【教案】基本初等函数之五种类型

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课 题 基本初等函数之常考类型
教学目标 学会基本初等函数常考的五种类型
教学过程
教师活动 学生活动
类型一：分段函数 一、前测回顾 1．已知函数f(x)＝，①若f(x)≥2，则x的取值范围为 ．②f(x)在区间[－1，3]的值域为 ． 答案：①[－，＋∞)；②[2，4]． 2．设函数f(x)＝，若f(f(b))＝－2，求实数b的值． 答案：b＝或－2． 二、方法联想 方法1：分类讨论，按分段区间进行分类讨论，最后汇总(求并集)； 方法2：图象法，画出分段函数的图象，根据图象探讨不等式解集及值域问题． 三、方法应用 例1 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝其中a∈R.若f ＝f ，则f(5a)的值是________. 解析　由已知f ＝f ＝f ＝－＋a， f ＝f ＝f ＝＝. 又∵f ＝f ， 则－＋a＝，∴a＝， ∴f(5a)＝f(3)＝f(3－4)＝f(－1)＝－1＋＝－. 答案　－ 例2 已知函数f (x)＝若关于x的方程| f (x)|－ax－5＝0恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a的取值集合为________. 解析　关于x的方程| f (x)|－ax－5＝0有三个不同的实数解，即函数y＝| f (x)|与函数y＝ax＋5(过定点(0，5))的图象有三个不同的交点.作出函数图象如图所示， ①当a>0时，y＝ax＋5与y＝4－x2(x<0)相切，即x2＋ax＋1＝0，由Δ＝a2－4＝0，a>0，得a＝2，当a＝2时，符合题意； 当y＝ax＋5经过点(－2，0)时，a＝也符合题意； ②当a<0时，y＝ax＋5与y＝5－ex(x>0)相切，设切点(x0，5－ex0)，x0>0，则切线方程为y－(5－ex0)＝－ex0 (x－x0)，代入点(0，5)，解得x0＝1，此时a＝－e，符合题意； 当y＝ax＋5经过(ln 5，0)时，a＝－，也符合题意； ③当a＝0时，两函数的图象有两个交点，不符合题意. 综上所述，满足条件的所有实数a的取值集合为 . 答案　 例3设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，f(x)＝其中集合D＝，则方程f(x)－lg x＝0的解的个数是________. 解析　由于f(x)∈[0，1)，则只需考虑1≤x<10的情况，在此范围内，x∈Q，且x?Z时，设x＝，p，q∈N*，p≥2且p，q互质.若lg x∈Q，则由lg x∈(0，1)，可设lg x＝，m，n∈N*，m≥2且m，n互质.因此10＝，10n＝，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾.因此lg x?Q，因此lg x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只考虑lg x与每个周期x?D部分交点，画出函数草图如图. 图中交点除(1，0)外，其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x?D部分，且x＝1处(lg x)′＝，因<1，则在x＝1附近仅有一个交点(1，0)，因此方程解的个数为8个. 答案　8 四、归类巩固 *1．已知f(x)＝，则f[f(－1)]＝ ． 答案：0．(考查分段函数求值问题) *2．设函数f(x)＝，则f(－2)＋f(log212)＝ ． 答案：9 **3．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是________． 答案：[0，＋∞) **4．已知函数f(x)＝，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是 ． 答案：[－2，0] ***5．已知函数f(x)＝，若关于的方程f(x)－bf(x)＋c＝0(b，c∈R)有8个不同的实数根，则b＋c的取值范围是　　　　． 答案：(0，3) ***6已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝，则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为________． 答案：4 类型二：求函数的解析式 一、前测回顾 1．已知f[f(x)]＝9＋4x，且f(x)是一次函数，则f(x)＝ ．若f(x2＋1)＝x2，则f(x)＝ ． 答案：①2x＋3或－2x－9；②．x－1(x≥1) 2．已知函数满足2f(x)＋f()＝x，则f(2)＝ ；f(x)＝ ． 答案：，x－ 二、方法联想 方法1：待定系数法； 方法2：换元法、拼凑法； 方法3：函数方程法． 三、方法应用 例1 (1)已知f＝2x－1，则f(x)＝________． (2)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋1)－f(x－1)＝2x＋1，则f(x)＝________． (3)已知f＝x2＋，则f(x)＝________． (4)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＋2f(－x)＝x2－x，则f(x)＝________． 略解(1)用换元法，设t＝1－，求出f(t)，即可求出f(x)； (2)用待定系数法，设f(x)＝ax＋b(a≠0)； (3)用配凑法，将x2＋配成的形式； (4)用消去法，以－x替换已知条件中的x，得到另一个方程，解方程组可得f(x)的解析式． 例2图中的图像所表示的函数解析式为___________． 略解：由图可知，当0≤x≤1时， y＝；当1－1时，f(x)在区间[t，t＋1]上单调递增， 故f(x)min＝f(t)＝t2＋2t＝8，解得t＝2或t＝－4(舍去)． 综上可知，t的值为－5或2. 例2 已知函数f(x)＝在R上单调递减，则实数a的取值范围是__________． 解：当函数f(x)在(－∞，1]上单调递减时，－≥1，即a≤－2； 当函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减时，a<0且－≤1，即a≤－. 易知f(x)在R上连续，故a≤－2. 四、归类巩固 *1．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c图象的顶点为(－1，10)，且方程ax2＋bx＋c＝0的两根的平方和为12， 则f(x)的解析式是____________． 答案：f(x)＝－2x2－4x＋8． *2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]．若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________． 答案：1． **3．若定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f(1＋x)＝f(1－x)，直线g(x)＝4(x－1)被f(x)的图像截得的线段长为4，则函数f(x)的解析式为__________． 解析：设f(x)＝a(x－1)2(a＞0)． 由得ax2－(4＋2a)x＋a＋4＝0． 由韦达定理，得x1＋x2＝，x1·x2＝． 由弦长公式，得 4＝ ． ∴a＝1．∴f(x)＝(x－1)2． 答案：f(x)＝(x－1)2． **4．已知函数f(x)＝若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是________． 答案：(－2，1) ． **5．方程mx2－(m－1) x＋1＝0在区间(0，1)内有两个不同的实数根，则m的取值范围为__________． 解析：令f(x)＝mx2－(m－1)x＋1， 则f(x)的图像恒过定点(0，1)，由题意可得解得m＞3＋2． 答案：m＞3＋2． ***6．函数f(x)＝2x2－2ax＋3在区间[－1，1]上的最小值记为g(a)，求g(a)的函数表达式为___________． 答案：g(a)＝． 类型四：指数函数与对数函数 一、前测回顾 1．已知2≤)，则函数y＝()的值域为 ． 答案：[，81] ． 2．设loga＜2，则实数a的取值范围为 ． 答案：(0，)∪(1，＋∞) ． 3．已知函数y＝log(x2－2x＋2)，则它的值域为 ． 答案：(－∞，0]． 二、方法联想 （1）指(对)数方程与不等式问题： 方法1：转化为同底的指(对)数，利用指(对)数函数的单调性化简方程或不等式，与对数有关问题要注意定义域及转化过程中的等价性． 方法2：利用换元法，转化为代数方程或不等式． 变式：解不等式lg2x－lgx2－3≥0． (答案：0＜x≤或x≥1000，考查利用换元法解指(对)不等式)． （2）与指(对)数函数有关的值域问题， 方法1：复合函数法，转化为利用指(对)数函数的单调性； 方法2：换元法，转化为基本初等函数的复合函数来求． （3）指数首先要注意值域，对数首先要注意定义域，其次这两个函数都要考虑单调性． 三、方法应用 例1设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是________． [解析] 当a<1时，f(a)＝3a－1，若f(f(a))＝2f(a)，则f(a)≥1，即3a－1≥1，∴≤a<1； 当a≥1时，f(a)＝2a≥2，此时f(f(a))＝2f(a)． 综上所述，a≥. 例2已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________ . [答案] － [解析] 若00，a≠1)在区间[－1，0]上为减函数，即解得 若a>1，则f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)在区间[－1，0]上为增函数，即无解． ∴a＋b＝－2＝－. 例3已知函数f(x)＝|loga|x－1||(a>1)．若x12.由f(x1)＝f(x2)，可得|loga|x1－1||＝|loga|x2－1||，即|loga(1－x1)|＝|loga(1－x2)|，此时1－x1>1，0<1－x2<1，无论底数a为何值，loga(1－x1)与loga(1－x2)定异号，所以－loga(1－x1)＝loga(1－x2)，即(1－x1)(1－x2)＝1，所以x1＋x2＝x1x2，即＋＝1.同理可得＋＝1.所以＋＋＋＝2. 例4设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是_____________． 分别研究函数g(x)＝ex(2x－1)，y＝ax－a.问题等价于存在唯一的整数x0，使得函数g(x)的图像在函数y＝ax－a的图像下方．分别画出上述两个函数的图像，通过对参数a的不同取值得出符合要求的a的取值范围． 　[解析] 令g(x)＝ex(2x－1)，则g′(x)＝ex(2x＋1)，由g′(x)>0得x>－，由g′(x)<0得x<－，故函数g(x)在上单调递减，在上单调递增．又函数g(x)在x<时，g(x)<0，在x>时，g(x)>0，所以其大致图像如图所示． 直线y＝ax－a过点(1，0)． 若a≤0，则f(x)<0的整数解有无穷多个，因此只能a>0. 结合函数图像可知，存在唯一的整数x0，使得f(x0)<0，即存在唯一的整数x0，使得点(x0，ax0－a)在点(x0，g(x0))的上方，则x0只能是0，故实数a应满足即解得≤a<1. 故实数a的取值范围是. 四、归类巩固 *1．若点(a，9)在函数y＝3x的图像上，则tan的值为_______． 答案：． *2．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的大小关系为__________． 答案：m＜n． **3．函数y＝ax－2－1(a＞0，a≠1)的图像恒过定点__________． 答案：(2，0) ． **4．解不等式lg2x－lgx2－3≥0的解集是_________． 答案：0＜x≤或x≥1000． **5．已知函数f(x)＝ax＋logax(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为__________． 解析：由题可知函数f(x)＝ax＋logax在[1，2]上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a＋loga1＋a2＋loga2＝loga2＋6，整理可得a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)，故a＝2． 答案：a＝2． ***6．已知函数f(x)＝log2(a－2x)＋x－2，若f(x)＝0有解，则实数a的取值范围是____________． 解析：方法一：f(x)＝log2(a－2x)＋x－2＝0，得a－2x＝22－x，即a－2x＝，令t＝2x(t＞0)，则t2－at＋4＝0在t∈(0，＋∞)上有解，令g(t)＝t2－at＋4，g(0)＝4＞0，故满足得a≥4． 方法二：f(x)＝log2(a－2x)＋x－2＝0，得a－2x＝22－x，a＝2x＋≥4． 答案：a≥4． 类型五：函数的零点问题 一、前测回顾 1．函数f(x)＝lgx－sinx零点的个数为 ． 答案：3 ． 2．函数f(x)＝2x＋x－4零点所在区间为(k，k＋1 )，k∈N，则k＝ ． 答案：1． 二、方法联想 零点存在定理：连续函数y＝f(x)在区间(a，b)上有f(a)f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上至少存在一个零点．反之不一定成立． 零点存在问题：①能解出x＝x0；②x0∈A（定义域）；方法2：分离参数，转化为求值域（要分清谁是参数，谁是自变量）；方法3：数形结合法． 零点个数问题：方法1：数型结合；方法2：①解出x＝xi(＝1，2，…，n)，②根据问题中零点有k个，则选择k个x∈A（定义域），n－k个xA． 三、方法应用 例1 函数f(x)＝4cos2·cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为________． [解析]f(x)＝4cos2sin x－2sin x－|ln(x＋1)|＝2sin x·－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|.令f(x)＝0，得sin 2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐标系中作出函数y＝sin 2x与函数y＝|ln(x＋1)|的大致图像，如图所示． 观察图像可知，两个函数的图像有2个交点，故函数f(x)有2个零点. 例2 已知函数f(x)＝|lgx|，若函数g(x)＝f(x)－ax在区间(0，4)上有三个零点，则实数a的取值范围是___________． [解析]在同一坐标系中分别作出函数y＝f(x)，y＝ax的图像(如图)． 函数g(x)＝f(x)－ax在区间(0，4)上有三个零点等价y＝f(x)，y＝ax两个函数的图像在区间(0，4)上有三个交点． 结合函数图像可知，只要直线y＝ax的斜率a介于直线OA(A(4，2lg 2))与直线OB(B为切点)之间即可． 直线OA的斜率为.当x>1时，f′(x)＝， 设B(x0，lg x0)，则直线OB的方程为y－lg x0＝(x－x0)，该直线过坐标原点， 所以0－lg x0＝·(0－x0)，解得x0＝e，即直线OB的斜率为， 所以实数a的取值范围是，. 例3 已知函数f(x)＝x＋1(0≤x≤1)，g(x)＝2x－(x≥1)，函数h(x)＝若方程h(x)－k＝0，k∈，2有两个不同的实根m，n(m>n≥0)，则n·g(m)的取值范围为_________． [解析]函数f(x)＝x＋1(0≤x≤1)，g(x)＝2x－(x≥1)，作出函数h(x)＝的图像(图略)． 若方程h(x)－k＝0，k∈，2有两个不同的实根m，n(m>n≥0)，则≤n<1， g(m)＝f(n)＝n＋1，则≤n＋1<2，所以≤ng(m)<2. 四、归类巩固 *1．若一次函数f(x)＝ax＋b有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是 ． 答案：0和－ ． *2．函数函数f(x)＝log2(x+2)－x有____________个零点． 答案：2． **3．已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是 ． 答案：m≤0或m＞1． **4．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是__________． 解析：由于f(－1)＝－1＝－＜0，f(0)＝1＞0， 故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1，0)． 因为g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2； h＝－1＋＝－＜0，h(1)＝1＞0， 故h(x)的零点c∈，因此a＜c＜b． 答案：a＜c＜b． **5．若函数x2－m x＋4(x＞0)存在零点，则实数的取值范围是__________． 答案：[2，＋∞)． ***6．已知函数f(x)＝ (k∈R)，若函数y＝|f(x)|＋k有三个零点，则实数k的取值范围是　　　　． 答案：k≤－2．
教 学 反 思


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