§1.6.1微积分基本定理
【学情分析】：
学生已经在高一学习了物理中的匀速直线运动的速度与位移的关系，并且在前一节课通过学习了“已知物体的速度与时间的关系，求其在一定时间内经过的路程”，得到定积分的概念以及求法．学生必然会提出：如果每次求定积分都按“四部曲”求解是一件很麻烦的事情．利用学生的疑问，激发他们的探究精神学习微积分基本定理．以学生现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的，而突破难点在于让学生主动去探索，体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分，这样才能从真正意义上把握该定理的含义，提高学生的能力，体现学生的主体地位．
【教学目标】：
（1）知识与技能：了解微积分基本定理的含义
（2）过程与方法：运用基本定理计算简单的定积分
（3）情感态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．
【教学重点】：
通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分
【教学难点】：
了解微积分基本定理的含义．
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、
提
出
问
题
你能用定义计算吗?
师:我们首先回忆昨天怎样计算?
提示:快速阅读课本P52例题1.
生:利用定义进行计算,分四步:①分割;②近似代替,③作和;④取极限.
师:利用定义计算时,需要使用这一结果,技巧性较强.
师:能否按照定义计算?
生(或师):需要求的和,而这个“和”是“求不出”的，因此用定义就算不出的结果．
师：从这个事实我们有这样一个感觉，尽管我们的被积函数简单（如），但是利用定义求它们的定积分依然会很困难，甚至“求”不出．
师：我们知道加法的逆运算是减法．乘法的逆运算是除法，而两向量的加法运算和减法运算是互为逆运算．类似地提出问题：求定积分运算有没有逆运算，如果有，它的逆运算我们如何去定义？
师：数学也是一门应用的科学，如果微积分难以在实际中应用，那么欧洲的十七世纪的科学也不会得到那么快的发展．我们的前辈牛顿和莱布尼茨分别独立有效的创立了微积分的基本定理和运算法则，从而使微积分能普遍应用于科学实践．
师：前辈们是如何发现微积分基本定理呢？现在我们不妨循着前辈足迹走一走．前辈经过思考，发现导数和定积分有某种联系．
师：我们可以看看下面的一些事实：
我们知道，如果是匀速直线运动速度函数，那么在直线下方的面积S就是位移；如果匀变速直线运动速度函数为，同样在直线下方的面积S就是位移。
我们又知道，位移函数，曲线下的面积可以用定积分进行计算。你能从上面的找到规律吗？
生：
（2）师：那么，导数和定积分到底有何内在联系?能否从这种联系中找出求定积分的简便、有效的方法?
生：阅读P57的探究
师：你能说说解决书本第57页的“探究”的基本思路吗?
生：思考，讨论，探究，并尝试提出解决问题的思路．
引导学生思考用定义计算定积分的困难及其原因．
类比启发
引导学生大胆尝试
激发寻求计算定积分新方法的认知需要．
渗透数学史，让学生认识到历史上数学光辉的一页．
二、
探
索
新
知
师：为了解决一个一般性的问题．我们可以先把问题分解一下．
（3）师：如果做直线运动的物体的运动规律是，那么它在时刻的速度是什么?
生：
（4）师：如何用表示物体在内的位移S?
教师引导学观察函数的图象（图1.6-1），观察图象（或根据位移的定义）得出S＝s(b)－s(a)．
（图1.6-1）
（5）师：如何用表示物体在内的位移S？
（图1.6-2）
教师引导学生利用导数的几何意义，从图形上直观的观察近似值的意义，并从图形上直观地观察近似值的意义，并用定积分得出．
（6）由上面的讨论你能得到什么结论?
教师引导学生小结：物体在上的位移就是在区间上的定积分，等于函数在区间端点b，a处的函数值之差，从而．
(7)给出微积分基本定理的一般形式．
一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么．这个结论叫做微积分基本定理（fundamental theorem of calculus），又叫做牛顿－莱布尼茨公式（Newton－Leibniz Formula）．
为了方便，我们常常把记成，即．
复习路程与速度之间的关系．
得到基本定理中右端的雏形
得到基本定理中左端的雏形
得出微积分基本定理的一个特例，为得出微积分基本定理奠定基础
（8）从微积分基本定理看，运用定理求定积分的关键是什么?如何求F(x)?
生（或师）：关键是求出满足的函数F(x)．
教师引导学生得出求函数F(x)的方法：运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
明确运用定理的关键．
三：实
践
新
知
（9）计算．
以学生练习、讨论为主，让学生与上一节例题比较，得出结论：结果相同，但比用定义计算定积分简单．教师给出规范的书写格式．
（10）P59例题1
计算（1）；（2）
生：解题，讨论．
师：板书（投影），注意解题的书写格式．
附板书：
解：（1）∵，∴
（2）∵，
∴
①，初步展示利用微积分基本定理求定积分的优越性．
②第（1）题与本节引言中的讨论过的问题相呼应；第（2）题的解题过程中利用了定积分的性质2，以说明利用定积分的性质可以间或求解过程．
②规范书写格式．
四、
巩固
新知
1．练习：计算（1）
（2）（n为正整数）
解：(1)∵，
∴．
（2）∵
∴
2．P61练习（1）（3）（5）（7）
（1）注意三角函数的导数
（2）第（2）小题中的结果可以作为结果记忆．
五、
总结归纳
（1）微积分基本定理（牛顿－莱布尼茨公式）：一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么．
（2）运用微积分基本定理求定积分的关键是求出满足的函数F(x)；运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)
教师引导学生概括微积分基本定理的思想方法．
布置作业
课后作业：
１．书本：练习 （２）（４）（6）（8）．
2．P62习题A组1
3．P62习题A组1（思考）
为下一节课准备
设计反思
特色班应该注意以教师启发，学生的探究为主，充分让学生体会得到微积分基本定理的过程。
同步练习
基础题：
下列值等于1的积分是（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案：C
解释：
计算：(1)；（2）；（3）
解释：（1）
（2）
（3）
已知自由落体速度为，则落体从到所走过的路程为（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案：C
解释：
若，则
答案：1
解释：，∴，∴
（难题）
已知函数，若成立，则
答案：－1或
解释： ，∴，即，解得或
6、计算下列定积分
（1） （2）
解：（1）∵，
∴
（2） ∵ ，且，
∴
§1.6.1微积分基本定理
【学情分析】：
学生已经在高一学习了物理中的匀速直线运动的速度与位移的关系，并且在前一节课通过学习了“已知物体的速度与时间的关系，求其在一定时间内经过的路程”，得到定积分的概念以及求法．学生必然会提出：如果每次求定积分都按“四部曲”求解是一件很麻烦的事情．利用学生的疑问，激发他们的探究精神学习微积分基本定理．以学生现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的，而突破难点在于让学生主动去探索，体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分，这样才能从真正意义上把握该定理的含义，提高学生的能力，体现学生的主体地位．
【教学目标】：
（1）知识与技能：了解微积分基本定理的含义
（2）过程与方法：运用基本定理计算简单的定积分
（3）情感态度与价值观：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力．
【教学重点】：
通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分
【教学难点】：
了解微积分基本定理的含义．
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、
提
出
问
题
你能用定义计算吗?
师:我们首先回忆昨天怎样计算?
提示:快速阅读课本P52例题1.
生:利用定义进行计算,分四步:①分割;②近似代替,③作和;④取极限.
师:利用定义计算时,需要使用这一结果,技巧性较强.
师:能否按照定义计算?
生(或师):需要求的和,而这个“和”是“求不出”的，因此用定义就算不出的结果．
师：从这个事实我们有这样一个感觉，尽管我们的被积函数简单（如），但是利用定义求它们的定积分依然会很困难，甚至“求”不出．
师：我们知道加法的逆运算是减法．乘法的逆运算是除法，而两向量的加法运算和减法运算是互为逆运算．类似地提出问题：求定积分运算有没有逆运算，如果有，它的逆运算我们如何去定义？
师：数学也是一门应用的科学，如果微积分难以在实际中应用，那么欧洲的十七世纪的科学也不会得到那么快的发展．我们的前辈牛顿和莱布尼茨分别独立有效的创立了微积分的基本定理和运算法则，从而使微积分能普遍应用于科学实践．
师：前辈们是如何发现微积分基本定理呢？现在我们不妨循着前辈足迹走一走．前辈经过思考，发现导数和定积分有某种联系．
师：我们可以看看下面的一些事实：
我们知道，如果是匀速直线运动速度函数，那么在直线下方的面积S就是位移；如果匀变速直线运动速度函数为，同样在直线下方的面积S就是位移。
我们又知道，位移函数，曲线下的面积可以用定积分进行计算。你能从上面的找到规律吗？
生：
（2）师：那么，导数和定积分到底有何内在联系?能否从这种联系中找出求定积分的简便、有效的方法?
生：阅读P57的探究
师：你能说说解决书本第57页的“探究”的基本思路吗?
生：思考，讨论，探究，并尝试提出解决问题的思路．
引导学生思考用定义计算定积分的困难及其原因．
类比启发
引导学生大胆尝试
激发寻求计算定积分新方法的认知需要．
渗透数学史，让学生认识到历史上数学光辉的一页．
二、
探
索
新
知
师：为了解决一个一般性的问题．我们可以先把问题分解一下．
（3）师：如果做直线运动的物体的运动规律是，那么它在时刻的速度是什么?
生：
（4）师：如何用表示物体在内的位移S?
教师引导学观察函数的图象（图1.6-1），观察图象（或根据位移的定义）得出S＝s(b)－s(a)．
（图1.6-1）
（5）师：如何用表示物体在内的位移S？
（图1.6-2）
教师引导学生利用导数的几何意义，从图形上直观的观察近似值的意义，并从图形上直观地观察近似值的意义，并用定积分得出．
（6）由上面的讨论你能得到什么结论?
教师引导学生小结：物体在上的位移就是在区间上的定积分，等于函数在区间端点b，a处的函数值之差，从而．
(7)给出微积分基本定理的一般形式．
一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么．这个结论叫做微积分基本定理（fundamental theorem of calculus），又叫做牛顿－莱布尼茨公式（Newton－Leibniz Formula）．
为了方便，我们常常把记成，即．
复习路程与速度之间的关系．
得到基本定理中右端的雏形
得到基本定理中左端的雏形
得出微积分基本定理的一个特例，为得出微积分基本定理奠定基础
（8）从微积分基本定理看，运用定理求定积分的关键是什么?如何求F(x)?
生（或师）：关键是求出满足的函数F(x)．
教师引导学生得出求函数F(x)的方法：运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)．
明确运用定理的关键．
三：实
践
新
知
（9）计算．
以学生练习、讨论为主，让学生与上一节例题比较，得出结论：结果相同，但比用定义计算定积分简单．教师给出规范的书写格式．
（10）P59例题1
计算（1）；（2）
生：解题，讨论．
师：板书（投影），注意解题的书写格式．
附板书：
解：（1）∵，∴
（2）∵，
∴
①，初步展示利用微积分基本定理求定积分的优越性．
②第（1）题与本节引言中的讨论过的问题相呼应；第（2）题的解题过程中利用了定积分的性质2，以说明利用定积分的性质可以间或求解过程．
②规范书写格式．
四、
巩固
新知
1．练习：计算（1）
（2）（n为正整数）
解：(1)∵，
∴．
（2）∵
∴
2．P61练习（1）（3）（5）（7）
（1）注意三角函数的导数
（2）第（2）小题中的结果可以作为结果记忆．
五、
总结归纳
（1）微积分基本定理（牛顿－莱布尼茨公式）：一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么．
（2）运用微积分基本定理求定积分的关键是求出满足的函数F(x)；运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x)
教师引导学生概括微积分基本定理的思想方法．
布置作业
课后作业：
１．书本：练习 （２）（４）（6）（8）．
2．P62习题A组1
3．P62习题A组1（思考）
为下一节课准备
设计反思
特色班应该注意以教师启发，学生的探究为主，充分让学生体会得到微积分基本定理的过程。
同步练习
基础题：
下列值等于1的积分是（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案：C
解释：
计算：(1)；（2）；（3）
解释：（1）
（2）
（3）
已知自由落体速度为，则落体从到所走过的路程为（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案：C
解释：
若，则
答案：1
解释：，∴，∴
（难题）
已知函数，若成立，则
答案：－1或
解释： ，∴，即，解得或
6、计算下列定积分
（1） （2）
解：（1）∵，
∴
（2） ∵ ，且，
∴
课件15张PPT。1.6 微积分基本定理一、引入
由定积分的定义得定理 （微积分基本定理）二、牛顿—莱布尼茨公式 例1 计算下列定积分 解（１）∵ 练习： 11/21/415/4复习: 定积分的基本性质 性质1. 性质2. 例 ２．计算下列定积分 原式解:∵ 练习： 23/619e2-e+1例 ３．计算下列定积分 解0100微积分基本公式三、小结牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系． 作业：P６２ A 1 (2)(3)(5)(6)
1.6 微积分基本定理
一、教学目标
知识与技能目标
通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分
过程与方法
通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感态度与价值观
通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二、教学重难点
重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点 了解微积分基本定理的含义
三、教学过程
1、复习：
定积分的概念及用定义计算
2、引入新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），
则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即
=
而。
对于一般函数，设，是否也有
若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则
证明：因为=与都是的原函数，故
-=C（）
其中C为某一常数。
令得-=C，且==0
即有C=，故=+
=-=
令，有
此处并不要求学生理解证明的过程
为了方便起见，还常用表示，即
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
例1．计算下列定积分：
（1）； （2）。
解：（1）因为，
所以。
（2））因为，
所以
。
练习：计算
解：由于是的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有
===
例2．计算下列定积分：
。
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
解：因为，
所以
，
，
.
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
图1 . 6 一 3 ( 2 ）
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．
例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度=32公里/小时=米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,速度,故从解得秒
于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
=米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果．
四、课堂小结
本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！
五、教学后记
从教以来，一直困惑于一个问题：课堂上如何突出重点并突破难点。当然，理论方面自己早已烂熟于心，关键是缺乏实践方面的体验及感悟。在今天的课堂上，当自己在生物化学班重点及难点均未解决，相反将更多时间纠缠在细节方面，而物理班级恰好相反，教学效果的强烈反差，终于让自己对这个问题有了实践的切身的认识。记得当实习生时，本来一个相当简单的问题，可在课堂上却花费了大量时间，更严重的是学生却听得更为糊涂。一个主要原因在于，对相关知识结构理解不到位，眉毛胡子一把抓，而难点又无法解决。
【创新设计】2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理课时作业 新人教版选修2-2
明目标、知重点
1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．
2．会利用微积分基本定理求函数的积分．
1．微积分基本定理
如果f(x)是区间a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么?f(x)dx＝F(b)－F(a)．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则
(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则?f(x)dx＝S上．
(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则?f(x)dx＝－S下．
(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则?f(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则?f(x)dx＝0.
情境导学]
从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算?x3dx的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？
探究点一 微积分基本定理
问题 你能用定义计算?dx吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？
思考1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？
答 由物体的运动规律是y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)，
通过求定积分的几何意义，可得s＝?v(t)dt＝?y′(t)dt，
所以?v(t)dt＝?y′(t)dt＝y(b)－y(a)．其中v(t)＝y′(t)．
小结 (1)一般地，如果f(x)是区间a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么?f(x)dx＝F(b)－F(a)．
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
(2)运用微积分基本定理求定积分?f(x)dx很方便，其关键是准确写出满足F′(x)＝f(x)的F(x)．
思考2 对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？
答 不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数c，F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x)．
不影响，因为
?f(x)dx＝F(b)＋c]－F(a)＋c]＝F(b)－F(a)
例1 计算下列定积分：
(1)?dx；(2)?(2x－)dx；(3)?(cos x－ex)dx.
解 (1)因为(ln x)′＝，
所以?dx＝ln x|＝ln 2－ln 1＝ln 2.
(2)因为(x2)′＝2x，()′＝－，
所以?(2x－)dx＝?2xdx－?dx
＝x2|＋|
＝(9－1)＋(－1)＝.
(3)?(cos x－ex)dx＝?cos xdx－?exdx
＝sin x|－ex|＝－1.
反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：
(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；
(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
跟踪训练1 若S1＝?x2dx，S2＝?dx，S3＝?exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A．S1
C．S2答案 B
解析 S1＝?x2dx＝x3|＝，
S2＝?dx＝ln x|＝ln 2<1，
S3＝?exdx＝ex|＝e2－e＝e(e－1)>.
所以S2探究点二 分段函数的定积分
例2 已知函数f(x)＝先画出函数图象，再求这个函数在0,4]上的定积分．
解 图象如图．
?f(x)dx＝sin xdx＋1dx＋(x－1)dx
＝(－cos x)|＋x|＋(x2－x)|
＝1＋(2－)＋(4－0)＝7－.
反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．
跟踪训练2 设f(x)＝
求?f(x)dx.
解 ?f(x)dx＝?x2dx＋?(cos x－1)dx
＝x3|＋(sin x－x)|＝sin 1－.
探究点三 定积分的应用
例3 计算下列定积分：
?sin xdx，?sin xdx，?sin xdx.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．
解 因为(－cos x)′＝sin x，
所以?sin xdx＝(－cos x)|
＝(－cos π)－(－cos 0)＝2；
?sin xdx＝(－cos x)|
＝(－cos 2π)－(－cos π)＝－2；
?sin xdx＝(－cos x)|
＝(－cos 2π)－(－cos 0)＝0.
反思与感悟 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：
定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x轴上方曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．
跟踪训练3 求曲线y＝sin x与直线x＝－，x＝π，y＝0所围图形的面积(如图所示)．
解 所求面积为
S＝－|sin x|dx
＝－sin xdx＋?sin xdx－sin xdx
＝1＋2＋(1－)＝4－.
1．(1＋cos x)dx等于( )
A．π B．2
C．π－2 D．π＋2
答案 D
解析 ∵(x＋sin x)′＝1＋cos x，
∴(1＋cos x)dx＝(x＋sin x)|
＝＋sin－＝π＋2.
2．若?(2x＋)dx＝3＋ln 2，则a的值是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 D
解析 ?(2x＋)dx＝?2xdx＋?dx
＝x2|＋ln x|＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，
解得a＝2.
3．?(x2－x)dx＝________.
答案
解析 ?(x2－x)dx＝?x2dx－?xdx
＝|－|＝－＝.
4．已知f(x)＝，计算?f(x)dx.
解 ?f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx
＝(4x－2π)dx＋cos xdx，
取F1(x)＝2x2－2πx，则F1′(x)＝4x－2π；
取F2(x)＝sin x，则F2′(x)＝cos x.
所以(4x－2π)dx＋cos xdx＝(2x2－2πx)|
＋sin x|＝－π2－1，即?f(x)dx＝－π2－1.
呈重点、现规律]
1．求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数．
一、基础过关
1．已知物体做变速直线运动的位移函数s＝s(t)，那么下列命题正确的是( )
①它在时间段a，b]内的位移是s＝s(t)|；
②它在某一时刻t＝t0时，瞬时速度是v＝s′(t0)；
③它在时间段a，b]内的位移是s＝s′(ξi)；
④它在时间段a，b]内的位移是s＝?s′(t)dt.
A．① B．①②
C．①②④ D．①②③④
答案 D
2．若F′(x)＝x2，则F(x)的解析式不正确的是( )
A．F(x)＝x3
B．F(x)＝x3
C．F(x)＝x3＋1
D．F(x)＝x3＋c(c为常数)
答案 B
3．?(ex＋2x)dx等于( )
A．1 B．e－1 C．e D．e＋1
答案 C
解析 ?(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e.
4．已知f(x)＝则?f(x)dx的值为( )
A. B. C. D．－
答案 B
解析 ?f(x)dx＝?x2dx＋?1dx＝|＋1＝＋1＝，故选B.
5．sin2dx等于( )
A. B.－1
C．2 D.
答案 D
解析 sin2dx＝dx＝(x－sin x)|＝，故选D.
6．若?(2x＋k)dx＝2，则k＝________.
答案 1
解析 ∵?(2x＋k)dx＝(x2＋kx)|＝1＋k＝2，
∴k＝1.
二、能力提升
7．设函数f(x)＝ax2＋c (a≠0)，若?f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
答案
解析 ?(ax2＋c)dx＝ax＋c，
∴＝ax，
∵a≠0，∴x＝，又0≤x0≤1，
∴x0＝.
8．设f(x)＝，
若ff(1)]＝1，则a＝________.
答案 1
解析 因为x＝1>0，所以f(1)＝lg 1＝0.又x≤0时，f(x)＝x＋?3t2dt＝x＋t3|＝x＋a3，
所以f(0)＝a3.
因为ff(1)]＝1，所以a3＝1，
解得a＝1.
9．设f(x)是一次函数，且?f(x)dx＝5，?xf(x)dx＝，则f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝4x＋3
解析 ∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则
?f(x)dx＝?(ax＋b)dx＝?axdx＋?bdx＝a＋b＝5，?xf(x)dx＝?x(ax＋b)dx＝?(ax2)dx＋?bxdx＝a＋b＝.
由
得
10．计算下列定积分：
(1)?(ex＋)dx；(2)?(1＋)dx；
(3)?(－0.05e－0.05x＋1)dx；
(4)?dx.
解 (1)∵(ex＋ln x)′＝ex＋，
∴?(ex＋)dx＝(ex＋ln x)|＝e2＋ln 2－e.
(2)∵(1＋)＝x＋，(x2＋)′＝x＋，
∴?(1＋)dx＝(x2＋)|＝.
(3)∵(e－0.05x＋1)′＝－0.05e－0.05x＋1，
∴?(－0.05e－0.05x＋1)dx＝e－0.05x＋1|＝1－e.
(4)∵＝－，
(ln x)′＝，(ln(x＋1))′＝，
∴?dx＝ln x|－ln(x＋1)|＝2ln 2－ln 3.
11．若函数f(x)＝求?f(x)dx的值．
解 由定积分的性质，知：
?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx＋?f(x)dx
＝?x3dx＋?dx＋?2xdx
＝|＋x|＋|
＝＋－＋－
＝－＋＋.
12．已知f(a)＝?(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值．
解 ∵(ax3－a2x2)′＝2ax2－a2x，
∴?(2ax2－a2x)dx＝(ax3－a2x2)|
＝a－a2，
即f(a)＝a－a2＝－(a2－a＋)＋
＝－(a－)2＋，
∴当a＝时，f(a)有最大值.
三、探究与拓展
13．求定积分?|x＋a|dx.
解 (1)当－a≤－4即a≥4时，
原式＝?(x＋a)dx＝(＋ax)|＝7a－.
(2)当－4<－a<3即－3原式＝?－(x＋a)]dx＋?(x＋a)dx
＝(－－ax)|＋(＋ax)|
＝－4a＋8＋(＋3a＋)
＝a2－a＋.
(3)当－a≥3即a≤－3时，
原式＝?－(x＋a)]dx＝(－－ax)|
＝－7a＋.
综上，得?|x＋a|dx＝.
