§1.7.2 定积分在物理中的应用
【学情分析】：
学生已经学习了一些简单的物理问题，但是还没有接触到使用高等数学中的定积分解决问题（中学物理不会涉及），所以对于学生而言，本节是他们在中学阶段利用微积分理解和解决物理问题的唯一的一节课．学生经过学习，如果教师引导得当，那么学生无论是对数学的微积分的理解，还是对物理问题的看法都会产生质的飞跃（由现象到本质）．另外，学生在进行本节的内容之前，应该复习一些力学的相关知识，例如功，胡克定律，万有引力定律，电场力等等．要注意从定积分的意义入手，说明不少物理量都可以用定积分进行计算（量的累积）．
【教学目标】：
（1）知识与技能：通过举例复习变速直线运动的路程，引导学生解决变力所作的功等一些简单的物理问题．
（2）过程与方法：利用问题的物理意义，有时也要注意借助于定积分的几何意义，用“数形结合”的思想方法解决问题．
（3）情感态度与价值观：体会数学在物理的应用，也即是在客观物质世界的应用。
【教学重点】：
解决变力所作的功等一些简单的物理问题．进一步巩固利用定积分解决实际问题的思路和方法．
【教学难点】：
理解问题的物理意义，并且转化为数学问题，借助于定积分解决．
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、
变速直线运动的路程问题
师：在我们这一节课里，我们一起来讨论几个常见的物理问题，解决这些问题，将要使用到微积分的知识．在这些问题，我们自然很少用到的变量x，而是会使用到不同的字母（代表不同的物理量）作为变量进行研究和计算．
1．变速直线运动的路程
我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即．
简单的说就是路程是速度的积分．
（课本P65）例题3 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示．求汽车在这1min行驶的路程．
师（分析）：我们如果能够知道速度函数，就能应用公式计算．请大家独立思考一下应该如何解决．
生：独立解答后再相互交流．
生：根据O，A，B，C四点坐标，确定OA，AB，BC所在的直线方程，写出分段函数的解析式．
分段函数，分段求定积分．
生（总结）：首先要根据图象写出解析式，然后用变速直线运动的路程公式求出路程．
师：还有其他想法吗？
生：（思考）
生：可以由变速直线运动的路程公式和定积分的几何意义，也就是速度函数图象与x轴的面积即路程，可以直观地得出路程即为图所示的梯形OABC的面积．即
师（点评）：我们从“数形结合”的角度理解定积分的概念并解决问题，这种解法更为简洁．但是一般只适用于容易求出面积的图形．
巡视，具体指导学生．找特别的解法．
可以用提问的方式让学生思考、讨论，使学生进一步从“数形结合”的角度理解定积分的概念并解决问题．
二、
变力作功
2．变力作功
师：我们知道一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动s（单位：m），则力F所作的功为．
现在问题拓展：如果这个力F是一个变力，即物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么如何计算变力所作的功呢？
师：我们知道在求变速直线运动的路程，在下图之中
速度曲线与x轴的所为的面积为路程s，如果把下图的变力F类比为上图的速度v，位移x类比为时间t，那么在下图中，
变力作功的问题完全跟变速直线运动相类似，可以用“四部曲 －分割，近似代替，求和，取极限”，解决变力作功的问题．
即
师：变力做功还有一个常见的例子，就是关于弹簧．我们用压缩一个弹簧，弹簧要恢复原长，就要给我们手掌弹力．弹簧压缩越厉害，弹力越大．胡克定律就是说明这样一个事实：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比，即．
师：其中常数是比例系数，称为弹性系数（倔强系数），恒为正值．不同类型的弹簧有不同的值．例如汽车的底盘的避震系统的弹簧有很大的值，我们平时使用的活动圆珠笔的弹簧只有很小的值．
例题4：如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置处，求克服弹力所作的功．
解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比，即，其中常数是比例系数．
由变力作功公式，得到
答：克服弹力所作的功为．
由学生熟悉的物理背景引入．
恒力作功的问题是学生熟悉的，变力作功的问题是恒力作功问题的自然引申．与求变速直线运动的路程一样．引导学生类比求变速直线运动路程的过程，自己推导出变力作功的公式．进—步体验用定积分解决问题的思想方法．
学生对弹簧的平衡位置和伸长(压缩)量、弹性限度、弹性系数、胡克定律需要有正确的认识,教师在需要的时候要恰当补充提示．
三、
实践
新知
练习：1、由物理学知道，质量分别为相距为的两个质点之间的万有引力的大小为，其中为引力常数，引力的方向沿着两质点的连线方向．那么，把质量分别为的两个物体从相距拉近到相距，万有引力所作的功是多少？
解：依题意得，
为练习A组2题，作业B组第4题作一个铺垫
四、
巩固
新知
P67练习1，2
P67习题A组2
五、
总结归纳
作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即．
如果这个力F是一个变力，即物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功．
在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比，即，其中常数是比例系数．
六、
布置作业
P67习题A组3，4，5，6
P67习题B组4
B组题4平行班可以作为选做
（简单题）
如果1N能拉长弹簧1cm，为了弹簧拉长6cm，所耗费的功为（ ）
(A)0.18J (B)0.26J (C)0.12J (D)0.28J
答案：A
解释：设，当N时，，则．
将一弹簧压缩x厘米，需要4x牛顿的力，将它从自然长度压缩5厘米，作的功为
答案：0.5焦耳
解释：由牛顿/米，∴，∴（焦耳）
3、如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm，则力所做的功为 （ ）
A．0.28J B．0.12J C．0.26J D．0.18J
答案：D
解释：设，当N时，，则。
4、物体作变速直线运动的速度为v(t)，当t=0时，物体所在的位置为，则在秒末时它所在的位置为（ ）
A． B．
C． D．
答案：B
解释：设秒末时它所在的位置为S，又在时间段的位移 ，又，∴。
（难题）
5、汽车以每小时32公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以匀减速米/秒2刹车，则从开始刹车到停车汽车走了约( )
A．19.75米 B．20.76米 C．22.80米 D．24.76米
答案：A
解释：已知米/秒，∵，∴，停车时，∴，∴
6、物体A以速度（米/秒）在一直线上运动，同时物体B也以速度r=10t（米/秒）在同一直线上与A同方向运动，问多少时间后A比B多运动5米，此时，A、B走的距离各是多少？
解析 依题意物体A、B均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解。
解 A从开始到t秒所走的路程为：
。
B从开始到t秒所走的路程为：。
由题意：，即
解得t=5（秒）
此时：（米），
（米）。
答：5秒后A比B多运动5米，此时，A、B走的距离分别是130米和125米。
课件9张PPT。1.7.2定积分在物理中的应用 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时
间区间[a, b]内运动的距离s为一、变速直线运动的路程二、物体所做的功1) 恒力2）变力所做的功 物体在变力Ｆ（x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与Ｆ（x）相同的方向从x=a移动到x=b（a一、教学目标：
了解定积分的几何意义及微积分的基本定理.
2．掌握利用定积分求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题。
二、教学重点与难点：
定积分的概念及几何意义
定积分的基本性质及运算的应用
三教学过程：
（一）练习
1．曲线y = x2 + 2x直线x = – 1，x = 1及x轴所围成图形的面积为（ B ）．
A． B．2 C． D．
2．曲线y = cos x与两个坐标轴所围成图形的面积为（ D ）
A．4 B．2 C． D．3
3．求抛物线y2 = x与x – 2y – 3 = 0所围成的图形的面积．
解：如图：由得A（1，– 1），B（9，3）．
选择x作积分变量，则所求面积为
=
=．
（二）新课
变速直线运动的路程
1．物本做变速度直线运动经过的路程s，等于其速度函数v = v (t) (v (t)≥0 )在时间区间[a，b]上的 定积分 ，即．
2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t) = – 3sin t，则 t1 = 3至t2 = 5时间内的位移是
．（只列式子）
3．变速直线运动的物体的速度v (t) = 5 – t2，初始位置v (0) = 1，前2s所走过的路程为 ．
例1．教材P58面例3。
练习：P59面1。
变力作功
1．如果物体沿恒力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的功W = F（b—a）．
2．如果物体沿与变力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的
功W =．
例2．教材例4。
练习：
1．教材P59面练习2
2．一物体在力F (x) =（单位：N）的作用下沿与力F(x)做功为（ B ）
A．44J B．46J C．48J D．50J
3．证明：把质量为m（单位kg）的物体从地球的表面升高h（单位：m）处所做的功W = G·，其中G是地球引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径．
证明：根据万有引力定律，知道对于两个距离为r，质量分别为m1、m2的质点，它们之间的引力f为f = G·，其中G为引力常数．
则当质量为m物体距离地面高度为x（0≤x≤h）时，地心对它有引力f (x) = G·故该物体从地面升到h处所做的功为
dx =·dx = GMmd (k + 1) = GMm
=．
（三）、作业《习案》作业二十
1.7.2 定积分在物理中的应用
[学习目标]
1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．
2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．
[知识链接]
下列判断正确的是________．
(1)路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念；
(2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子v(t)dt；
(3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子v(t)dt.
答案 (1)(3)
解析 (1)显然正确．对于(2)，(3)两个判断，由于当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用v(t)dt求解；当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用v(t)dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为
－v(t)dt.所以(2)错(3)正确．
[预习导引]
1．在变速直线运动中求路程、位移
路程是位移的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b
所经过的路程s和位移s′分别为：
(1)若v(t)≥0，则s＝v(t)dt，s′＝v(t)dt.
(2)若v(t)≤0，则s＝－v(t)dt，s′＝v(t)dt.
(3)若在区间[a，c]上，v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)<0，
则s＝v(t)dt－v(t)dt；s′＝v(t)dt.
2．定积分在物理中的应用
(1)做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝v(t)dt.
(2)一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位：m)，则力F所作的功为W＝Fs；而若是变力所做的功W，等于其力函数F(x)在位移区间[a，b]上的定积分，即W＝F(x)dx.
要点一 求变速直线运动的路程、位移
例1 有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求
(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；
(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．
解 (1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，当t>4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时，点P离开原点的路程
s1＝(8t－2t2)dt－(8t－2t2)dt
＝－＝.
当t＝6时，点P的位移为
(8t－2t2)dt＝＝0.
(2)依题意(8t－2t2)dt＝0，
即4t2－t3＝0，
解得t＝0或t＝6，
t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，
t＝6是所求的值．
规律方法 (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．
(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．
跟踪演练1 变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2，初始位置为x0＝1，求它在前2秒内所走的路程及2秒末所在的位置．
解 当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)<0.
所以前2秒钟内所走的路程
s＝v(t)dt＋[－v(t)]dt
＝(1－t2)dt＋(t2－1)dt
＝＋＝2.
2秒末所在的位置
x1＝x0＋v(t)dt＝1＋(1－t2)dt
＝1＋
＝1＋2－＝.
它在前2秒内所走的路程为2，
2秒末所在的位置为x1＝.
要点二 求变力所作的功
例2 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推到b处，计算在移动过程中，气体压力所做的功．
解 由物理学知识易得，压强p与体积V的乘积是常数k，即pV＝k.
∵V＝xS(x指活塞与底的距离)，∴p＝＝.
∴作用在活塞上的力F＝p·S＝·S＝.
∴所做的功W＝dx＝k·ln x＝kln.
规律方法 解决变力作功注意以下两个方面：
(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步．
(2)根据变力作功的公式将其转化为求定积分的问题．
跟踪演练2 设有一长为25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧伸长到40 cm所做的功．
解 设以x表示弹簧伸长的厘米数，F(x)表示加在弹簧上的力，则F(x)＝kx.
依题意，使弹簧伸长5 cm，需力100 N，即100＝5k，所以k＝20，于是F(x)＝20x.
所以弹簧伸长到40 cm所做的功即计算由x＝0到x＝15所做的功：W＝∫20xdx＝10x2＝2 250(N·cm)．
1．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为( )
A.g B．g
C．g D．2g
答案 C
解析 h＝gtdt＝gt2＝g.
2．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)＝27－0.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车 ( )
A．405 B．540
C．810 D．945
答案 A
解析 停车时v(t)＝0，由27－0.9t＝0，得t＝30，
∴s＝∫v(t)dt＝∫(27－0.9t)dt＝(27t－0.45t2)＝405.
3．(2013·湖北)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
答案 C
解析 由v(t)＝7－3t＋＝0，解得t＝4(t＝－舍去)，所以所求的路程为dt＝＝4＋25ln 5，选C.
4．一个弹簧压缩x cm可产生4x N的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm，求弹簧克服弹力所做的功．
解 设F(x)＝kx，因为弹簧压缩x cm可产生4x N的力，∴k＝4.
∴弹簧克服弹力所做的功为
W＝4xdx＝4×＝50(N·cm)＝0.5(J)．
1．已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．解这类问题需注意三点：(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．
2．利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间．求变力做功时，要注意单位，F(x)单位：N，x单位：m.
一、基础达标
1．一物体沿直线以v＝2t＋1 (t的单位：s，v的单位：m/s)的速度运动，则该物体在1～2 s间行进的路程为( )
A．1 m B．2 m
C．3 m D．4 m
答案 D
解析 s＝＝4(m)．
2．一物体从A处向B处运动，速度为1.4t m/s(t为运动的时间)，到B处时的速度为35 m/s，则AB间的距离为( )
A．120 m B．437.5 m
C．360 m D．480 m
答案 B
解析 从A处到B处所用时间为25 s．所以|AB|＝＝437.5 (m)．
3．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t s时速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )
A. m B． m
C． m D． m
答案 A
解析 v＝0时物体达到最高，
此时40－10t2＝0，则t＝2 s.
又∵v0＝40 m/s，∴t0＝0 s.
∴h＝(40－10t2)dt＝＝(m)．
4．如果1 N的力使弹簧伸长1 cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为( )
A．0.5 J B．1 J
C．50 J D．100 J
答案 A
解析 由于弹簧所受的拉力F(x)与伸长量x成正比，依题意，得F(x)＝x，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为W＝∫F(x)dx＝∫xdx＝＝50 (N·cm)＝0.5 (J)．
5．汽车以每小时32 km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a＝－1.8 m/s2刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为________．
答案 21.95 m
解析 t＝0时，v0＝32 km/h＝m/s＝ m/s.刹车后减速行驶，v(t)＝v0＋at＝－1.8t.停止时，v(t)＝0，则－1.8t＝0，得t＝ s，所以汽车所走的距离s＝∫0v(t)dt＝0≈21.95(m)．
6．有一横截面的面积为4 cm2的水管控制往外流水，打开水管后t秒末的流速为v(t)＝6t－t2(单位：cm/s)(0≤t≤6)．则t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为________．
答案 144 cm3
解析 由题意可得t＝0到t＝6这段时间内流出的水量V＝4(6t－t2)dt＝4＝144 (cm3)．故t＝0到t＝6这段时间内流出的水量为144 cm3.
7．一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，求该物体在 s～6 s间的运动路程．
解 由题意，得
v(t)＝由变速直线运动的路程公式，可得：
s＝v(t)dt＝2tdt＋2dt＋dt
＝t2＋＝(m)．
所以该物体在s～6 s间的运动路程是 m.
二、能力提升
8．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为( )
A．44 J B．46 J
C．48 J D．50 J
答案 B
解析 W＝F(x)dx＝10dx＋(3x＋4)dx＝
10x＝46(J)．
9．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是( )
A．1＋e B．e
C． D．e－1
答案 B
解析 W＝F(x)dx＝＝(1＋e)－1＝e.
10．如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m处，则克服弹簧力所做的功为________．
答案 kl2(J)
解析 在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F(x)＝kx，其中k为比例系数．由变力做功公式得W＝＝kl2(J)．
11．一物体按规律x＝bt3作直线运动，其中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所做的功．
解 物体的速度v＝x′(t)＝(bt3)′＝3bt2，媒质的阻力F阻＝kv2＝k·(3bt2)2＝9kb2t4(其中k为比例常数，k>0)．当x＝0时，t＝0；当x＝a时，t＝.
所以阻力所做的功为
W阻＝F阻dx＝∫0kv2·vdt
＝∫09kb2t4·3bt2dt＝∫027kb3t6dt
＝0＝kb·a.
12．物体A以速度vA＝3t2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B也以速度vB＝10t(米/秒)在同一直线上与物体A同方向运动，问多长时间物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离各是多少？
解 依题意知物体A，B均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解．设a秒后物体A比B多运动5米，则A从开始到a秒末所走的路程为
sA＝vAdt＝(3t2＋1)dt＝a3＋a；
B从开始到a秒末所走的路程为
sB＝vBdt＝10tdt＝5a2.
由题意得sA＝sB＋5，即a3＋a＝5a2＋5，得a＝5.
此时sA＝53＋5＝130(米)，sB＝5×52＝125(米)．
故5秒后物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离分别是130米和125米．
三、探究与创新
13．A、B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段的速度为1.2t m/s，到C点的速度为24 m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(24－1.2t) m/s，在B站恰好停车，试求：
(1)A，C间的距离；
(2)B，D间的距离．
解 (1)设A到C的时间为t1 s，则1.2 t1＝24，解得t1＝20，则AC＝∫1.2tdt＝0.6t2，
即A，C间的距离为240 m.
(2)设D到B的时间为t2 s，则24－1.2t2＝0，
解得t2＝20，则
BD＝∫(24－1.2t)dt＝(24t－0.6t2)＝240(m)．
即B、D间的距离为240 m．
1.7.2 定积分在物理中的应用
明目标、知重点
1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题．
2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值．
变速直
线运动
做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间a，b]上的定积分，即?v(t)dt.
变力
做功
如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a探究点一 变速直线运动的路程
思考 变速直线运动的路程和位移相同吗？
答 不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念：(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用v(t)dt求解；
(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用v(t)dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－v(t)dt.
例1 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示．求汽车在这1 min行驶的路程．
解 由速度－时间曲线可知：
v(t)＝
因此汽车在这1 min行驶的路程是：
s＝?3tdt＋?30dt＋?(－1.5t＋90)dt
＝t2|＋30t|＋(－t2＋90t)|
＝1 350 (m)．
答 汽车在这1 min行驶的路程是1 350 m.
反思与感悟 (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．
(2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误．
跟踪训练1 一质点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v(t)＝t2－4t＋3(m/s)运动．求：
(1)在时刻t＝4时，该点的位置；
(2)在时刻t＝4时，该点运动的路程．
解 (1)由?(t2－4t＋3)dt＝(－2t2＋3t)|
＝知，
在时刻t＝4时，该质点离出发点m.
(2)由v(t)＝t2－4t＋3>0，
得t∈(0,1)∪(3,4)．
这说明t∈(1,3)时质点运动方向与t∈(0,1)∪(3,4)时运动方向相反．
故s＝?|t2－4t＋3|dt
＝?(t2－4t＋3)dt＋?(4t－t2－3)dt＋?(t2－4t＋3)dt＝4.
即在时刻t＝4时，该质点运动的路程为4 m.
探究点二 变力做功问题
思考 恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决呢？
答 与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F(x)作用下运动，沿与F相同的方向从x＝a到x＝b(a例2 如图所示，一物体沿斜面在拉力F的作用下由A经B、C运动到D，其中AB＝50 m，BC＝40 m，CD＝30 m，变力F＝(单位：N)，在AB段运动时F与运动方向成30°角，在BC段运动时F与运动方向成45°角，在CD段运动时F与运动方向相同，求物体由A运动到D所做的功．(≈1.732，≈1.414，精确到1 J)
解 在AB段运动时F在运动方向上的分力F1＝Fcos 30°，在BC段运动时F在运动方向上的分力F2＝Fcos 45°.
由变力做功公式得：
W＝?cos 30°dx＋?cos 45°dx＋600
＝|＋|＋600
＝＋450＋600≈1 723 (J).
所以物体由A运动到D变力F所做的功为1 723 J.
反思与感悟 解决变力做功注意以下两个方面：
(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步．
(2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题．
跟踪训练2 设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．
解 设x表示弹簧伸长的厘米，F(x)表示加在弹簧上的力，
设F(x)＝kx，依题意得x＝5时F(x)＝100，
∴k＝20，
∴F(x)＝20x.
∴弹簧由25 cm伸长到40 cm即x＝0到x＝15所做的功
W＝?20xdx＝10x2|＝2 250(N·cm)＝22.5(J)．
答 使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功为22.5 J.
1．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为( )
A.g B.g
C.g D．2g
答案 C
解析 h＝?gtdt＝gt2|＝g.
2．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)＝27－0.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车( )
A．405 B．540
C．810 D．945
答案 A
解析 停车时v(t)＝0，由27－0.9t＝0，
得t＝30，
∴s＝?v(t)dt＝?(27－0.9t)dt
＝(27t－0.45t2)|＝405.
3．一个弹簧压缩x cm可产生4x N的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短5 cm，求弹簧克服弹力所做的功．
解 设F(x)＝kx，因为弹簧压缩x cm可产生4x N的力，
∴k＝4.
∴弹簧克服弹力所做的功为
W＝4?xdx＝4×(x2)|＝50(N·cm)＝0.5(J)．
呈重点、现规律]
1．已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．解这类问题需注意三点：(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．
2．利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间．求变力做功时，要注意单位，F(x)单位：N，x单位：m.
一、基础过关
1．一物体沿直线以v＝2t＋1 (t的单位：s，v的单位：m/s)的速度运动，则该物体在1～2 s间行进的路程为( )
A．1 m B．2 m
C．3 m D．4 m
答案 D
解析 s＝?(2t＋1)dt＝(t2＋t)|＝4(m)．
2．一物体从A处向B处运动，速度为1.4t m/s(t为运动的时间)，到B处时的速度为35 m/s，则AB间的距离为( )
A．120 m B．437.5 m
C．360 m D．480 m
答案 B
解析 从A处到B处所用时间为25 s.
所以|AB|＝?1.4tdt＝0.7t2|＝437.5 (m)．
3．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t s时速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )
A. m B. m
C. m D. m
答案 A
解析 v＝0时物体达到最高，
此时40－10t2＝0，则t＝2 s.
又∵v0＝40 m/s，∴t0＝0 s.
∴h＝?(40－10t2)dt＝(40t－t3)|
＝(m)．
4．如果1 N的力使弹簧伸长1 cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为( )
A．0.5 J B．1 J
C．50 J D．100 J
答案 A
解析 由于弹簧所受的拉力F(x)与伸长量x成正比，依题意，得F(x)＝x，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为W＝?F(x)dx＝?xdx＝x2|＝50 (N·cm)＝0.5 (J)．
5．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与F(x)相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为( )
A．44 J B．46 J
C．48 J D．50 J
答案 B
解析 W＝?F(x)dx＝?10dx＋?(3x＋4)dx
＝10x|＋(x2＋4x)|＝46(J)．
6．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是( )
A．1＋e B．e
C. D．e－1
答案 B
解析 W＝?F(x)dx＝?(1＋ex)dx＝(x＋ex)|
＝(1＋e)－1＝e.
二、能力提升
7．若1 N的力能使弹簧伸长2 cm，则使弹簧伸长12 cm时克服弹力所做的功为________．
答案 0.36 J
解析 弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设F＝kx，求得k＝50，∴F(x)＝50x.
∴W＝?50xdx＝25x2|＝0.36 (J)．
8．汽车以每小时32 km的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a＝－1.8 m/s2刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为________．(保留小数点后两位)
答案 21.95 m
解析 t＝0时，v0＝32 km/h＝m/s＝ m/s.刹车后减速行驶，v(t)＝v0＋at＝－1.8 t．停止时，v(t)＝0，则－1.8 t＝0，得t＝ s，
所以汽车所走的路程
s＝v(t)dt＝|≈21.95(m)．
9．把一个带＋q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处，形成一个电场，已知在该电场中，距离坐标原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式F＝k(其中k为常数)确定．在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r轴的方向从r＝a处移动到r＝b(a答案 k－k
解析 W＝?kdr＝－k|
＝k－k.
10.如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m处，则克服弹簧力所做的功为________．
答案 kl2 J
解析 在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即F(x)＝kx，其中k为比例系数．由变力做功公式得W＝?kxdx＝kx2|＝kl2(J)．
11．一物体按规律x＝bt3作直线运动，其中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x＝0运动到x＝a时，阻力所做的功．
解 物体的速度v＝x′(t)＝(bt3)′＝3bt2，媒质的阻力F阻＝kv2＝k·(3bt2)2＝9kb2t4(其中k为比例常数，k>0)．当x＝0时，t＝0；
当x＝a时，t＝().
所以阻力所做的功为
W阻＝?F阻dx＝kv2·vdt
＝9kb2t4·3bt2dt＝27kb3t6dt
＝kb3t7|＝k·.
故物体由x＝0运动到x＝a时，
阻力所做的功为k·.
12．物体A以速度vA＝3t2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体B也以速度vB＝10t(米/秒)在同一直线上与物体A同方向运动，问多长时间物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离各是多少？
解 依题意知物体A，B均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解．
设a秒后物体A比B多运动5米，则
A从开始到a秒末所走的路程为
sA＝?vAdt＝?(3t2＋1)dt＝a3＋a；
B从开始到a秒末所走的路程为
sB＝?vBdt＝?10tdt＝5a2.
由题意得sA＝sB＋5，即a3＋a＝5a2＋5，得a＝5.
此时sA＝53＋5＝130(米)，sB＝5×52＝125(米)．
故5秒后物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离分别是130米和125米．
三、探究与拓展
13．有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求
(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P离开原点的路程和位移；
(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．
解 (1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，
当t>4时，P点向x轴负方向运动．
故t＝6时，点P离开原点的路程
s1＝?(8t－2t2)dt－?(8t－2t2)dt
＝(4t2－t3)|－(4t2－t3)|＝.
当t＝6时，点P的位移为?(8t－2t2)dt
＝(4t2－t3)|＝0.
(2)依题意知?(8t－2t2)dt＝0，
即4t2－t3＝0，
解得t＝0或t＝6，
t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是所求的值．
所以，t＝6.
课件29张PPT。1.7.2 定积分在物理中的应用自主学习 新知突破1．通过具体实例了解定积分在物理中的应用．
2．会求变速直线运动的路程、位移和变力做功问题．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，
[问题] 你能求出电视塔的高度吗？做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝_______.变速直线运动的路程 变力作功利用定积分求变速直线运动的路程与求变力所做功的区别
利用定积分求变速直线运动的路程，其积分变量是时间，被积函数是速度对时间的函数；
利用定积分求变力所做的功，其积分变量是位移，被积函数是力对位移的函数．2．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是( )
A．1＋e B．e
C． D．e－1
答案： B3．如果用1 N的力能拉长弹簧1 cm，那么为了将弹簧拉长6 cm需作功________J.
答案： 0.184．一动点P从原点出发，沿x轴运动，其速度v(t)＝2－t(速度的正方向与x轴的正方向一致)，求t＝3时，动点P离开原点的路程．合作探究 课堂互动 求变速直线运动的路程、位移 有一动点P沿x轴运动，在时间t的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求：
(1)P从原点出发，当t＝3时，离开原点的路程；
(2)当t＝5时，P点的位置；
(3)从t＝0到t＝5时，点P经过的路程；
(4)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．
[思路点拨] 首先要确定的是所要求的是路程还是位移，然后用相应的方法求解． 用定积分求变速直线运动的路程：
(1)把物理问题转化为数学问题是关键：积分变量是时间，被积函数是速度对时间的函数，积分区间是运动的起止时间点．
(2)路程是位移的绝对值之和，在求路程时，要注意先判断速度在时间段内是否恒正，否则，要分段求解．
特别提醒：忽视速度的正负判断，是导致此类问题出错的主要原因． 1．A，B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车开出t s后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点速度达24 m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，速度为(24－1.2t) m/s，在B站恰好停车．试求：
(1)A，C间的距离；
(2)B，D间的距离；
(3)电车从A站到B站所需的时间．变力作功
[思路点拨] 物体由A到B，再由B到C，再由C到D运动，物体运动的方向与力F的方向一致吗？若不一致，那在其运动方向上的力如何表示？
解析： 在AB段运动时F在运动方向上的分力F1＝Fcos 30°.在BC段运动时F在运动方向上的分力F2＝Fcos 45°.2．设有一长25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25 cm伸长到40 cm所做的功．◎有一动点P，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2.求t＝0到t＝5时，点P经过的路程．
【错因】 t＝0到t＝5时，点P经过的路程与点P的位置不同．当t>4时，点P向x轴负方向运动．谢谢观看！
