2?ln(1＋x)dx D．?ln2(1＋x)dx
答案 B
解析 ln
＝ ln
＝2 ＝2?ln xdx(这里f(x)＝ln x，区间1,2]或者2 ＝2?ln(1＋x)dx，区间0,1])．
二、能力提升
8．由y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S＝________.
答案 －?sin xdx
解析 由定积分的意义知，由y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0围成图形的面积为S＝－?sin xdx.
9．计算定积分?dx＝________.
答案 π
解析 由于?dx＝2?dx表示单位圆的面积π，所以?dx＝π.
10．设f(x)是连续函数，若?f(x)dx＝1，?f(x)dx＝－1，则?f(x)dx＝________.
答案 －2
解析 因为?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx，
所以?f(x)dx＝?f(x)dx－?f(x)dx＝－2.
11．利用定积分的定义计算?(－x2＋2x)dx的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．
解 令f(x)＝－x2＋2x.
(1)分割
在区间1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间1,2]等分为n个小区间1＋，1＋](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，则
Sn＝f(1＋)·Δx＝－(1＋)2＋2(1＋)]·
＝－(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋…＋2n]
＝－－]＋·
＝－(2＋)(4＋)＋(1＋)(2＋)＋3＋.
(3)取极限
?(－x2＋2x)dx＝Sn＝－(2＋)(4＋)＋(1＋)(2＋)＋3＋]＝，
?(－x2＋2x)dx＝的几何意义为由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线f(x)＝－x2＋2x所围成的曲边梯形的面积．
12．用定积分的意义求下列各式的值：
(1)?(2x＋1)dx；(2)dx.
解 (1)在平面上，f(x)＝2x＋1为一条直线，
?(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3与x轴围成的直角梯形OABC的面积，如图(1)所示，其面积为S＝(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知
?(2x＋1)dx＝12.
(2)由y＝可知，x2＋y2＝1(y≥0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知dx等于圆心角为120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝×π×12－×1×1×sin π＝－，
S矩形＝|AB|·|BC|
＝2××＝，
∴dx＝－＋＝＋.
三、探究与拓展
13．已知函数f(x)＝，求f(x)在区间－2,2π]上的积分．
解 由定积分的几何意义知
?x3dx＝0，
?2xdx＝
＝π2－4，
?cos xdx＝0，
由定积分的性质得
?f(x)dx＝?x3dx＋?2xdx＋?cos xdx
＝π2－4.
1.5.3 定积分的概念
教学目标：
了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征.
理解定积分及几何意义.
掌握定积分的基本性质及其计算
教学重点与难点：
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质及运算
教学过程：
定积分的定义：
怎样用定积分表示：
x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积？
t=0，t=1，v=0及v=-t2-1所围成图形的面积？
你能说说定积分的几何意义吗？例如的几何意义是什么?
4.4. 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？
思考：试用定积分的几何意义说明
1.的大小
由直线x=0，x=2，y=0及所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的，
2.
5. 例：利用定积分的定义，计算的值.
6.由定积分的定义可得到哪些性质？
常数与积分的关系
和差的积分 推广到有限个也成立
区间和的积分等于各段积分和
7练习：计算下列定积分
1.5.3 定积分的概念
明目标、知重点
1．了解定积分的概念，会用定义求定积分．
2．理解定积分的几何意义．
3．掌握定积分的基本性质．
定积分
概念
一般地，如果函数f(x)在区间a，b]上连续，用分点a＝x0几何意义
如果在区间a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分?f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积.
基本性质
?kf(x)dx＝k?f(x)dx(k为常数)；
?f1(x)±f2(x)]dx＝?f1(x)dx±?f2(x)dx；
?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx(其中a探究点一 定积分的概念
思考1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．
答 两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．
思考2 怎样正确认识定积分?f(x)dx?
答 (1)定积分?f(x)dx是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外?f(x)dx与积分区间a，b]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．
(2)定积分就是和的极限(ξi)·Δx，而?f(x)dx只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b的定积分”．
(3)函数f(x)在区间a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．
例1 利用定积分的定义，计算?x3dx的值．
解 令f(x)＝x3.
(1)分割
在区间0,1]上等间隔地插入n－1个分点，把区间0,1]等分成n个小区间，](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则
?x3dx≈Sn＝f()·Δx
＝ ()3·
＝i3＝·n2(n＋1)2＝(1＋)2.
(3)取极限
?x3dx＝Sn＝ (1＋)2＝.
反思与感悟 (1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．
(2)从过程来看，当f(x)≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积．
跟踪训练1 用定义计算?(1＋x)dx.
解 (1)分割：将区间1,2]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为
Δx＝.
(2)近似代替、求和：在上取点ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋＝2＋，从而得f(ξi)Δx＝(2＋)·＝
＝·n＋0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝2＋·＝2＋.
(3)取极限：S＝ ＝2＋＝.
因此?(1＋x)dx＝.
探究点二 定积分的几何意义
思考1 从几何上看，如果在区间a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么?f(x)dx表示什么？
答 当函数f(x)≥0时，定积分?f(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b(a思考2 当f(x)在区间a，b]上连续且恒有f(x)≤0时，?f(x)dx表示的含义是什么？若f(x)有正有负呢？
答 如果在区间a，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x轴的下方(如图①)．
由于>0，f(ξi)≤0，故
f(ξi)≤0.从而定积分?f(x)dx≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即?f(x)dx＝－S.
当f(x)在区间a，b]上有正有负时，定积分?f(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图②)，即?f(x)dx＝－S1＋S2－S3.
例2 利用几何意义计算下列定积分：
(1)?dx；(2)?(3x＋1)dx.
解 (1)在平面上y＝表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，
其面积为S＝·π·32.
由定积分的几何意义知?dx＝π.
(2)由直线x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：
?(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，
∴?(3x＋1)dx＝×(3＋)×(3×3＋1)－(－＋1)×2＝－＝16.
反思与感悟 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．
跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值：
(1)?xdx；(2)?cos xdx；(3)?|x|dx.
解 (1)如图(1)，?xdx＝－A1＋A1＝0.
(2)如图(2)，?cos xdx＝A1－A2＋A3＝0.
(3)如图(3)，∵A1＝A2，∴?|x|dx＝2A1＝2×＝1.
(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)
探究点三 定积分的性质
思考1 定积分的性质可作哪些推广？
答 定积分的性质的推广
①?f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝?f1(x)dx±?f2(x)dx±…±?fn(x)dx；
②?f(x)dx＝?c1af(x)dx＋?c2c1f(x)dx＋…＋?bcnf(x)dx(其中n∈N*)．
思考2 如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？
答 奇、偶函数在区间－a，a]上的定积分
①若奇函数y＝f(x)的图象在－a，a]上连续不断，则?f(x)dx＝0.
②若偶函数y＝g(x)的图象在－a，a]上连续不断，则?g(x)dx＝2?g(x)dx.
例3 计算?(－x3)dx的值．
解 如图，
由定积分的几何意义得?dx＝＝，
?x3dx＝0，由定积分性质得
?(－x3)dx＝?dx－?x3dx＝.
反思与感悟 根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算．
跟踪训练3 已知?x3dx＝，?x3dx＝，?x2dx＝，?x2dx＝，求：
(1)?3x3dx；(2)?6x2dx；(3)?(3x2－2x3)dx.
解 (1)?3x3dx＝3?x3dx＝3(?x3dx＋?x3dx)
＝3×(＋)＝12；
(2)?6x2dx＝6?x2dx＝6(?x2dx＋?x2dx)＝6×(＋)＝126；
(3)?(3x2－2x3)dx＝?3x2dx－?2x3dx
＝3?x2dx－2?x3dx＝3×－2×＝7－＝－.
1．下列结论中成立的个数是( )
①?x3dx＝·；
②?x3dx＝·；
③?x3dx＝·.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ②③成立．
2．定积分?f(x)dx的大小( )
A．与f(x)和积分区间a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间a，b]以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间a，b]无关
D．与f(x)、积分区间a，b]和ξi的取法都有关
答案 A
3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：
①?xdx________?x2dx；
②?dx________?2dx.
答案 ①> ②<
4．若?x2dx＝9，则常数T的值为________．
答案 3
解析 令f(x)＝x2.
(1)分割
将区间0，T]n等分，则Δx＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
Sn＝()2·＝2＝(12＋22＋…＋n2)
＝·＝(1＋)(2＋)．
(3)取极限
S＝ ×2＝＝9,
∴T3＝27，∴T＝3.
呈重点、现规律]
1．定积分?f(x)dx是一个和式f(ξi)的极限，是一个常数．
2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．
3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算.
一、基础过关
1．下列命题不正确的是( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则?f(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则?f(x)dx＝2?f(x)dx
C．若f(x)在a，b]上连续且恒正，则?f(x)dx>0
D．若f(x) 在a，b]上连续且?f(x)dx>0，则f(x)在a，b]上恒正
答案 D
解析 对于A，f(－x)＝－f(x)，?f(x)dx
＝?f(x)dx＋?f(x)dx＝－?f(x)dx＋?f(x)dx＝0，同理B正确；由定积分的几何意义知，当f(x)>0时，?f(x)dx>0即C正确；但?f(x)dx>0，不一定有f(x)恒正，故选D.
2．已知定积分?f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则?f(x)dx等于( )．
A．0 B．16 C．12 D．8
答案 B
解析 偶函数图象关于y轴对称，
故?f(x)dx＝2?f(x)dx＝16，故选B.
3．已知?xdx＝2，则?xdx等于( )
A．0 B．2 C．－1 D．－2
答案 D
解析 ∵f(x)＝x在－t，t]上是奇函数，
∴?xdx＝0.而?xdx＝?xdx＋?xdx，
又?xdx＝2，
∴?xdx＝－2.故选D.
4．由曲线y＝x2－4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )
A．?(x2－4)dx
B.
C．?|x2－4|dx
D．?(x2－4)dx＋?(x2－4)dx
答案 C
5．设a＝?xdx，b＝?x2dx，c＝?x3dx，则a，b，c的大小关系是( )
A．c>a>b B．a>b>c
C．a＝b>c D．a>c>b
答案 B
解析 根据定积分的几何意义，易知?x3dxb>c，故选B.
6．若?|56x|dx≤2 016，则正数a的最大值为( )
A．6 B．56 C．36 D．2 016
答案 A
解析 由?|56x|dx＝56?|x|dx≤2 016，
得?|x|dx≤36，∴?|x|dx＝2?xdx＝a2≤36，
即07.ln 等于( )
A．?ln2xdx B．2?ln xdx
C．2?ln(1＋x)dx D．?ln2(1＋x)dx
答案 B
解析 ln
＝ ln
＝2 ＝2?ln xdx(这里f(x)＝ln x，区间1,2]或者2 ＝2?ln(1＋x)dx，区间0,1])．
二、能力提升
8．由y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S＝________.
答案 －?sin xdx
解析 由定积分的意义知，由y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0围成图形的面积为S＝－?sin xdx.
9．计算定积分?dx＝________.
答案 π
解析 由于?dx＝2?dx表示单位圆的面积π，所以?dx＝π.
10．设f(x)是连续函数，若?f(x)dx＝1，?f(x)dx＝－1，则?f(x)dx＝________.
答案 －2
解析 因为?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx，
所以?f(x)dx＝?f(x)dx－?f(x)dx＝－2.
11．利用定积分的定义计算?(－x2＋2x)dx的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．
解 令f(x)＝－x2＋2x.
(1)分割
在区间1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间1,2]等分为n个小区间1＋，1＋](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，则
Sn＝f(1＋)·Δx＝－(1＋)2＋2(1＋)]·
＝－(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋…＋2n]
＝－－]＋·
＝－(2＋)(4＋)＋(1＋)(2＋)＋3＋.
(3)取极限
?(－x2＋2x)dx＝Sn＝－(2＋)(4＋)＋(1＋)(2＋)＋3＋]＝，
?(－x2＋2x)dx＝的几何意义为由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线f(x)＝－x2＋2x所围成的曲边梯形的面积．
12．用定积分的意义求下列各式的值：
(1)?(2x＋1)dx；(2)dx.
解 (1)在平面上，f(x)＝2x＋1为一条直线，
?(2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3与x轴围成的直角梯形OABC的面积，如图(1)所示，其面积为S＝(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知
?(2x＋1)dx＝12.
(2)由y＝可知，x2＋y2＝1(y≥0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知dx等于圆心角为120°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和．
S弓形＝×π×12－×1×1×sin π＝－，
S矩形＝|AB|·|BC|
＝2××＝，
∴dx＝－＋＝＋.
三、探究与拓展
13．已知函数f(x)＝，求f(x)在区间－2,2π]上的积分．
解 由定积分的几何意义知
?x3dx＝0，
?2xdx＝
＝π2－4，
?cos xdx＝0，
由定积分的性质得
?f(x)dx＝?x3dx＋?2xdx＋?cos xdx
＝π2－4.
课件43张PPT。1.5.3 定积分的概念 自主学习 新知突破1．了解定积分的概念，理解定积分的几何意义．
2．掌握定积分的基本性质．[问题1] 直线x＝1，x＝2，y＝0和函数f(x)＝1＋x围成的图形的面积是多少？[问题3] 两个数值相同是巧合吗？
[提示3] 不是．
[问题4] 说明了什么问题？定积分的概念定积分
其中a与b分别叫做__________和__________，区间[a，b]叫做__________，函数f(x)叫做_________，x叫做_________，f(x)dx叫做__________．积分下限积分上限积分区间被积函数积分变量被积式定积分的几何意义 f(x)≥0直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0曲线y＝f(x)定积分的性质 答案： B答案： B4．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：合作探究 课堂互动 利用定义求定积分 [思路点拨] 将区间[1,2]等分为n个小区间，利用函数在每个小区间上的左端点值求出Sn，其极限即为所求．定积分的几何意义 利用定积分的几何意义，求： 定积分的几何意义的应用：
定积分的几何意义是曲边梯形的面积，其应用可以是用图形面积表示定积分，或者利用几何意义求定积分．画出被积函数的图象，准确确定积分区间，正确利用几何知识求面积．对于不规则的图形，可以进行分割．
特别提醒：由于积分区间的影响，被积函数的图象往往不是完整的曲线． 定积分性质的应用 [思路点拨] 解答本题应关注以下两点：如图，利用定积分的几何意义得 定积分的性质在做题时经常应用，不但可以把未知的问题转化为已知的问题，而且在运算方面更为简便．另外，若函数f(x)的奇偶性已经明确我们还有下面的结论，若f(x)在[－a，a]上连续，则： 答案： (1)D【错因】 在应用定积分的几何意义求定积分时，错解中没有考虑在x轴下方的面积取负号，x轴上方的面积取正号，导致错误．谢谢观看！