§1.6.2微积分基本定理
【学情分析】：
在上一节教学中，学生已经学习了微积分基本定理，并且初步学会使用微积分基本定理进行求定积分的计算．本节需要在上一节的基础上，进一步理解定积分的几何意义，以及利用几何意义求几何图形的面积．学生在学习了几种初等函数，必然会设法计算它们的一些定积分．另外学生在之前还学习一些具有特殊函数性质（奇偶性）的函数，这些函数也是可以作为研究的对象．
【教学目标】：
（1）知识与技能：进一步熟悉运用基本定理求定积分；增强函数知识的横向联系;
（2）过程与方法：理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系；
（3）情感态度与价值观：培养学生的探究精神与创新思想。
【教学重点】：
（1）运用基本定理求定积分
（2）定积分的值与曲边梯形面积之间的关系
【教学难点】：
（1）求函数的一个原函数
（2）理解定积分的值与曲边梯形面积之间的关系
【教学突破点】：
合理利用复合函数的求导法则来求原函数
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、
提
出
问
题
师：上一节课，我们学习微积分基本定理（投影微积分基本定理），并且使用微积分基本定理计算了一些简单的定积分．下面我们看看试试计算这些定积分，看看你能发现什么结论？
生：计算，讨论．
例题1：计算下列定积分：
（1）；（2）
解：（1）∵
∴
（2）∵时，
∴
师（总结）：运用微积分基本定理求定积分的关键是求出满足的函数F(x)．
（课本P60）例题2：计算下列定积分：
（1）；（2）；（3）
解：∵
∴，
，
温故而知新
(2)题主要是学生容易忽视定义域，误为
导致无法计算．
二、
探
索
新
知
生：（可能会回答）
师：这是一个定积分的性质：（其中）．
师：试试利用曲边梯形的面积表述所发现的结论．
生：定积分的值可以是正值、负值或0．
生：（书本P60）(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正值，等于曲边梯形的面积；
（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负值，等于曲边梯形的面积的相反数．
师：根据你们的结论，我们可以进一步补充课本P51页的定积分的几何意义：
一般情况下（如下图），定积分的几何意义是介于x轴、函数的图象以及直线之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号．
师：如果在区间上恒为正，则定积分，为面积值；但是，不能推出在区间上恒为正．
师：由上图我们还可以等出一个结论：
若在区间上不是恒为非负的，则函数与x轴以及直线所围的图形的面积为．例如上图中，
例题3：已知在上连续，若是奇函数，则 ．并证明你的结论。
附证明：（1）∵在上连续,是奇函数，
∴，
设，则有,
∴（C为常数）
令，则有，∴
∴
∴
∴原式得证
师：本题从几何直观上是非常容易理解的，但是要使用微积分基本定理证明，关键是证明奇函数的原函数是偶函数这个性质．
教师利用函数图象引导学生归纳
给出一般结论
着重说明定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：令位于x轴上方的曲边梯形的面积取正值，位于x轴下方的曲边梯形的面积取负值，这样定积分的值就是曲边梯形面积的代数和
显示出数形结合的威力
复合函数的求导法则的逆运用
容易误为
再次强调运用微积分基本定理求定积分的关键是求出原函数F(x)
三：实
践
新
知
练习：若是偶函数，则．
证明：∵在上连续,是偶函数，
∴，
设，则有,
∴（C为常数）
令，则有，∴
∴
∴原式得证
巩固
新知
练习：
P62习题1. 6 B组第1题（1）（3）
P62习题1. 6 B组第2题（1）（3）
总结归纳
定积分的几何意义：
一般情况下，定积分的几何意义是介于x轴、函数的图象以及直线之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号；在x轴下方的面积取负号．
布置作业
P62习题1. 6 B组第1题（2）（4）
P62习题1. 6 B组第2题（2）（4）
P62习题1. 6 B组第3题
设计反思
对于例题3，在证明某些关键的地方要提示，也可以采用老师讲授的方法，再进行模仿练习。如果实在困难，略去严格的数学证明也未尝不可。
（基础题）
的值是（ ）
(A)0 (B) (C)2 (D)4
答案：C
解释：
曲线与坐标轴所围成的面积是（ ）
(A)2 (B)3 (C) (D)4
答案：B
解释：
与x轴所围成图形的面积为
答案：4
解释：
设，求。
解释：
（难题）
求
解释：由图形可知
∴
设为上以为周期的连续函数，证明对任何实数，有
证明：∵为上以为周期的连续函数
∴
设，则有
∴（C为常数）
∴
令，则
令，则
∴
∴
∴原式等证。
课件11张PPT。1.6 微积分基本定理(2)一: 定积分的基本性质 性质1. 性质2. 性质3. 定理 （微积分基本定理）二、牛顿—莱布尼茨公式如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则定积分公式例 1．计算解（1）∵01解例５ 计算作业：Ｐ６２Ｂ组１（２）（３）（４）
２（４）1.6 微积分基本定理
/
[学习目标]
1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．
2．会利用微积分基本定理求函数的定积分．
[知识链接]
1．导数与定积分有怎样的联系？
答 导数与定积分都是微积分学中两个最基本、最重要的概念，运用它们之间的联系，我们可以找出求定积分的方法，求导数与定积分是互为逆运算．
2．在下面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积分别怎样表示？
/
答 根据定积分与曲边梯形的面积的关系知：
图(1)中S＝f(x)dx，
图(2)中S＝－f(x)dx，
图(3)中S＝f(x)dx－f(x)dx.
[预习导引]
1．微积分基本定理
如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．
2．函数f(x)与其一个原函数的关系
(1)若f(x)＝c(c为常数)，则F(x)＝cx；
(2)若f(x)＝xn(n≠－1)，则F(x)＝·xn＋1；
(3)若f(x)＝，则F(x)＝ln_x(x>0)；
(4)若f(x)＝ex，则F(x)＝ex；
(5)若f(x)＝ax，则F(x)＝(a>0且a≠1)；
(6)若f(x)＝sin x，则F(x)＝－cos_x；
(7)若f(x)＝cos x，则F(x)＝sin_x.
/
要点一 求简单函数的定积分
例1 计算下列定积分
(1)3dx； (2)(2x＋3)dx；
(3)－1(4x－x2)dx； (4)(x－1)5dx.
解 (1)因为(3x)′＝3，
所以3dx＝(3x)＝3×2－3×1＝3.
(2)因为(x2＋3x)′＝2x＋3，
所以(2x＋3)dx＝(x2＋3x)
＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10.
(3)因为′＝4x－x2，
所以－1(4x－x2)dx＝
＝－＝.
(4)因为′＝(x－1)5，
所以1(x－1)5dx
＝(x－1)6
＝(2－1)6－(1－1)6
＝.
规律方法 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤：
①求f(x)的一个原函数F(x)；
②计算F(b)－F(a)．
(2)注意事项：
①有时需先化简，再求积分；
②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数c.
跟踪演练1 求下列定积分：
(1)∫0(3x＋sin x)dx；
(2)1dx.
解 (1)∵′＝3x＋sin x，
∴∫0(3x＋sin x)dx＝
＝－＝＋1；
(2)∵(ex－ln x)′＝ex－，
∴1(ex－)dx＝＝(e2－ln 2)－(e－0)
＝e2－e－ln 2.
要点二 求较复杂函数的定积分
例2 求下列定积分：
(1)1(1－)dx； (2)∫02cos2dx；
(3)1(2x＋)dx.
解 (1)∵(1－)＝－x，
又∵′＝－x.
∴1(1－)dx＝
＝－＝－.
(2)∵2cos2＝1＋cos x，(x＋sin x)′＝1＋cos x，
∴原式＝∫0(1＋cos x)dx＝(x＋sin x)＝＋1.
(3)∵′＝2x＋，
∴1(2x＋)dx＝
＝－＝＋2.
规律方法 求较复杂函数的定积分的方法：
(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余弦函数、指数、对数函数与常数的和与差．
(2)确定积分区间，分清积分下限与积分上限．
跟踪演练2 计算下列定积分：
(1)∫0(sin x－sin 2x)dx；
(2)ex(1＋ex)dx.
解 (1)sin x－sin 2x的一个原函数是－cos x＋
cos 2x，所以∫0(sin x－sin 2x)dx
＝
＝－＝－.
(2)∵ex(1＋ex)＝ex＋e2x，
∴′＝ex＋e2x，
∴ex(1＋ex)dx＝dx
＝
＝eln 2＋e2ln 2－e0－e0
＝2＋×4－1－＝.
要点三 定积分的简单应用
例3 已知f(a)＝0(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值．
解 ∵′＝2ax2－a2x，
∴0(2ax2－a2x)dx＝＝
a－a2，
即f(a)＝a－a2＝－＋
＝－2＋，
∴当a＝时，f(a)有最大值.
规律方法 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用．
跟踪演练3 已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，0f(x)dx＝－2，求a、b、c的值．
解 由f(－1)＝2，得a－b＋c＝2. ①
又f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0， ②
而0f(x)dx＝0(ax2＋bx＋c)dx＝
＝a＋b＋c，
∴a＋b＋c＝－2， ③
由①②③式得a＝6，b＝0，c＝－4.
要点四 求分段函数的定积分
例4 计算下列定积分：
(1)若f(x)＝，求∫－1f(x)dx；
(2)0|x2－4|dx.
解 (1)∫－1f(x)dx＝－1x2dx＋∫0(cos x－1)dx，
又∵′＝x2，(sin x－x)′＝cos x－1
∴原式＝x3＋(sin x－x)
＝＋－(sin 0－0)
＝－.
(2)∵|x2－4|＝
又∵′＝x2－4，′＝4－x2，
∴0|x2－4|dx＝0(4－x2)dx＋2(x2－4)dx
＝＋
＝－0＋(9－12)－＝.
规律方法 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式；
(2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数；
(3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．
跟踪演练4 求－3(|2x＋3|＋|3－2x|)dx.
解 ∵|2x＋3|＋|3－2x|
＝
∴－3(|2x＋3|＋|3－2x|)dx
＝∫－－3(－4x)dx＋∫－6dx＋∫34xdx
＝－2x2＋6x＋2x2＝45.
/
1．∫－(1＋cos x)dx等于( )
A．π B．2
C．π－2 D．π＋2
答案 D
解析 ∵(x＋sin x)′＝1＋cos x，
∴－
＝＋sin－＝π＋2.
2．若dx＝3＋ln 2，则a的值是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
答案 D
解析 dx＝2xdx＋dx＝x2|＋
ln x＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，解得a＝2.
3．dx＝________.
答案
解析 dx＝x2dx－xdx
＝＝－＝.
4．已知f(x)＝，计算f(x)dx.
解 f(x)dx＝∫0f(x)dx＋f(x)dx
＝∫0(4x－2π)dx＋cos xdx，
取F1(x)＝2x2－2πx，则F1′(x)＝4x－2π；
取F2(x)＝sin x，则F2′(x)＝cos x.
所以∫0(4x－2π)dx＋cos xdx＝(2x2－2πx)＋
sin x，即f(x)dx＝－π2－1.
/
1．求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.
/
一、基础达标
1．已知物体做变速直线运动的位移函数s＝s(t)，那么下列命题正确的是( )
①它在时间段[a，b]内的位移是s＝s(t)；
②它在某一时刻t＝t0时，瞬时速度是v＝s′(t0)；
③它在时间段[a，b]内的位移是s＝lis′(ξi)；
④它在时间段[a，b]内的位移是s＝s′(t)dt.
A．① B．①②
C．①②④ D．①②③④
答案 D
2．若F′(x)＝x2，则F(x)的解析式不正确的是( )
A．F(x)＝x3
B．F(x)＝x3
C．F(x)＝x3＋1
D．F(x)＝x3＋c(c为常数)
答案 B
解析 若F(x)＝x3，则F′(x)＝3x2，这与F′(x)＝x2不一致，故选B.
3．(ex＋2x)dx等于( )
A．1 B．e－1
C．e D．e＋1
答案 C
解析 (ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e.
4．已知f(x)＝，则－1f(x)dx的值为( )
A. B．
C． D．－
答案 B
解析 －1f(x)dx＝－1x2dx＋1dx＝＋1＝＋1＝，故选B.
5．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
答案
解析 由已知得a＋c＝ax＋c，∴x＝，又∵0≤x0≤1，∴x0＝.
6．(2013·湖南)若x2dx＝9，则常数T的值为________．
答案 3
解析 x2dx＝＝T3＝9，即T3＝27，解得T＝3.
7．已知－1(x3＋ax＋3a－b)dx＝2a＋6且f(t)＝(x3＋ax＋3a－b)dx为偶函数，求a，b的值．
解 ∵f(x)＝x3＋ax为奇函数，
∴－1(x3＋ax)dx＝0，
∴－1(x3＋ax＋3a－b)dx
＝－1(x3＋ax)dx＋－1(3a－b)dx
＝0＋(3a－b)[1－(－1)]＝6a－2b.
∴6a－2b＝2a＋6，即2a－b＝3， ①
又f(t)＝
＝＋＋(3a－b)t为偶函数，
∴3a－b＝0， ②
由①②得a＝－3，b＝－9.
二、能力提升
8．∫0sin2dx等于( )
A. B．－1
C．2 D．
答案 D
解析 ∫0sin2dx＝∫0dx＝0＝，故选D.
9．(2013·江西)若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3
C．S2＜S3＜S1 D． S3＜S2＜S1
答案 B
解析 S1＝x2dx＝x3S2＝＝ln 2＜1，S3＝exdx＝ex|＝e2－e＝e(e－1)＞，所以S2＜S1＜S3，选B.
10．设f(x)＝若f[f(1)]＝1，则a＝________.
答案 1
解析 因为x＝1>0，所以f(1)＝lg 1＝0.又x≤0时，f(x)＝x＋3t2dt＝x＋t3|＝x＋a3，
所以f(0)＝a3.因为f[f(1)]＝1，所以a3＝1，解得a＝1.
11．设f(x)是一次函数，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求f(x)的解析式．
解 ∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则
f(x)dx＝(ax＋b)dx＝axdx＋bdx
＝a＋b＝5，
xf(x)dx＝x(ax＋b)dx＝(ax2)dx＋bxdx
＝a＋b＝.
由，得.即f(x)＝4x＋3.
12．若函数f(x)＝求f(x)dx的值．
解 由积分的性质，知：
f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx
＝x3dx＋dx＋2xdx
＝
＝＋－＋－
＝－＋＋.
三、探究与创新
13．求定积分－4|x＋a|dx.
解 (1)当－a≤－4即a≥4时，
原式＝－4(x＋a)dx＝＝7a－.
(2)当－4＜－a＜3即－3＜a＜4时，
原式＝[－(x＋a)]dx＋－a(x＋a)dx
＝
＝－4a＋8＋
＝a2－a＋.
(3)当－a≥3即a≤－3时，
原式＝－4[－(x＋a)]dx＝＝
－7a＋.
综上，得－4|x＋a|dx＝
【创新设计】2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理课时作业 新人教版选修2-2
明目标、知重点
1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．
2．会利用微积分基本定理求函数的积分．
1．微积分基本定理
如果f(x)是区间a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么?f(x)dx＝F(b)－F(a)．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则
(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则?f(x)dx＝S上．
(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则?f(x)dx＝－S下．
(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则?f(x)dx＝S上－S下，若S上＝S下，则?f(x)dx＝0.
情境导学]
从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算?x3dx的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？
探究点一 微积分基本定理
问题 你能用定义计算?dx吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？
思考1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？
答 由物体的运动规律是y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)，
通过求定积分的几何意义，可得s＝?v(t)dt＝?y′(t)dt，
所以?v(t)dt＝?y′(t)dt＝y(b)－y(a)．其中v(t)＝y′(t)．
小结 (1)一般地，如果f(x)是区间a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么?f(x)dx＝F(b)－F(a)．
这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
(2)运用微积分基本定理求定积分?f(x)dx很方便，其关键是准确写出满足F′(x)＝f(x)的F(x)．
思考2 对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？
答 不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数c，F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x)．
不影响，因为
?f(x)dx＝F(b)＋c]－F(a)＋c]＝F(b)－F(a)
例1 计算下列定积分：
(1)?dx；(2)?(2x－)dx；(3)?(cos x－ex)dx.
解 (1)因为(ln x)′＝，
所以?dx＝ln x|＝ln 2－ln 1＝ln 2.
(2)因为(x2)′＝2x，()′＝－，
所以?(2x－)dx＝?2xdx－?dx
＝x2|＋|
＝(9－1)＋(－1)＝.
(3)?(cos x－ex)dx＝?cos xdx－?exdx
＝sin x|－ex|＝－1.
反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：
(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；
(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
跟踪训练1 若S1＝?x2dx，S2＝?dx，S3＝?exdx，则S1，S2，S3的大小关系为( )
A．S1
C．S2答案 B
解析 S1＝?x2dx＝x3|＝，
S2＝?dx＝ln x|＝ln 2<1，
S3＝?exdx＝ex|＝e2－e＝e(e－1)>.
所以S2探究点二 分段函数的定积分
例2 已知函数f(x)＝先画出函数图象，再求这个函数在0,4]上的定积分．
解 图象如图．
?f(x)dx＝sin xdx＋1dx＋(x－1)dx
＝(－cos x)|＋x|＋(x2－x)|
＝1＋(2－)＋(4－0)＝7－.
反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．
跟踪训练2 设f(x)＝
求?f(x)dx.
解 ?f(x)dx＝?x2dx＋?(cos x－1)dx
＝x3|＋(sin x－x)|＝sin 1－.
探究点三 定积分的应用
例3 计算下列定积分：
?sin xdx，?sin xdx，?sin xdx.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．
解 因为(－cos x)′＝sin x，
所以?sin xdx＝(－cos x)|
＝(－cos π)－(－cos 0)＝2；
?sin xdx＝(－cos x)|
＝(－cos 2π)－(－cos π)＝－2；
?sin xdx＝(－cos x)|
＝(－cos 2π)－(－cos 0)＝0.
反思与感悟 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：
定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x轴上方曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．
跟踪训练3 求曲线y＝sin x与直线x＝－，x＝π，y＝0所围图形的面积(如图所示)．
解 所求面积为
S＝－|sin x|dx
＝－sin xdx＋?sin xdx－sin xdx
＝1＋2＋(1－)＝4－.
1．(1＋cos x)dx等于( )
A．π B．2
C．π－2 D．π＋2
答案 D
解析 ∵(x＋sin x)′＝1＋cos x，
∴(1＋cos x)dx＝(x＋sin x)|
＝＋sin－＝π＋2.
2．若?(2x＋)dx＝3＋ln 2，则a的值是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 D
解析 ?(2x＋)dx＝?2xdx＋?dx
＝x2|＋ln x|＝a2－1＋ln a＝3＋ln 2，
解得a＝2.
3．?(x2－x)dx＝________.
答案
解析 ?(x2－x)dx＝?x2dx－?xdx
＝|－|＝－＝.
4．已知f(x)＝，计算?f(x)dx.
解 ?f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx
＝(4x－2π)dx＋cos xdx，
取F1(x)＝2x2－2πx，则F1′(x)＝4x－2π；
取F2(x)＝sin x，则F2′(x)＝cos x.
所以(4x－2π)dx＋cos xdx＝(2x2－2πx)|
＋sin x|＝－π2－1，即?f(x)dx＝－π2－1.
呈重点、现规律]
1．求定积分的一些常用技巧
(1)对被积函数，要先化简，再求积分．
(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数．
一、基础过关
1．已知物体做变速直线运动的位移函数s＝s(t)，那么下列命题正确的是( )
①它在时间段a，b]内的位移是s＝s(t)|；
②它在某一时刻t＝t0时，瞬时速度是v＝s′(t0)；
③它在时间段a，b]内的位移是s＝s′(ξi)；
④它在时间段a，b]内的位移是s＝?s′(t)dt.
A．① B．①②
C．①②④ D．①②③④
答案 D
2．若F′(x)＝x2，则F(x)的解析式不正确的是( )
A．F(x)＝x3
B．F(x)＝x3
C．F(x)＝x3＋1
D．F(x)＝x3＋c(c为常数)
答案 B
3．?(ex＋2x)dx等于( )
A．1 B．e－1 C．e D．e＋1
答案 C
解析 ?(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)|＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e.
4．已知f(x)＝则?f(x)dx的值为( )
A. B. C. D．－
答案 B
解析 ?f(x)dx＝?x2dx＋?1dx＝|＋1＝＋1＝，故选B.
5．sin2dx等于( )
A. B.－1
C．2 D.
答案 D
解析 sin2dx＝dx＝(x－sin x)|＝，故选D.
6．若?(2x＋k)dx＝2，则k＝________.
答案 1
解析 ∵?(2x＋k)dx＝(x2＋kx)|＝1＋k＝2，
∴k＝1.
二、能力提升
7．设函数f(x)＝ax2＋c (a≠0)，若?f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
答案
解析 ?(ax2＋c)dx＝ax＋c，
∴＝ax，
∵a≠0，∴x＝，又0≤x0≤1，
∴x0＝.
8．设f(x)＝，
若ff(1)]＝1，则a＝________.
答案 1
解析 因为x＝1>0，所以f(1)＝lg 1＝0.又x≤0时，f(x)＝x＋?3t2dt＝x＋t3|＝x＋a3，
所以f(0)＝a3.
因为ff(1)]＝1，所以a3＝1，
解得a＝1.
9．设f(x)是一次函数，且?f(x)dx＝5，?xf(x)dx＝，则f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝4x＋3
解析 ∵f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则
?f(x)dx＝?(ax＋b)dx＝?axdx＋?bdx＝a＋b＝5，?xf(x)dx＝?x(ax＋b)dx＝?(ax2)dx＋?bxdx＝a＋b＝.
由
得
10．计算下列定积分：
(1)?(ex＋)dx；(2)?(1＋)dx；
(3)?(－0.05e－0.05x＋1)dx；
(4)?dx.
解 (1)∵(ex＋ln x)′＝ex＋，
∴?(ex＋)dx＝(ex＋ln x)|＝e2＋ln 2－e.
(2)∵(1＋)＝x＋，(x2＋)′＝x＋，
∴?(1＋)dx＝(x2＋)|＝.
(3)∵(e－0.05x＋1)′＝－0.05e－0.05x＋1，
∴?(－0.05e－0.05x＋1)dx＝e－0.05x＋1|＝1－e.
(4)∵＝－，
(ln x)′＝，(ln(x＋1))′＝，
∴?dx＝ln x|－ln(x＋1)|＝2ln 2－ln 3.
11．若函数f(x)＝求?f(x)dx的值．
解 由定积分的性质，知：
?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx＋?f(x)dx
＝?x3dx＋?dx＋?2xdx
＝|＋x|＋|
＝＋－＋－
＝－＋＋.
12．已知f(a)＝?(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值．
解 ∵(ax3－a2x2)′＝2ax2－a2x，
∴?(2ax2－a2x)dx＝(ax3－a2x2)|
＝a－a2，
即f(a)＝a－a2＝－(a2－a＋)＋
＝－(a－)2＋，
∴当a＝时，f(a)有最大值.
三、探究与拓展
13．求定积分?|x＋a|dx.
解 (1)当－a≤－4即a≥4时，
原式＝?(x＋a)dx＝(＋ax)|＝7a－.
(2)当－4<－a<3即－3原式＝?－(x＋a)]dx＋?(x＋a)dx
＝(－－ax)|＋(＋ax)|
＝－4a＋8＋(＋3a＋)
＝a2－a＋.
(3)当－a≥3即a≤－3时，
原式＝?－(x＋a)]dx＝(－－ax)|
＝－7a＋.
综上，得?|x＋a|dx＝.
课件37张PPT。1．6 微积分基本定理 自主学习 新知突破1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．
2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，
[问题1] f(x)和F(x)有何关系？
[提示1] F′(x)＝f(x)．[问题3] 求F(2)－F(0)的值．
[提示3] F(2)－F(0)＝4＋2＝6.
[问题4] 你得出什么结论？微积分基本定理 f(x) F(b)－F(a)连续 F(b)－F(a)定积分和曲边梯形面积的关系 S上 －S下 S上－S下0合作探究 课堂互动 求简单函数的定积分 求下列定积分：
[思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解． 求简单的定积分关键注意两点：
(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；
(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限． 求复杂函数的定积分[思路点拨] 所求两个定积分的原函数都无法一眼看出，可以先把被积函数化简后，应用定积分的性质转化为易求原函数的定积分再求解． 求复杂函数定积分的方法：
(1)掌握基本初等函数的导数及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数．当原函数不易求解时，可以先把原函数变形．
(2)合理应用定积分的性质，把复杂函数的定积分转化为简单函数的定积分再求．
(3)准确确定积分区间，分清积分的上下限． 定积分的应用 [思路点拨] 定积分的应用体现了定积分与函数的内在联系，可以通过定积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用． 谢谢观看！